Особенности изучения основных геометрических величин на уроках математики в начальной школе

Здесь длина выступает как свойство отрезка.

Овладение навыками измерения при  изучении математики необходимо начинать с уяснения идеи измерения и формирования приемов инструментальных измерений. Основными элементами «измерительной культуры» являются: а) понимание особенностей процесса измерения и умение его осуществлять на практике; б) установление аналогии между измерениями различных величин; в) овладение различными методами измерений, их специфическими особенностями. Умение выбрать конкретный способ измерения, адекватный заданной ситуации и наиболее эффективный при решении данной конкретной задачи; г) умение наиболее рациональным способом выбрать единицы измерения, пользоваться измерительными приборами; оценивать точность измерений и вычислений с приближенными значениями чисел, оценивать точность результата вычислений по сравнению с числами, полученными в результате измерения; д) умение обрабатывать информацию, полученную в результате измерения и вычисления и оперировать ею.

Обязательным результатом при  изучении темы «Измерение длины отрезка» в начальной школе является умение каждого ученика измерить длину  отрезков и умение строить отрезки  заданной длины.

На следующем этапе происходит знакомство с первой единицей измерения отрезков. Из множества отрезков выбирают отрезок, который принимают за единицу. Таковым является сантиметр. Дети узнают его название и приступают к измерению с помощью этой единицы. Чтобы дети получили наглядное представление о сантиметре, следует выполнить ряд упражнений. Например, полезно, чтобы они сами изготовили модель сантиметра; начертили отрезок длиной 1см в тетради. Нашли, что ширина мизинца примерно равна 1 см.

Чтобы дети получили наглядное представление  о сантиметре, следует выполнить ряд упражнений. Например, полезно, чтобы они сами изготовили модели сантиметра (нарезать из узкой полоски бумаги в клетку полоски длиной 1 см), начертили отрезки длиной 1 см в тетрадях (по клеточкам), нашли, что ширина мизинца примерно равна 1 см.

Далее учащихся знакомят с измерением отрезков. Чтобы дети ясно поняли процесс  измерения и что показывают числа, получаемые при измерении, целесообразно  постепенно переходить от простейшего  приема укладывания моделей сантиметра и их подсчета к более трудному – отмериванию («прошагать меркой» по отрезку и подсчитать, сколько раз отложилась единица измерения). Только затем приступать к измерению способом прикладывания линейки или рулетки к измеряемому отрезку.

При работе с масштабной линейкой обращается внимание на правильность положения линейки при измерении (начало отрезка должно совпадать с нулевым делением на линейке). Следует научить детей выполнять округление результатов измерения: если сантиметр уложился 5 раз и остался отрезок, меньше половины сантиметра, то его отбрасывают и называют длину отрезка так: «немного больше 5 см», «около 5 см»; если остался отрезок, который равен половине сантиметра или больше, то его засчитывают за целый сантиметр и результат измерения называют так: «немного дольше 6 см», «приблизительно 6 см».

Для формирования измерительных навыков  включается система разнообразных  упражнений. Это измерение и черчение отрезков; сравнение отрезков, чтобы  ответить на вопрос: на сколько сантиметров  длиннее один отрезок, чем другой; увеличение и уменьшение их на несколько сантиметров. В процессе этих упражнений у учащихся формируется понятие длины как числа сантиметров, которые укладываются в данном отрезке.

Позднее, при изучении нумерации  чисел в пределах 100, вводятся новые  единицы измерения – дециметр, а затем метр. Работа проходит в таком же плане, как и при знакомстве с сантиметром. Затем устанавливают отношения между единицами измерения (сколько сантиметров содержится в 1 дм, в 1 м, сколько дециметров в 1 м). Дети упражняются в измерении с помощью двух различных мерок (например, длина крышки парты 4дм 5см, длина доски 2м 8 дм). С этого времени приступают к сравнению длин на основе сравнения соответствующих отрезков.

В жизненной практике дети наблюдают  чаще всего измерение с помощью метра. Метр – основная единица длины. Метр существует в виде отдельного эталона (мерки). С помощью его учитель легко показывает процесс измерения (как откладывается мерка на отрезке, как происходит подсчет единиц измерения). Поэтому некоторые методисты рекомендуют первой единицей измерения вводить метр. Однако при рассмотрении метра трудно провести достаточное количество упражнений в измерении отрезков так, чтобы работал каждый ученик, что совершенно необходимо для понимания самого процесса измерения. Другие методисты предлагают ввести первой единицей измерения ввести сантиметр (так дано в программе), что позволит каждому ученику выполнить, сидя за партой большое количество работ по измерению. Это не исключат возможности на подготовительном этапе, опираясь на жизненные наблюдения детей, вспомнить, как и чем измеряют тесьму, ткани, ленту и т.п., отмерить для примера 2-3 м шпагата или измерить длину доски. Не устанавливая соотношений между метром и сантиметром, можно ввести сантиметр как мерку измерения небольших отрезков, длина которых меньше метра.

Многие методисты (Н.С. Попова, А.М. Пышкало и др.) советуют сначала  пользоваться линейками, которые изготавливаются  детьми из листа бумаги в клеточку. На этих листах наносятся сантиметровые  деления, но цифры не пишутся. Пользуясь этими линейками, дети измеряют отрезки, чертят отрезки на нелинованной бумаге, показывают отрезки заданной длины на самой линейки.

Затем рассматривают преобразование величин: замену крупных единиц мелкими (3дм 5см = 35см) и мелких единиц крупными (48см = 4дм 8см). Постепенно учащиеся осознают, что числовое значение длины зависит от выбора единицы измерения (например, длина одного и того же отрезка может быть обозначена и как 3 дм, и как 30см).

Сравнение двух длин, выраженных в  единицах двух наименований, теперь выполняют на основе преобразования их и сравнения числовых значений, при которых стоят одинаковые наименования единиц измерения (4дм 8см > 39см, так как 48см > 39см, или 4дм 8см > 3дм 9см).

Начиная со 2 класса дети в процессе решения задач знакомятся с нахождением длины косвенным путём. Например, зная длину данного класса и количество классов на втором этаже, вычисляет длину школы; зная высоту комнат и количество этажей в доме, можно приблизительно вычислить высоту дома и тому подобное.

Во 2 классе знакомство с единицами длины продолжается: дети знакомятся с миллиметром, а позднее с километром.

Введение миллиметра обосновывается необходимостью измерять отрезки, меньше 1см. наглядное представление о миллиметре дети получают, рассматривая деление на обычной масштабной линейке или на миллиметровой бумаге. Сразу же устанавливается, сколько миллиметров содержится в 1 см, и дети приступают к измерениям с точностью до миллиметра (с помощью циркуля, а также с помощью линейки). При этом особое внимание обращается на то. Чтобы дети правильно располагали глаз при совмещении концов отрезка с делениями на шкале линейки. Для формирования измерительных навыков включаются упражнения на измерения не только на уроках математики, но и на других уроках.

При знакомстве с километром полезно произвести практические работы на местности, чтобы сформировать представление об этой единицы измерения. Чаще всего дети с учителем проходят расстояние, равное 1км (или 500м). Измеряют пройденное расстояние либо шагами (2 шага примерно составляют 1м), либо с помощью рулетки или мерной веревки. Попутно дети упражняются в определении некоторых расстояний на глаз. Если есть возможность, проводят экскурсию на автобусный или железнодорожный вокзал, чтобы узнать данные о расстояниях до ближайших населенных пунктов и городов. Этот материал потом используется на уроках при составлении задач.

Усвоению отношений между единицами  длины помогает таблица мер, которую  следует повесить в классе на некоторое  время.

Таблица усваивается в процессе многократных и систематических упражнений вида: сколько метров в 1 км? Во сколько раз метр дольше дециметра? На сколько сантиметров 1 м больше, чем 1 см? Сколько метров составляет половина километра? Четверть километра? Десятая часть километра? и т.п. кроме того, продолжается работа по преобразованию и сравнению длин, выраженных в единицах двух наименований, изучаются письменные приемы вычислений над ними.

Введение миллиметра обосновывается необходимостью измерять отрезки меньшие одного сантиметра.

При знакомстве с километром полезно  провести практические измерения на местности, чтобы сформировать представление  об этой единице измерения.

В 3-4 классе учащиеся составляют и  заучивают таблицу всех изученных  единиц длины и их отношений. Усвоению отношений между единицами длины помогают систематические упражнения в преобразовании величин, выраженных в единицах длины, их сравнении, нахождении различных долей любой единицы длины, решение задач на вычисление длины.

Работу над этой темой можно  продолжить на внеклассных занятиях, например, рассмотреть старинные русские меры: верста, сажень, вершок. Познакомить учащихся с некоторыми сведениями из истории развития системы мер.

Методика изучения площади  и её измерение. В методике работы над площадью фигуры имеется много общего с работой над длиной отрезка, то есть работа проводится почти аналогично.

Методика формирования представлений  о площади фигуры строится в соответствии с общей методикой формирования представлений о величинах. При  этом изучение понятия площади проводится с опорой на привычные для детей представления о том, что каждая фигура занимает определенное – большее или меньшее – место на плоскости.

Знакомство учащихся с понятием «площадь фигуры» начинается с уточнения  представлений, имеющихся у учащихся о данной величине. Исходя из своего жизненного опыта, дети легко воспринимают такое свойство объектов, как размер, выражая его в понятиях «больше», «меньше», «равно» между их размерами.

Используя эти представления, можно  познакомить детей с понятием «площадь» выбрав для этой цели такие две фигуры, при наложении которых друг на друга одна целиком помещается в другой.

«В этом случае, – говорит учитель, – в математике принято говорить, что площадь одной фигуры больше (меньше) площади другой фигуры». Когда же фигуры при наложении совпадают, то говорят, что их площади равны или совпадают. Этот вывод ученики могут сделать самостоятельно. Но возможен и такой случай, когда одна из фигур не помещается полностью в другой. Например, два прямоугольника, один из которых квадрат. После безуспешных попыток уложить один прямоугольник в другой учитель поворачивает фигуры обратной стороной, и дети видят, что в одной фигуре уложилось 10 одинаковых квадратиков, а в другой 9 таких же квадратиков.

Ученики совместно с учителем делают вывод, что для сравнения площадей, так же как и для сравнения длин можно воспользоваться меркой.

Возникает вопрос: какая фигура может  быть использована, в качестве мерки  для сравнения площадей?

После этого учитель может раздать  ученикам листы клетчатой бумаги, на которой изображены различные фигуры и предложить сравнить площади этих фигур. Учащиеся сами догадываются, что для этого нужно сосчитать число клеток в каждой фигуре. Фигура, содержащая большее число клеток, имеет большую площадь.

Такого рода задания подводят учащихся к осознанию необходимости введения общепринятой единицы площади 1 см². (квадрат со стороной, равной одному сантиметру). У каждого ученика должна быть модель квадратного сантиметра.

Далее учитель может предложить выложить на наборном полотне разные фигуры из четырёх квадратов или нарисовать их в тетради, обозначая квадрат клеткой. После того, как задание выполнено, полезно выяснить;

• Чем построенные фигуры похожи? (они состоят из четырёх одинаковых квадратов).
• Можно ли утверждать, что площади всех фигур одинаковы? (дети могут проверить свой ответ, наложив квадраты одной фигуры на квадраты других).

 Для того чтобы учащиеся освоили процесс измерения площади полезно раздать им геометрические фигуры и предложить им измерить их площади, пользуясь моделью квадратного сантиметра. Это задание особенно важно, так как в процессе его выполнения учащиеся осознают, что измерить площадь фигуры – значит узнать, сколько квадратных сантиметров она содержит. Учащиеся практически убеждаются, что укладывать модель квадратного сантиметра в фигуре долго и неудобно – гораздо удобнее использовать прозрачную бумагу, на которой нанесена сетка из квадратных сантиметров. Следует также ознакомить учащихся с нахождением приближенной площади фигуры таким способом: сосчитать все нецелые квадратные сантиметры и общее число их разделить на два, затем полученное число сложить с числом целых квадратных сантиметров, которые содержатся в данной фигуре.

Таким образом, учащиеся знакомятся с  палеткой и правилами пользования ею, упражняются в определении площадей фигур с ее помощью.

Очень важно, что при рассмотрении прикладной стороны вопроса кроме палетки, которая выступает в данном случае в качестве измерительного инструмента, появляется и первая формула – формула вычисления площади прямоугольника, которая широко применяется в курсе математики 5-6 классов, в том числе и при изучении чисел: формула площади прямоугольника моделирует переместительное свойство умножения.

Впоследствии правило формулируется  более кратко: площадь прямоугольника равна его длине умноженной на ширину. При этом длина и ширина должны быть выражены в единицах одного наименования.