Особенности изучения основных геометрических величин на уроках математики в начальной школе

Особое содержание геометрического  материала, включенного в программу  и реализованного в системе тщательно  отобранных задач, направлено на формирование достаточно полной системы геометрических представлений (включающей образы геометрических фигур, их элементов, отношений между фигурами, их элементами).

На этой основе формируются  пространственные представления и  воображение, развивается речь и мышление учащихся, организуется целенаправленная работа по формированию важных практических навыков.

Важнейшей задачей учителя  является определение методики, раскрывающей содержание геометрического материала  на том уровне, который должен быть достигнут учащимся к моменту их перехода в 4 класс, а также ведущих направлений изучение этого материала.

 

 

1.3 Технология изучения  с младшими школьниками основных геометрических величин и их измерения

 

В начальных классах рассматриваются  такие геометрические величины, как: длина отрезка, площадь фигуры, объём тела и другие. Учащиеся должны получить конкретные представления об этих величинах, ознакомиться с единицами их измерения, овладеть умениями измерять величины, научиться выражать результаты измерений в различных единицах, выполнять различные действия над ними.

Величины рассматриваются в  тесной связи с изучением натуральных  чисел и дробей; обучение измерении  связывается с изучением счёта; измерительные и графические действия над величинами являются наглядными средствами и используются при решении задач. При формировании представлений о каждой из названных величин целесообразно ориентироваться на определённые этапы, в которых нашли отражение: математическая трактовка понятия величина, взаимосвязь данного понятия с изучением других вопросов начального курса математики, а так же психологические особенности младших школьников.

Назовём задачи изучения величин в начальном курсе математики [1]:

1) сформировать конкретные представления о величинах,

2) сформировать навыки измерения  величин,

3) научить выражать величины в различных единицах измерения,

4) научить выполнять арифметические действия над величинами.

В основе методики изучения величин  лежит практическая деятельность учащихся, связанная с овладением навыками измерения таких величин, как длина отрезка, площадь фигуры, масса тела, времени.

Большое значение при ознакомлении с величиной имеет использование  знаний, умений и навыков, приобретаемых  учащимися в связи с изучением фигур и операций над фигурами (деление фигур на части, составление фигур из других). И наоборот, использование представлений о величине, ее свойствах и измерении в процессе формирования понятия «фигура».

Так, например, на основе представлений о площадь фигуры дети знакомятся с важнейшим свойством, которое состоит в том, что площадь фигуры, составленной из нескольких частей, равна сумме площадей этих частей.

В процессе изучения темы важно добиться, чтобы учащиеся научились четко  дифференцировать такие тесно связанные между собой, но разные по своей сути понятия, как «величина» и «число». Хотя формирование представлений о той или иной конкретной величине и о способах ее измерения имеет свои особенности, тем не менее, целесообразно выделить общие этапы, которые имеют место при изучении каждой из величин.

Известный советский методист Н.Б. Истомина [33] выделила 8 этапов изучения величин:

1-й этап: выяснение и уточнение  представлений школьников о данной  величине (обращение к опыту ребёнка).

2-й этап: сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путём использования различных мерок).

3-й этап: знакомство с единицей  данной величины и с измерительным  прибором.

4-й этап: формирование измерительных  умений и навыков.

5-й этап: сложение и вычитание  однородных величин, выраженных  в единицах одного наименования.

6-й этап: знакомство с новыми  единицами величин в тесной  связи с изучением нумерации  и сложения чисел. Перевод однородных  величин, выраженных в единицах  одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух наименований, и наоборот.

7-й этап: сложение и вычитание  величин, выраженных в единицах  двух наименований.

8-й этап: умножение и деление  величин на число.

Общим методическим приемом, обеспечивающим прочные геометрические знания, является формирование пространственных представлений через непосредственное восприятие учащимися конкретных реальных вещей; материальных моделей геометрических образов. В 1 классе пространственные представления вырабатываются в процессе приобретения детьми практического опыта при изучении отношений взаимного положения предметов, выражаемых словами «выше», «ниже», «справа», «сверху», «спереди», «сзади» и т.д. Во 2-3 классах характер работы по формированию пространственных представлений усложняется. Например, представления об одной фигуре формируется с опорой на другую. Так, опираясь на представления о треугольнике вообще, можно получить представления о прямоугольном треугольнике.

Результатом обучения в 1-3 классах должно быть формирование первоначальных представлений о точности построений и измерений.

В 1 классе учащиеся овладевают навыками измерения и построения отрезков с помощью линейка (с точностью до 1 см). При этом детям предъявляются не меньшие требования, чем это обычно делается, например, в отношении навыков письма.

Во 2-3 классах в практику измерений и построений постепенно вводятся новые инструменты: циркуль, чертежный угольник, рулетка. Повышаются требования к точности построений и измерений, качеству чертежей и моделей, выполняемых детьми, к описанию хода и результатов проделанной работы.

Понятие величины в начальном курсе  математики не определяется, то есть даётся без определения. Понятие величина раскрывается на конкретных примерах и основывается на опыте ребёнка. Величины в начальном курсе математики рассматривают как свойство предметов или явлений, проявляющееся в результате сравнения. Особенно явно это проявляется в альтернативных программах РФ Давыдова В,В., Петерсон Л.Г.

С целью формирования представлений  о разного рода величинах проводятся практические работы, используются упражнения, применяются демонстрационные и индивидуальные наглядные средства, при этом варьируются коллективные, индивидуальные и групповые формы работы на уроке.

Значение с величинами единицами их измерения имеет не только практическое значение: оно предоставляет большие возможности для формирования умения видеть проблему и находить пути ее решения, тем самым способствуя развитию познавательных способностей учащихся.

Рассмотрим как трактуется понятие величины в отечественной программе по математике 2010 года [1].

Изучение величин в первом классе согласно данной программе [1] начинается с изучения отрезка и его частей. На этом этапе дети учатся правильно измерять отрезки, чертить отрезки заданной длины, то есть приобретают измерительные умения. На следующем этапе изучается тема «Длина». Здесь дети измеряют отрезки с помощью различных мерок, детям предлагаются некоторые сведения из истории единиц измерения длины, вводится первая единица измерения длины – сантиметр. Далее предлагается узнать длину данных отрезков с помощью линейки и выразить полученный результат в сантиметрах. Далее изучаются свойства величин: отрезки сравниваются по длине, предметы по объёму. Здесь систематизируются знания детей о свойстве величин: «больше», «меньше», «равно».

На следующем этапе учащиеся изучают новую единицу измерения  длины – дециметр. Здесь дети узнают соотношение между двумя  изученными единицами длины: сантиметром  и дециметром.

Далее во втором классе дети изучают метр, соотношение изученных единиц длины: сантиметр, дециметр, метр. Учатся выражать численные значения величин в различных единицах измерения, например, вырази в дециметрах: 6м 800см, 9м 400см. Учатся выражать численные значения длины, выраженные в единицах одного наименования, значениями, выраженными в единицах двух наименований, и наоборот. Например, «Вырази в дециметрах»: 7м 2дм, 5м 9дм, 4м 3дм, 1м 6дм. Или, вырази в метрах и дециметрах: 38дм, 66дм, 79дм, 57дм.

Изучение величин в 3 классе начинается с изучения площади фигур. Наблюдения над площадью фигур проводилось на более раннем этапе – в первом и втором классе. Например, «Найди равные фигуры», «В какой из фигур клеток больше? Почему?». На следующем этапе дети учатся находить площадь фигуры с помощью палетки. Сначала учащиеся учатся выделять целые клетки. Далее изучается примерное вычисление площади. Здесь вводится термин «палетка» и алгоритм вычисления площади с её помощью.

На последующих уроках дети измеряют площадь фигуры различными мерками, сравнивают численные значения площадей фигур, измеренных разными мерками. На следующих уроках дети знакомятся с единицами измерения площади: квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр и с соотношениями между ними. Знакомство с единицами измерения площади происходит аналогично знакомству с единицами измерения длины. Затем изучается площадь прямоугольника. Здесь дети изучают правило нахождения площади прямоугольника и узнают формулу нахождения его площади.

На следующем этапе изучаются новые единицы измерения длины миллиметр и километр. Здесь дети выясняют: для чего используют такую мелкую (крупную) мерку. Выполняют упражнения на соотношение единиц длины, переводят мелкие единицы в более крупные и наоборот.

Ознакомившись с понятием «объём», дети изучают единицы измерения объёма: кубический сантиметр и кубический дециметр, узнают их соотношения. Выясняют, что измерять объём можно у некоторых геометрических пространственных фигур, также узнают, что один кубический дециметр равен одному литру.

Далее дети изучают объём прямоугольного параллелепипеда и куба. На этом уроке дети узнают, что такое параллелепипед, его измерения (длина, ширина, высота) и формулу вычисления его объёма при помощи его измерений.

В дальнейшем дети узнают новые единицы  измерения площади: ар и гектар. На этой теме заканчивается изучение величин в начальной школе.

В рассмотренной программе  [1] уделяется большое внимание формированию у учащихся понятия «величина» и её измерений. Хорошо просматривается связь данной темы с жизнью. Например, практическая деятельность при изучении темы «Метр»:

а) «Измерь метром длину и ширину класса, классной доски, ширину двери, окна»;

б) «Отмерь два шнура длиной 2м и 3м. Какой шнур длиннее и на сколько?»;

в) «Измерь метром длину и ширину своей комнаты».

Таким образом, данная программа обеспечивает высокий уровень научности и  связи математики с жизнью, то есть введение любой величины опирается  на жизненный опыт детей. Предложенная программа направлена не только на нормирование математических знаний, умений и навыков, но и на общее развитие детей. Примером этого являются исторические справки о величинах, единицах их измерения, справки из истории возникновения величин и необходимости их измерения (Старинные меры длины и другие).

Имеющийся у ребенка жизненный опыт позволяет ему осознать практическую значимость изучаемого понятия, связь его с реальными предметами и явлениями, перевести имеющиеся житейские понятия на язык математики. Дети ещё в дошкольном возрасте встречаются с необходимостью в определённых ситуациях сравнивать реальные предметы между собой по конкретным знакам. Придя в школу, они уже имеют представление о том, что два различных предмета могут быть в чём-то одинаковыми, взаимозаменяемыми, а в чём-то различными. Среди всех характеристик реальных предметов, обладающих определёнными свойствами, выделяются такие, относительно которых (в том случае, когда предметы неодинаковы) можно ввести отношения «больше», «меньше», «равно».

Рассмотрим подробнее методику изучения длины, площади, объёма.

Методика изучения длины  и её измерения.

В традиционной начальной школе  изучение величин начинается с длины  предметов. Первые представления о  длине как о свойстве предметов  у детей возникает задолго  до школы. К началу обучения в школе дети правильно устанавливают отношения: длиннее – короче, шире – уже, дальше – ближе и т.п., если различия в этом плане ярко выражены, а по другим свойствам предметы сходны.

С первых дней обучения в школе  ставится задача уточнять пространственные представления детей. Этому помогают упражнения на сравнение предметов по протяженности, например: «Какая книга тоньше (книги прикладываются друг к другу)?», «Кто ниже: Саша или Оля (дети ставятся рядом)?», «Что глубже: ручей или река (по представлению)?». В процессе этих упражнений отрабатывается умение сравнивать предметы по длине, а также обобщается свойство, по которому происходит сравнение – линейная протяженность, длина.

С первых дней обучения в школе  ставится задача уточнить пространственные понятия детей. Важным шагом в  формировании данного понятия является знакомство с прямей линией и отрезком как «носителем» линейной протяжённости, лишенным, по существу, других свойств.

Сначала учащиеся сравнивают предметы по длине, не измеряя их. Делают они это наложением (приложением) и визуально («на глаз»). Например, учащимся предлагается рассмотреть рисунки и ответить на вопросы: «Какой поезд длиннее, с зелёными вагонами или с красными вагонами? Какой поезд короче?».

Затем предлагается сравнить два предмета разного цвета и разные по размеру  (по длине) практически – наложением. Например, учащимся предлагается рассмотреть рисунки и ответить на вопросы: «Какой ремень короче (длиннее) светлый или тёмный?». Через эти два упражнения дети подводятся к пониманию длины как свойства, проявляющегося в сравнении, то есть: если два предмета при наложении совпадают, то они имеют одну и ту же длину; если же какой-либо из сравниваемых предметов накладывается на часть другого, не покрывая его полностью, то длина первого предмета меньше длины второго предмета. После рассмотрения длин предметов переходят к изучению длины отрезка.