Место задач на движение в системе составных задач

3) 9 • 3 = 27 (км) - прошли пешеходы  за 3 ч.

Ответ. На 9 км; на 18 км; на 27 км.

Задача 7. Из пункта М отправился пешеход со скоростью 5 км/ч. Через 4 ч из этого же самого пункта в противоположном направлении выехал всадник со скоростью 11 км/ч. Через сколько часов после выезда всадника расстояние между ним и пешеходом будет составлять 68 км?

Графическая схема к этой задаче. (приложение 12)

Вопросы к ученикам во время анализа задачи:

- Что общего между этой  задачей и предыдущей?

- Что известно о скоростях  пешехода и всадника?

- Сколько времени двигался  пешеход, пока выехал всадник?

- Как узнать, сколько километров  прошел пешеход, пока выехал  всадник?

- Можно ли узнать, сколько километров прошли вместе пешеход и всадник после выхода всадника? Как это сделать?

- О чем можно узнать, если известны скорости пешехода и всадника?

- О чем спрашивается  в задаче?

- Какие действия надо  выполнить, чтобы ответить на  вопрос задачи?

Решение:

1) 5 • 4 = 20 (км) - прошел пешеход,  пока выехал всадник;

2) 68 - 20 = 48 (км) - прошли вместе  пешеход и всадник после выезда  всадника;

3) 5 + 11 = 16 (км) - прошли вместе  пешеход и всадник за 1 ч (скорость  отдаления);

4) 48: 16 = 3 (ч) - через столько  часов после выезда всадника  расстояние между ним и пешеходом будет составлять 68 км.

Ответ. Через 3 ч.

Можно предложить школьникам записать решение этой задачи в виде числового выражения, а также  ответить на вопрос:

- Через какое время  после выхода пешехода расстояние  между ним и всадником будет  составлять 68 км?

Решение:

1) (68 - 5 • 4): (5 + 11) = 3 (ч) - через  столько часов после выхода  всадника расстояние между ним  и пешеходом будет составлять 68 км;

2) 4 + 3 = 7 (ч) - через столько  часов после выхода пешехода  расстояние между ним и всадником  будет составлять 68 км.

Ответ. Через 7 ч.

Задача8. Два самолета одновременно вылетели из аэродрома в противоположных направлениях. Через полчаса после вылета расстояние между ними было 720 км. Первый самолет летит со скоростью 15 км/мин. С какой скоростью летит второй самолет? Графическая схема к этой задаче.(приложение 12)

Вопросы к ученикам во время анализа задачи:

- Что известно о движении  первого самолета и о чем  можно узнать?

- Какое расстояние между самолетами было через полчаса после вылета?

- Можно ли найти расстояние, которое пролетел второй самолет?

- О чем спрашивается  в задаче?

- Какие действия необходимо выполнить, чтобы ответить на вопрос задачи?

Решение:

1) 15 • 30 = 450 (км) - пролетел  первый самолет;

2) 720 - 450 = 270 (км) - пролетел  второй самолет;

3) 270: 30=9 (км/мин) - скорость  второго самолета.

Ответ. 9 км/мин.

Рассмотрим методику работы над задачами на движение в одном направлении. (приложение 6, слайды 9-10)

Задача 9. От одной пристани отправились в одном направлении катер и буксир. Скорость катера 27 км/ч, а буксира 18 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч? (Реши задачу двумя способами).

Иллюстрация. (приложение 12)

Беседа. Хоть в задаче об этом не сказано, но имеется в виду, что катер и буксир отправились  одновременно. Сколько часов был в дороге каждый из них? (3 часа). Что мы можем узнать о движении каждого? (Расстояния, которые проплыли за это время катер и буксир.) Когда будут известны пройденные расстояния, что можно будет узнать? (Расстояние между катером и буксиром.)  Во сколько действий задача? (В три). Ученики записывают решение первым способом.

- Задача имеет и второй  способ решения. Представьте себе, как двигаются катер и буксир. Лишь в начальный момент движения они находятся рядом. А дальше с первой же минуты катер начинает опережать буксир. Почему? (Потому что его скорость большая). Можно ли узнать, на сколько километров опередит катер буксир через 1 час? (Можно: 27 - 18 = 9 (км)). Учитель показывает это расстояние на рисунке. На протяжении второго часа катер снова опередит буксир на 9 км. Какое расстояние будет между катером и буксиром через 2 часа? (9 + 9 = 18 (км)). А через 3 часа? (18 + 9 = 27 (км)). Учитель каждый раз показывает эти расстояния на рисунке. (приложение12)

Можно подчеркнуть, что катер  за 2 ч прошел расстояние, на преодоление которого буксиру понадобилось 3 ч: 27 • 2 = 54 (км); 18 • 3 = 54 (км).

Поэтому на рисунке не случайно второй и третий флажки на каждой прямой размещены строго один под одним. Ученики записывают решение вторым способом:

1) 27 - 18 = 9 (км) - на столько  катер опережает буксир за  каждый час;

2) 9 • 3 = 27 (км) - на столько  он опередит буксир через 3 часа.

Ответ. На 27 км.

Задача 10. От Минска до Бреста летели самолет и вертолет. Сначала самолет был позади вертолета на 400 км. Скорость самолета 12 км/мин, а вертолета - 2 км/мин. Какое будет между ними расстояние через 20 мин? Когда самолет сравнится с вертолетом? Какое расстояние будет между ними через 1 ч?

Беседа. Посмотрите на рисунок  и скажите, какой момент полета на нем изображен? (Начальный момент, когда между самолетом и вертолетом расстояние составляло 400 км). Чтобы узнать, какое расстояние будет между самолетом и вертолетом через 20 мин, давайте сначала определим, где окажется каждый из них через 20 мин. Можем ли мы узнать, сколько километров пролетит самолет за 20 мин? (Можем. 12 • 20 = 240 (км)).

Учитель отмечает местонахождение  самолета флажком. О чем теперь можно  узнать? (Сколько километров пролетит вертолет за 20 минут: 2 • 20 = 40 (км)).

Учитель показывает и это расстояние на рисунке. (приложение 12)

Как можно теперь вычислить  расстояние между флажками? Можно  узнать, на каком расстоянии от Минска будет вертолет. А на каком расстоянии от Минска в этот момент будет самолет, мы уже знаем. Как тогда узнаем о расстоянии между самолетом и вертолетом? (От всего расстояния, которое пролетел от Минска вертолет, отнимем расстояние, которое пролетел самолет). При этом учитель все расстояния показывает на рисунке. После этого ученик комментирует, а остальные ученики записывают действия с объяснением:

1) 12 • 20 = 240 (км) - пролетел  самолет за 20 мин;

2) 2 • 20 = 40 (км) - пролетел  вертолет за 20 мин;

3) 400 + 40 = 440 (км) - пролетел  всего вертолет;

4) 440 - 240 = 200 (км) - будет расстояние  между ними через 20 мин.

Можно ли вычислить это расстояние по-другому? Посмотрите на рисунок и покажите, из каких двух частей состоит расстояние между флажками. (Один ученик показывает). Можем ли мы вычислить первую часть? (Можем, надо от 400 км отнять расстояние, которое пролетел самолет). Что сделаем после этого? (К найденному результату добавим другую часть - 40 км). (приложение 12)

II способ.

1) 12 • 20 = 240 (км) - пролетел  самолет за 20 мин;

2) 400 - 240 = 160 (км) - не долетел самолет до места, в котором находился вертолет в начальный момент;

3) 2 • 20 = 40 (км) - пролетел  вертолет за 20 мин;

4) 160 + 40 = 200 (км) - будет расстояние  между ними через 20 мин.

Вы видите, что второй способ не является короче первого.

Но есть еще один способ, без вычисления расстояний, которые пролетели самолет и вертолет за 20 мин. Посмотрите на их скорости. Как они описывают движение обоих летательных аппаратов? (Оба двигаются в одном направлении. Самолет летит быстрее, настигает вертолет, поэтому расстояние между ними сокращается). Самое большое расстояние (400 км) было между ними в начальный момент, а далее оно начало уменьшаться, то есть самолет начал приближаться к вертолету. Можем ли мы узнать, на сколько километров приблизится самолет к вертолету за 1 минуту? Можем. За 1 минуту самолет пролетит 12 км.

Если бы вертолет не двигался, это означало бы, что самолет за 1 мин приближается к вертолету  на 12 км. Но вертолет за эту же минуту отдаляется от самолета на 2 км. Итак, в  целом, самолет за минуту приблизится  к вертолету не на 12 км, а на 12 - 2 = 10 (км). Если оба двигаются в  одном направлении 20 мин, на сколько  километров они сблизятся через 20 мин? (На 10 • 20 = 200 (км)). Если начальное расстояние между ними была 400 км, а за 20 мин это расстояние уменьшилось на 200 км, то о чем можно узнать? (Какое расстояние стало между самолетом и вертолетом через 20 мин).

Один ученик на доске записывает третий способ решения, короче предыдущих.

III способ.

1) 12 - 2 = 10 (км) - на такое  расстояние приближается самолет к вертолету за каждую минуту;

2) 10 • 20 = 200 (км) - на такое  расстояние приблизится самолет  к вертолету через 20 мин;

3) 400 - 200 = 200 (км) - будет расстояние  между ними через 20 мин.

Мы ответили лишь на первый вопрос. Теперь узнаем, когда самолет  сравнится с вертолетом. Что это  будет означать? (Что оба будут  находиться на одинаковом расстоянии от Минска). Учитель показывает на рисунке эту точку.

Самолет сравнится с вертолетом, когда начальное расстояние между  ними 400 км сократится к нулю. За одну минуту оно сокращается на 10 км. Как узнать, сколько минут будет длиться это сокращение? (400:10 = 40 (мин)). Итак, через 40 мин начальное расстояние между ними сойдет на нет, то есть самолет догонит вертолет.

Давайте проверим, действительно  ли через 40 мин и самолет, и вертолет будут находиться на одинаковом расстоянии от Минска. На каком расстоянии от Минска будет находиться самолет? (12 • 40 = 480 (км)). А как узнать, на каком расстоянии от Минска будет находиться в этот момент вертолет? (2-40 = 80 (км) - столько пролетит вертолет за 40 мин; 400 + 80 = 480 (км) - на таком расстоянии от Минска будет находиться вертолет). Вы видите, что расстояния от Минска одинаковые и у самолета, и у вертолета, ведь они, в этот момент находятся в одной точке трассы. Это означает, что через 40 мин самолет действительно сравнится с вертолетом.

Осталось дать ответ на последний вопрос: какое расстояние будет между ними через 1 ч? Это  расстояние можно тоже вычислить  длиннее и менее коротким путем. Под руководством учителя ученики записывают оба способа.

 І способ.

1) 2 • 60 = 120 (км) - пролетит  вертолет через 1 ч;

2) 400 + 120 = 520 (км) - отлетит вертолет от Минска;

3) 12 • 60 = 720 (км) - пролетит  самолет за 1 ч;

4) 720 - 520 = 200 (км) - на столько  самолет опередит вертолет.

Учитель в ходе решения  показывает эти расстояния на рисунке. (приложение 12)

ІІ способ.

1) 12 - 2 = 10 (км) - на столько  приблизится самолет к вертолету  за 1 мин;

2) 10 • 60 = 600 (км) - на столько  может приблизиться самолет к  вертолету за 60 мин;

3) 600 - 400 = 200 (км) - на столько  самолет опередит вертолет через  час.

Вы видите, что за 1 ч  расстояние между самолетом и  вертолетом может сократиться на 600 км. Если бы вертолет в начальный  момент находился от самолета на достаточно большом расстоянии, то так и произошло  бы. Но начальное расстояние между ними составляло лишь 400 км. Поэтому самолет может приближаться к вертолету, лишь сокращая к нулю 400 км, а затем начнет от него отдаляться, то есть опережать.

Покажем этапы формирования навыков решать задачи на движение по течению и против течения. (приложение 6, слайды 11-17)

Задача 11. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз на 96 км, затем повернул назад и вернулся к пристани А через 14 ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от пристани А.

Перед решением подобных задач учитель может привести аналогии "движения в стоячей воде", "движения по течению", "движения против течения" из повседневной окружающей среды, соответственно такие, как движение пешехода по тротуару, движение пассажира в автобусе от задних до передних дверей во время движения автобуса (движение пассажира по ступенькам эскалатора, которые двигаются, и т.п.), движение пассажира в направлении задних дверей во время движения автобуса, поезда и т.п.

Задача 12. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Какое расстояние будет между ними через 6 ч, если скорость катера в стоячей воде на 12 км/ч больше скорости течения, а скорость течения 2 км/ч?

Перед решением этой задачи ученикам следует сообщить, что скорость катера в стоячей воде называют также собственной скоростью катера.

После ознакомления школьников с условием задачи учитель должен разъяснить, что скорость катера по течению больше его скорости в стоячей воде на величину скорости течения, то есть ((12 + 2) + 2) = 16 (км/ч), и что плот и течение имеют одинаковые скорости (2 км /ч)).

При дальнейшем решении задачи можно базироваться на понятиях, сформированных во время рассмотрения задач на "движение в одном направлении". Целесообразно  обратить внимание учеников на то, что  катер опережает плот (отдаляется от плота) на 14 км за каждый час, который  равняется скорости катера в стоячей  воде. Поэтому задачу следует решить двумя способами, которые будут и проверкой решения. Графическая иллюстрация содержания задачи. (приложение 12)