Место задач на движение в системе составных задач

Таким образом, анализ учебных программ и учебников математики дает возможность утверждать, что во время работы над задачами на движение у учеников формируются такие основные понятия: встречное движение (скорость сближения, время сближения); движение в противоположных направлениях (скорость отдаления, время отдаления); движение в одном направлении (скорость сближения (отдаления), время сближения (отдаления); движение по течению или против течения (собственная скорость плавсредства, скорость плавсредства по течению, скорость плавсредства против течения, скорость сближения и время сближения, скорость отдаления и время отдаления); средняя скорость движения.

2.2 Методика решения задач  на движение

Рассмотрим методику работы с младшими школьниками над системой задач на движение.

Решению задач на встречное  движение предшествовала продолжительная  работа по решению простых и составных задач на нахождение скорости, времени и расстояния. Понятие скорости мы вводили на основе жизненного опыта детей и непосредственных практических действий. Подготовительная работа к решению задач, связанных с движением, предусматривала обобщение представлений детей о движении; ознакомление с новой величиной - скоростью, раскрытие связей между величинами: скорость, время, расстояние. Для этого мы провели специальную экскурсию для наблюдения за движением транспорта, после чего организовали наблюдение в условиях класса, где движение демонстрировали сами дети.

Наблюдая такие ситуации в условиях класса, мы учили детей  строить схемы с помощью условных обозначений: расстояние обозначают отрезком; место (пункт) отправления, встречи, прибытия и т.п. обозначают или точкой на отрезке и соответствующей буквой, или черточкой, или флажком; направление движения обозначают стрелкой.

Во время ознакомления со скоростью ученики определяли скорость своего движения пешком. Для  этого в спортзале обозначалась "замкнутая дорожка", разделенная  на отрезки по 10 м, чтобы удобнее  было определять путь, который проходил каждый ученик. Мы предлагали детям идти дорожкой на протяжении 2-х минут. Ученики, пользуясь десятиметровыми отметками, легко вычисляли пройденное расстояние. Мы сообщали, что расстояние, которое прошел ученик за минуту, называют его скоростью. Ученики называли скорость своего движения. Потом мы называли скорости некоторых видов транспорта.

Связи между величинами: скорость, время, расстояние  раскрывались по такой же методике, как и связи между другими пропорциональными величинами. Вследствие этой работы дети усваивали такие связи: если известны расстояние и время движения, то можно найти скорость действием деления; если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние действием умножения; если известны расстояние и скорость, то можно найти время движения действием деления.

Далее, опираясь на эти знания, дети решали составные задачи с величинами: скорость, время, расстояние. Во время работы над этими задачами часто использовались иллюстрации в виде схем.

На подготовительном этапе  мы выходили из важности осознания  детьми понятия "скорость". Для  этого мы предлагали ученикам такую  систему задач и вопросов:

- Кто быстрее движется - пешеход или велосипедист, велосипедист  или машина?

- Какое слово употребляют  водители, сравнивая скорость движения  разных марок машин? Что же  такое скорость, как вы думаете?

- Почему некоторые поезда  называют быстрыми, чем они отличаются  от обычных?

- Помогите мальчикам,  которые поспорили, кто из них  быстрее пришел к школе:

а) Павел прошел 120 м за 5 минут, а Дима - 120 м за 3 минуты. Кто быстрее шел?

б) Николай прошел 300 м  за 6 минут, а Сергей - 450 м за 9 минут. Кто быстрее шел?

в) Антон прошел 280 м за 7 минут, а Михаил - 480 м за 16 минут. Кто быстрее шел?

Подготовительная работа данного содержания готовила младших  школьников к решению составных задач на движение. Рассмотрим методику работы над задачами на движение во встречном направлении. (приложение 6, слайды 1-4)

Задача 1. Из пристани Киев к пристани Кременчуг вышел теплоход, и одновременно ему навстречу из пристани Кременчуг вышел катер. Теплоход шел со скоростью 30 км/ч, а катер - 24 км/ч. Через 5 ч они встретились. Какое расстояние между пристанями? Во время повторения содержания задачи учитель чертит на доске иллюстрацию. (приложение 12)

Беседа. Что означает: "Через 5 ч они встретились"? (Теплоход и катер с момента выхода к  моменту встречи были в дороге 5 ч). Какое расстояние прошел за 5 ч теплоход? ("От пристани Киев к флажку", - показывает один ученик возле доски.) Какое расстояние прошел катер за 5 ч? (Второй ученик показывает на схеме). Из каких двух частей составляется искомое расстояние между пристанями? (Из расстояний, которые прошел каждый теплоход за 5 ч). Можем ли мы узнать расстояние, которое прошел теплоход до встречи? (Можем, потому что известна его скорость и время движения до встречи). Можем ли узнать расстояние, которое прошел до встречи катер? (Можем).

А когда оба расстояния будут известны, о чем сможем узнать? (О расстоянии между пристанями). Давайте запишем решение выражением. Что найдем в первом действии? Каким действием? (Учитель пишет на доске, а ученики в тетрадях: 30 • 5). О чем узнаем во втором действии? Каким действием? Рядом появляется вторая запись: 30 • 5; 24 • 5. О чем узнаем в третьем действии? Что необходимо, чтобы составить окончательное выражение? (Вписывают знак "+": 30 • 5 + 24 • 5).  Нужны ли скобки? Ученики устно вычисляют промежуточные результаты. Записи имеют вид: 30 • 5 + 24 • 5 = 150 + 120 = 270 (км).

Мы решили задачу первым способом. Ее можно решить и по-другому. Можем ли мы узнать, на сколько километров приблизятся теплоход и катер друг к другу за первый час движения? (Можем, 30 + 24 = 54 км). На какое расстояние приблизятся они друг к другу за час? (На 54 км). За третий час? Четвертый? Пятый? Вы видите, что за каждый час они приближаются на 54 км, а таких часов до встречи прошло 5. О чем теперь можно узнать? (Сколько километров прошли до встречи теплоход и катер вместе). А это и означает, что мы найдем расстояние между пристанями. Каким действием? Кто запишет на доске выражение? (Ученик записывает: (30 + 24) • 5 = 270 (км)). Вы видите, что ответы в обоих случаях вышли одинаковые.

Далее учитель еще раз анализирует второй способ решения. Обращает внимание учеников на то, что расстояние, которое проходят за каждый час теплоход и катер вместе, равняется сумме скоростей и называется скоростью сближения. Чтобы вычислить расстояние между пристанями, мы скорость сближения умножали на время движения до встречи.

Задача 2. Расстояние между пунктами А и В 18 км. Из пункта А по направлению к пункту В вышел турист, а второй турист одновременно вышел ему навстречу из пункта В. Через какое время встретятся туристы, если их скорости одинаковые и равны 3 км/ч?

Графическая иллюстрация  будет опорой во время анализа  задачи. Флажок обозначает место встречи. (приложение 12)

Анализ можно провести от числовых данных.

Вопросы к ученикам:

- С какой скоростью  двигались туристы?

- Где будет место встречи  туристов?

- На сколько километров  приближаются туристы друг к другу за 1 ч?

- Какая скорость сближения?

- Что известно о расстоянии  АВ?

- Можно ли узнать, через какое время встретятся туристы?

Решение:

1) 3 + 3 = 6 (км/ч) - скорость сближения  туристов;

2) 18: 6 = 3 (ч) - время, через  которое встретятся туристы.

Ответ. Через 3 ч.

Задача 3. Расстояние между пунктами А и В составляет 24 км. Из пункта А к пункту В вышел турист со скоростью 3 км/ч, а из пункта В навстречу ему через 1 ч вышел второй турист со скоростью 4 км/ч. Через какое время после выхода второго туриста состоялась их встреча?

Графическая иллюстрация  содержания задачи. (приложение 12)

Вопросы к ученикам во время анализа задачи могут быть такими:

- Что известно о расстоянии  АВ?

- Сколько километров прошел  первый турист к выходу второго?

- Как вы это нашли?

- Какое расстояние осталось пройти обоим туристам до встречи?

- Какие скорости туристов?

- На сколько километров  сближаются туристы за 1 ч?

- Если известны скорость сближения и расстояние, которое осталось пройти до встречи, что можно найти?

Ученики составляют план решения  задачи и записывают решение.

Решение:

1) 3 • 1 = 3 (км) - прошел первый  турист к выходу второго;

2) 24 - 3 = 21 (км) - осталось пройти обоим до встречи;

3) 3 + 4 = 7 (км/ч) - скорость сближения;

3) 21: 7 = 3 (ч) - время, через  которое после выхода второго  туриста состоится встреча.

Ответ. Через 3 ч.

Задача 4. Расстояние между пунктами А и В составляет 28 км. Из пункта А к пункту В вышел турист со скоростью 3 км/ч, а из пункта В навстречу ему вышел одновременно второй турист со скоростью 4 км/ч. На каком расстоянии от пункта А встретятся туристы?

Графическая иллюстрация  содержания задачи. (приложение 12)

Вопросы к ученикам аналогичны тем, которые были во время решения задачи 1. В конце можно спросить:

- Что надо знать, чтобы  найти место встречи?

- Как найти расстояние от пункта А до места встречи?

Кроме того, можно разобрать  с учениками такие вопросы:

- От чего зависит место  встречи?

- На каком расстоянии  встретились бы туристы, если  бы их скорости были одинаковые?

- Ближе к какому пункту  произойдет встреча? Почему?

- Что можно сказать о времени движения обоих туристов к месту встречи?

Решение:

1) 3 + 4 = 7 (км/ч) - скорость сближения;

2) 28: 7 = 4 (ч) - время до встречи;

4) 3 • 4 = 12 (км) - расстояние от пункта А, в котором встретились туристы.

Ответ. Через 12 км.

После решения задачи можно  задать такие вопросы:

- Какими способами можно найти расстояние от места встречи до пункта В?

- Как проверить правильность  решения задачи?

Рассмотрим методику работы над задачами на движение в противоположных направлениях. (приложение 6, слайды 5-8)

Задача 5. Два пешехода вышли из одного города в противоположных направлениях. Первый пешеход шел со скоростью 5 км/ч, а второй 4 км/ч. Дай ответы на такие вопросы:

1) На сколько километров  отдалялись пешеходы за 1 ч?

2) На сколько километров отдалились пешеходы за 2 ч?

3) Сколько километров  прошел каждый пешеход за 3 ч?

Учитель ставит двух учеников посреди класса и дает каждому  карточку с его скоростью. Ученики  стоят спиной друг к другу и по команде учителя начинают отдаляться друг от друга. Учитель останавливает их и говорит, что прошел час. Дети выясняют, что пешеходы отдалились друг от друга на сумму их скоростей. Ученики снова начинают идти и по приказу учителя останавливаются - прошел еще один час. Снова подсчитывают, на сколько километров отдалились пешеходы на протяжении второго часа и за два часа вместе.

Процедуру проделывают в  третий раз и снова подсчитывают. Учитель говорит, что каждый час пешеходы отдаляются на одинаковое расстояние - 9 км. Поэтому говорят, что 9 км/ч - это скорость их отдаления. Она, как и скорость сближения во время встречного движения, равняется сумме скоростей. Зная скорость отдаления и время движения, можно вычислить, на каком расстоянии друг от друга окажутся пешеходы через указанное время. Учитель изображает на доске иллюстрацию. (приложение 12)

На рисунке дети показывают, из каких двух частей составляется это расстояние, и вычисляют каждую часть (пути обоих пешеходов). Один ученик записывает решение задачи выражением на 3 действия. После этого расстояние вычисляют с помощью скорости отдаления и записывают второй способ вычисления. Дети видят, что решение такое же, как и в работе с задачами на встречное движение, только сумма скорости имеет другое название. Учитель предлагает представить, что пешеходы повернулись лицом друг к другу и начинают идти с теми же скоростями. Какую задачу теперь можно составить? Каким будет ее решение? Оно полностью совпадает с решением предыдущей задачи.

Задача 6. Два пешехода двигаются в противоположных направлениях. Скорость одного - 5 км/ч, а второго - 4 км/ч. На сколько километров они отдаляются друг от друга за 1 ч; за 2 ч; за 3 ч?

Графическая схема к этой задаче. (приложение 12)

Предпосылкой к решению этой задачи является предыдущее выяснение с учениками таких вопросов:

- В каком направлении  двигаются пешеходы, когда речь  идет о скорости сближения?

- Как находят скорость  сближения?

- В каком направлении  двигаются пешеходы, когда они  отдаляются друг от друга?

- Как можно назвать  скорость, с которой пешеходы  отдаляются друг от друга?

- Как находят эту скорость?

- Что общего в нахождении  скоростей сближения и отдаления?

- От чего зависит расстояние  между двумя пешеходами через  определенное время, если они  отправляются одновременно?

- Навстречу друг другу?

- В противоположных направлениях? Как находят расстояние в этих  случаях?

- Что общего в его нахождении?

Вопросы к ученикам во время анализа задачи:

- Что известно о скоростях  пешеходов?

- Какой первый вопрос задачи, можно ли на него ответить?

Решение:

1) 5 + 4 = 9 (км) - прошли пешеходы  за 1 ч (скорость отдаления);

2) 9 • 2 = 18 (км) - прошли пешеходы  за 2 ч;