Виды общения

 

2.1. ОСНОВНЫЕ  ФОРМУЛЫ  И  ЗАКОНЫ

 

  Молекулярная  физика

 

Количество  вещества (молей) однородного газа находится так:

, или   ,

где N – число молекул газа; N_A –  постоянная Авогадро; m – масса газа; М – молярная масса газа.

Если система представляет собой смесь нескольких газов, то количество вещества системы равно

,    

или

,

где n_n, N_n, m_n, M_n – соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса n-го компонента смеси.

Уравнение состояния  идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):

,

где m – масса газа; М – молярная масса газа;  R – молярная газовая постоянная; n – количество вещества;   Т – термодинамическая температура.

Законы, описывающие состояние  газов на основании опытов и являющиеся частными случаями уравнения Менделеева-Клапейрона, для изопроцессов таковы:

а) закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс: Т=const, m=const): рV=const, или для двух состояний газа p₁V₁=p₂V₂;

б) закон Гей-Люссака (изобарный  процесс: p=const, m=const): , или для двух состояний ;

в) закон Шарля (изохорный  процесс: V=const, m=const): , или для двух состояний ;

г) объединенный газовый  закон (m=const): , или , где р₁, V₁, Т₁ – соответственно давление, объем и температура газа в начальном состоянии; р₂, V₂, Т₂ – те же величины в конечном состоянии.

Закон Дальтона определяет давление смеси газов: р=р₁+р₂+…+р_n, где р_n – парциальные давления компонентов смеси; n – число компонентов смеси.

Парциальным давлением  называется давление газа, которое  производил бы этот газ, если бы только он находился в сосуде, занятом  смесью.

Молярная масса смеси  газов:

,

где m_n – масса n-го компонента смеси; – количество вещества n-го компонента смеси; n – число компонентов смеси.

Массовая доля w_n n-го компонента смеси газа в долях единицы или процентах находится так:

,

где m – масса смеси.

Концентрация молекул:

,

где N – число молекул, содержащихся в данной системе; r – плотность вещества; V – объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.

Основное уравнение кинетической теории газов:

,

где – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

Средняя кинетическая энергия  поступательного движения молекулы:

,

где k – постоянная Больцмана.

Средняя полная кинетическая энергия молекулы:

,

где i – число степеней свободы молекулы.

 

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры  такова:

p=nkT.

Скорость молекул:

среднеквадратичная 

;

среднеарифметическая 

;

наиболее вероятная 

,

где  m₁ – масса одной молекулы.

Относительная скорость молекулы:

,

где – скорость данной молекулы.

Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени, –

,

где d – эффективный диаметр молекулы; n – концентрация молекул; – среднеарифметическая скорость молекул.

Средняя длина свободного пробега молекул газа –

.

Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (с_v) и постоянном давлении (с_р):

.

Связь между значениями удельной с и молярной С теплоемкости:

.

Уравнение Майера:

С_р-С_v=R.

Внутренняя энергия  идеального газа:

.

 

 

 

Физические  основы термодинамики

 

Первое начало термодинамики: 

,

где Q – количество теплоты, сообщенное системе или отданное  ею; ∆U – изменение её внутренней  энергии;  А – работа системы, совершаемая против внешних сил.

Работа расширения газа:

(в общем случае);

(при изобарном процессе);

(при изотермическом процессе);

, или  (при адиабатном процессе), где – показатель адиабаты.

Уравнения Пуассона, связывающие  параметры идеального газа при адиабатном процессе:

, ;

  .

 Термический кпд  цикла:

,

где Q₁ – теплота, полученная рабочим телом от теплоотдатчика; Q₂ – теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.

 Термический  кпд  цикла Карно:

,

где Т₁ и Т₂ – термодинамические температуры теплоотдатчика и теплоприем-ника.

 

Изменение энтропии – 

,

где А и В – пределы  интегрирования, соответствующие начальному и конечному состояниям системы. Так как процесс равновесный, то интегрирование не зависит от формы пути.

Формула Больцмана:

,

где s – энтропия системы; W – термодинамическая вероятность ее состояния;     k – постоянная Больцмана.

 

2.2.  ПРИМЕРЫ  РЕШЕНИЯ   ЗАДАЧ

 

Пример 1. Начертить графики изопроцессов  для идеальных газов в координатах (PV), (VT),  (РТ).

Решение                                            V                 P=const

  Р             V=const                                                                            V=const

                                                                                                          

                                  P=const                                                             T=const

                                  T=const                      

   0   

                                  T=const                                                                                 

                                       P                                                                

                                      V=const

                                                                  P=const                                                      

 

 

                                                                                             T

                                         0

 

 

Пример 2.  Какова  плотность воздуха  в сосуде, если  он откачан  до наивысшего  разрежения, создаваемого современными лабораторными способами (Р = 10^-11 мм рт.ст.). Температура воздуха равна 15⁰ С. М_возд=29×10^-3 кг/моль.

Решение. Из уравнения Менделеева – Клапейрона

PV=

RT

 

получим плотность:

.

Откуда, подставив численные  значения, имеем:

0,16·10^-13 кг/м³.

 

 

Пример 3.  Найти молярную массу воздуха, считая, что он состоит из одной части  кислорода и трех частей азота.

=32×10^-3 кг/моль,  =28×10^-3 кг/моль.

Решение. Воздух,  являясь смесью идеальных газов, тоже представляет собой идеальный газ,  и  к нему можно применить  уравние  Менделеева–Клапейрона:

                                                      PV= RT.                                                    (1)

 Для каждого   компонента смеси  (кислорода  и азота) имеем:

                                                  ,                                                   (2)

                                                  ,                                                   (3)

 где    и – парциальные давления каждого компонента.

По закону Дальтона 

Р_возд  =

+ _.

Сложив (2) и (3), получим 

                                         ( + )V = .     (4)

 или  на основании   закона  Дальтона 

                                               PV= .                         (5)

Сравнив (1) и (5) с учетом того, что m_возд =m +m , имеем:

 

Откуда

                                       .                 (6)

Подставив в (6) равенство m =3m (по условию), найдем молярную массу воздуха:

=29×10^-3 кг/моль.

 

 

Пример 4.  Плотность некоторого газа равна 6·10^-2 кг/м³, а среднеквадратичная скорость молекул – 500 м/с.  Найти давление, которое газ оказывает на стенку сосуда.

Решение. В основном   уравнении молекулярно- кинетической теории –

 .

Произведение  nm выражает массу молекул, содержащихся   в  единице объема  вещества,  и следовательно, равно плотности ρ газа.  Таким образом,

 Па.

 

 

Пример 5.  6,5 г водорода, температура которого 27⁰ С,  расширяется  вдвое  при постоянном давлении  за  счет притока тепла извне. Найти: а) изменение внутренней энергии; б) количество теплоты, сообщенной газу; в) работу расширения. (М_в=2×10^-3 кг/моль).

Решение. Вычислим значения  молярных теплоемкостей водорода, учитывая, что молекулы водорода – двухатомные, а число i степеней свободы равно пяти:

=20,8·10³   Дж/моль×К;

C_р =C_v + R=20,8·10³ + 8,31·10³ =29,1·10³   Дж/моль×К.

Используя условие задачи и уравнение  для изобарического процесса

,

найдем  температуру  газа после  расширения:

Т₂  =

  =2Т₁ = 600 К.

Вычислим  изменение  внутренней энергии и количество тепла:

=20,3·10³ Дж;

=28,4·10³ Дж.

На  основании  первого начала  термодинамики  найдем работу расширения газа:

А=Q–∆U=28,4·10³–20,3·10³  Дж=8,1·10³  Дж.

 

 

Пример 6.  Воздух, занимавший объем V₁=10 л при давлении Р₁=100 кПа, был адиабатически сжат до объема V₂ =1 л. Под каким давлением Р₂ находится  воздух после  сжатия?

Решение. Поскольку  совершается адиабатический  процесс, для  решения используем уравнение  адиабаты   в виде

.

 

Отсюда следует, что

.

Показатель Пуассона – 

,

где i=5, так как считаем воздух состоящим в основном из двухатомных молекул. Подставив  в формулу для  P₂  численные значения величин, получим:

P₂  =

=10⁵ ·10^1,4 =10^6,4 Па.

В итоге логарифмирования имеем  gР₂ = 6,4.  На основании этого Р₂=2,51·10⁶ Па.

 

Пример 7. Тепловая машина работает по обратному циклу Карно. Температура  теплоотдатчика  Т₁=500 К.  Определить  термический  кпд цикла и температуру Т₂ теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого  килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу А=350Дж.

Решение. Термический  кпд тепловой машины показывает, какая доля теплоты,  полученной от  теплоотдатчика,  превращается   в  механическую работу:

,

где А – работа, совершаемая  рабочим  телом; Q₁ – теплота, полученная  от  теплоотдатчика.

По  формуле 

η=

,

зная η цикла, можно  определить температуру охладителя Т₂ :

.

Произведем  вычисления:

, .

 

Пример 8. Один моль газа совершает цикл, состоящий из 2-х изохор и 2-х изобар (см. рисунок). Температуры, соответствующие состояниям 1 и 3, –Т₁ и Т_3.