Место задач на движение в системе составных задач

Решение: 1способ:

1) 12 + 2 = 14 (км/ч) - скорость  катера в стоячей воде;

2) 14 + 2 = 16 (км/ч) - скорость  катера по течению;

3) 16 • 6 = 96 (км) – проплыл катер за 6 ч;

4) 2 • 6 = 12 (км) – проплыл плот за 6 ч;

5) 96 - 12 = 84 (км) - расстояние  между ними через 6 ч.

Ответ. 12 км.

2способ:

1) 12 + 2 = 14 (км/ч) - скорость  катера в стоячей воде;

2) 14 + 2 = 16 (км/ч) - скорость  катера по течению;

3) 16 - 2 = 14 (км/ч) - на столько больше скорость катера по течению, чем плота (скорость отдаления);

4) 14 • 6 = 84 (км) - расстояние  между катером и плотом через  6 ч.

Ответ. 84 км.

Задача 13. От пристани А спускается вниз по течению плот со скоростью 2 км/ч, а через 7 ч от пристани А в том же направления отправляется катер, который настигает плот через 1 ч. Какая скорость катера в стоячей воде?

Графическая иллюстрация  содержания задачи. (приложение 12)

Флажок обозначает место, где катер догнал плот.

Решение:

1) 7 + 1 = 8 (ч) - плыл плот, пока  его не догнал катер;

2) 2 • 8 = 16 (км) – проплыл плот за 8 ч, а катер - за 1 ч;

3) 16 - 2 = 14 (км/ч) - собственная  скорость катера (скорость сближения  катера и плота).

Ответ. 14 км/ч.

Задача 14. От пристани А спускается вниз по течению плот, а через 7 ч от пристани А в том же направления отправляется катер со скоростью 16 км/ч и настигает плот через 1 ч. Какова скорость течения?

Графическая иллюстрация  содержания задачи. (приложение 12)

Во время анализа задачи необходимо подвести учеников к осознанию  возможности решения ее двумя способами.

1 способ:

1) 7 + 1 =8 (ч) - плыл плот, пока  его не догнал катер;

2) 16 • 1 = 16 (км) - расстояние, которое проплыл катер за 1 ч, а плот за 8 ч;

3) 16: 8 = 2 (км/ч) - скорость плота  или скорость течения.

Ответ. 2 км/ч.

2 способ (использовался во внеклассной работе по математике):

Предположим, что х - скорость течения, такая же и скорость плота.

В основу составления уравнения  положим расстояние, которое проплыл плот до того, как его догнал катер. Получим два равных выражения: І - 16 • 1; II - х • (7 + 1).

Составим уравнение: 16 • 1 = х • (7 + 1), 16 = 8 • х, х = 16: 8, х = 2.

Проверка: 2 • 8=16 (км) – проплыл плот за 8 ч, а катер за 1 ч.

Ответ: 2 км/ч - скорость течения.

Задача 15. От пристани А спускается вниз по течению катер со скоростью 16 км/ч на расстояние 96 км и поворачивает назад, израсходовав на путь в оба конца 14 ч. Какая скорость течения?

Исходя из того, что данную задачу ученикам тяжело решить на уроке, мы использовали ее во внеклассной  работе по математике. Перед решением задачи целесообразно дать ученикам задание составить числовое выражение для нахождения различия между скоростью катера по течению и его скоростью против течения, если скорость катера в стоячей воде - 14 км/ч, а скорость течения - 2 км/ч.

(14 + 2) - (14 - 2) = 16 - 12 = 4 = 2 • 2.

Ученики увидят, что скорость катера по течению больше чем его скорость против течения на двойную скорость течения.

Это именно можно изобразить с помощью графической схемы. (приложение 12)

Если длина отрезка  АВ изображает скорость катера в стоячей  воде, а ВД - скорость течения, тогда  длина отрезка АД будет изображать скорость катера по течению, а АСВ - скорость катера против течения. АД больше АСВ на двойную скорость течения (двойной отрезок ВД).

Далее можно перейти к решению задачи, опираясь на понятия, сформированные во время решения предыдущих задач.

Решение:

1) 96: 16 = 6 (ч) - шел катер  по течению;

2) 14 - 6 = 8 (ч) - шел катер  против течения;

3) 96: 8 = 12 (км/ч) - скорость катера  против течения;

4) 16 - 12 = 4 (км/ч) - на столько больше скорость катера по течению, чем против течения (двойная скорость течения);

5) 4: 2 = 2 (км/ч) - скорость течения.

Ответ. 2 км/ч.

Задача 16. От пристани А одновременно в противоположных направлениях отправляются плот и катер. Плот спускается вниз по течению со скоростью 2 км/ч, а катер идет против течения. Через какое время расстояние между ними будет составлять 84 км, если собственная скорость катера (в стоячей воде) - 14 км/ч? Покажем сначала традиционное решение этой задачи.

Решение:

1) 14 - 2 = 12 (км/ч) - скорость  катера против течения;

2) 12 + 2 = 14 (км/ч) - скорость  отдаления;

3) 84: 14 = 6 (ч) - время, за которое  расстояние между плотом и  катером будет составлять 84 км.

Ответ. 6 ч.

Во время обработки  этой задачи можно задать такие вопросы:

- На каком расстоянии  от пристани А будут находиться  отдельно катер и плот и какое расстояние будет между ними через 6 ч? Чтобы ответить, надо знать скорость течения.

Задача 17. От пристани А спускается вниз по течению по направлению к пристани В плот. Одновременно с плотом от пристани В к пристани А отправляется катер. Расстояние между А и В - 96 км, скорость течения - 2 км/ч, скорость катера против течения - 14 км/ч. Через какое время состоится встреча катера с плотом.

Решение:

1)14 + 2 = 16 (км/ч) - скорость сближения;

2) 96: 16 = 6 (ч) - время, через которое катер встретится с плотом.

Ответ. 6 ч.

Рассмотрим методику решения  задач на нахождение средней скорости. (приложение 6, слайды 18-19)

Понятие "среднее арифметическое нескольких чисел" в учебнике вводится индуктивно. Сначала ученикам предлагаются задачи на нахождение средней скорости движения автомобиля. Полагается, что объяснение к решению этих задач должен дать учитель. Далее рассматривается решение такой задачи.

Задача 18. Велосипедист один час ехал со скоростью 15 км/ч, два часа - со скоростью 13 км/ч и еще один час - со скоростью 11 км/ч. С какой средней скоростью ехал велосипедист?

Решение:

1) Сколько всего часов  ехал велосипедист?

1 + 2+1 = 4 (ч)

2) Сколько всего километров  проехал велосипедист?

15 + 13 • 2 + 11 = 52 (км)

3) Какая средняя скорость  движения велосипедиста?

52:4 = 13 (км/ч)

Решение с помощью числового  выражения:

(15 + 13 • 2 + 11): (1 + 2 + 1) = 13 (км/ч)

После решения этой и предыдущих задач дается общее правило: "Чтобы  найти среднее арифметическое нескольких чисел, надо их сумму поделить на количество этих чисел". Теперь полагается, что понятие "среднее арифметическое нескольких чисел" уже введено, и предлагаются задачи на нахождение средней массы, средней урожайности, средней скорости.

Задача 19. Турист за первый час прошел 5 км, за второй - 4 км и за третий - 3 км. С какой постоянной скоростью должен был двигаться турист, чтобы за то же время пройти такое же расстояние?

Турист прошел всего 5 + 4 + 3 километров, за время 1 + 1 + 1. Составим числовое выражение: (5 + 4 + 3): (1 + 1 + 1). Согласно этому выражению надо расстояние поделить на время. Так находят скорость движения. Если вычислим выражение, то в ответе получим 4 км/ч. Обращаем внимание учеников на то, что, двигаясь со скоростью 4 км/ч, турист за 3 ч пройдет расстояние 12 км: 4 • 3 = 12 (км).

Таким образом, имеем правильное равенство: 5 + 4 + 3 = 4 - 3.

Полученную скорость называют средней скоростью. Чтобы найти  среднюю скорость, надо все расстояние поделить на все время движения.

С целью формирования у  младших школьников навыков решения задач на движение мы предлагали им подборку задач и методически правильно обрабатывали их.

Таким образом, изучение всех вопросов программы по математике связано с решением арифметических задач. С одной стороны, задачи на движение являются важным средством формирования у учеников математических понятий, предотвращая формализм в их усвоении, а с другой стороны, усиливают развивающий эффект изучения математики, влияя на развитие математического мышления учеников и их овладение общими приемами понимания материала.

 

2.3 Организация и содержание  экспериментального исследования, анализ его эффективности

На основе анализа психолого-педагогической и методической литературы, а также  собственных наблюдений за учебно-воспитательным процессом в начальной школе  нами выявлено, что организация решения  задач на движение имеет значительные методические недостатки, а формирование у учеников навыков решения задач на движение находится на ненадлежащем уровне. С целью обеспечения адекватности в этом процессе нами разработано и введено в педагогическую практику начального звена общего образования усовершенствованная методика решения задач на движение в 4 классе, а также проверена ее эффективность.

Исследование имело теоретико-экспериментальный характер и проводилось в два этапа. На теоретическом этапе была определена сфера и проблема исследования; изучалась педагогическая, методическая литература по данной теме; анализировалась робота учителей начальных классов в области методики решения задач на движение; формулировалась гипотеза и задачи исследования. В процессе экспериментального этапа - на основе наработанной теоретической информации осуществлялся формирующий эксперимент, связанный с формированием у младших школьников умений и навыков решения задач на движение, изучалась его эффективность и практическая значимость.

Экспериментальное исследование мы проводили в Жодинской средней школе №5. Формирующим экспериментом было охвачено 40 учеников 4 «Б» и 4 «В» классов. В процессе формирующего эксперимента мы предлагали четвероклассникам подборку задач на движение разных видов. Эти задачи использовались как на уроках, так и на внеклассных занятиях по математике для самостоятельной работы учеников.

Покажем методику обработки  задачи на встречное движение, которая  проводилась в процессе экспериментального исследования.

В ходе подготовительной работы мы иллюстрировали содержание таких  выражений, как "выехали одновременно", "двигаются навстречу друг другу". Практические действия сопровождались изображением отрезков (длина пути) и стрелками (направление движения).

Задача 20. Два суслика бежали навстречу друг другу. Скорость одного - 12 м/сек, а второго - 10 м/сек. На сколько метров суслики приблизятся друг к другу за 5 сек? (приложение 6, слайд 20)

- Можно ли сразу ответить на вопрос задачи? (Нет). Почему?

- Что нужно знать, чтобы  ответить на вопрос задачи? (Расстояния, которые пробежали суслики).

- Можем ли мы найти, какое расстояние пробежал первый суслик за 5 сек? Второй суслик за 5 сек? (Можем).

- Как мы найдем расстояния? Потом мы сможем ответить на вопрос задачи? (Да).

- Какое действие выполним? (Сложение).

- Как записать решение  задачи в виде выражения? (12 •  5 + 10 • 5 = 110 (м)). - Сколько действий  мы выполнили? (3).

- Можно ли решить задачу другим способом? (Да).

- На сколько метров приближаются суслики друг к другу за 1 сек?

- Как вы нашли? (12 + 10 = 22 м/сек).

- 22 м/сек можно назвать  скоростью сближения. А за 5 сек суслики приблизятся на большее расстояние, не так ли?

- Во сколько раз больше? (В 5 раз).

- Как записать решение  в виде выражения? (12+10) • 5 = 22 •  5 = 110 (м).

- Ответ такой же? Поэтому можно решать задачу и таким способом.

- Сколько действий вы  выполнили?

- Какой способ более рациональный?

Проиллюстрируем методику работы над решением задачи на встречное движение двумя способами. (приложение 6, слайд 21)

Задача 21. Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали 2 автомобиля, которые встретились через 3 ч. Скорость первого автомобиля 50 км/ч, а второго - 60 км/ч. Сколько километров составляет расстояние между городами?

Повторяя задачу, мы опирались  на такую иллюстрацию. (приложение 13)

Анализ проводили от числовых данных.

- Что известно о движении первого автомобиля? (Скорость и время движения).

- О чем отсюда можно  узнать? (О расстоянии, которое проехал первый автомобиль до встречи).

- Что известно о движении  второго автомобиля и что можно найти? (Известны скорость и время, можно найти расстояние).

- Можно ли найти расстояние между городами? (Да).

Далее ученики сообщали план решения задачи и записывали решение.

Решение

1) 50 • 3 = 150 (км) – проехал первый  автомобиль;

2) 60 • 3 = 180 (км) – проехал второй автомобиль;

3) 150 + 180 = 330 (км) - расстояние между городами.

Ответ. 330 км.

После повторения решения  мы сообщали, что задачу можно решить другим способом.

- Попробуем найти второй способ решения задачи. Первый автомобиль и второй автомобиль двигались 3 ч. Можно ли найти, на сколько километров сближались автомобили за один час? (Можно. Для этого надо добавить расстояния, которые преодолели за час отдельно автомобили).

- Автомобили сближались 3 ч. Как найти расстояние, которое они преодолели за это время? (Надо перемножить сумму скоростей автомобилей на время их движения).