Виды общения

 

 

Относительное продольное растяжение (сжатие) :

,

где – изменение длины тела при растяжении (сжатии); l – длина тела до деформации.

Относительное поперечное растяжение (сжатие) :

,

где – изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии); d – диаметр стержня.

Связь между относительным  поперечным (растяжением) сжатием и относительным продольным растяжением (сжатием) ε –

,

где µ – коэффициент Пуассона.

 

Закон Гука для продольного  растяжения (сжатия) :

,

где Е – модуль Юнга.

Напряжение упругой деформации –

,

где F – растягивающая (сжимающая) сила; s – площадь поперечного сечения.

Потенциальная энергия  упругорастянутого (сжатого) стержня –

,

где V – объём тела.

 

1.1.4. Механические колебания

 

Уравнение гармонических  колебаний –

,

где x – смещение колеблющейся точки от положения равновесия; A, ω, φ – соответственно амплитуда, круговая (циклическая) частота, начальная фаза колебаний; t – время; – фаза колебаний в момент t.

Круговая частота колебаний –

, или  ,

где n и T – частота и период колебаний.

 

Скорость точки, совершающей гармонические  колебания, –

.

Ускорение при гармоническом колебании –

.

Амплитуда А результирующего  колебания, полученного при сложении двух, происходящих вдоль одной прямой, колебаний с одинаковыми частотами,  определяется по формуле

,

где и – амплитуды составляющих колебаний; и – их начальные фазы.

Начальная фаза φ результирующего  колебания может быть найдена  из формулы 

.

Частота биений колебаний, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих вдоль одной прямой с различными, но близкими по значению частотами и , –

.

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами и и начальными фазами и , –

,

т.е. точка движется по эллипсу.

Дифференциальное уравнение  гармонических колебаний материальной точки :

, или  ,

где m – масса точки; k – коэффициент квазиупругой силы .

 

Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания, –

.

Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный  маятник), –

,

где m – масса тела; k – жёсткость пружины.

Формула справедлива  для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела).

Период колебаний математического  маятника

,

где – длина маятника; g – ускорение свободного падения.

Период колебаний физического  маятника –

,

где – приведённая длина физического маятника; J – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; a – расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.

Эти формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При конечных значениях они дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ~ 3⁰ погрешность в значении периода не превышает 1%.

Период крутильных колебаний  тела, подвешенного на упругой нити, –

,

где J – момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k – жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

Дифференциальное уравнение  затухающих колебаний :

, или ,

где r – коэффициент сопротивления; δ – коэффициент затухания, ;

- собственная круговая частота колебаний, .

Решение дифференциального  уравнения затухающих колебаний –

,

где А(t) – амплитуда затухающих колебаний в момент времени t; w - круговая частота затухающих колебаний в момент t.

Круговая частота затухающих колебаний –

Зависимость амплитуды  затухающих колебаний от времени –

,

где - амплитуда колебаний в момент t=0.

Логарифмический декремент  затуханий :

,

где A(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний :

, или  ,

где – внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; – её амплитудное значение, .

Амплитуда вынужденных  колебаний :

.

Резонансная частота  и резонансная амплитуда :

 и  .

 

1.2.  ПРИМЕРЫ   РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧ

 

     Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид     x = A + Bt + Ct³, где А =2 м, В = 7м/с; С = -0,5м/с³. Найти координату x, скорость v и ускорение a точки в момент времени t, равный 2 с.

Решение. Координату x найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А,В,С  и времени t:

x=(2+7∙2-0,5∙2³)=12 м.

Мгновенная скорость есть первая производная от координат по времени:

v =

= B +3Ct².

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

a =

= 6Ct².

В момент времени t=2с

v =(7-3∙0,5∙2²) = 1м/с;                  

a = 6 · 0,5 ·2 = 6 м/с².

     Пример 2. Тело брошено со скоростью v₀ = 10 м/с под углом α = 40⁰ к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

1) высоту h подъема тела; 2) дальность S полета тела (по горизонтали);

3)время движения тела.

     Решение. Перемещение тела можно разложить на два: горизонтальное вдоль оси x и вертикальное вдоль оси y (см. рисунок). Применяя закон независимости движений, имеем             

                                                                 h = ;                                           (1)

                                                                 S = v_ox · 2t,                                                 (2)

где t – время подъема; 2t – время полета.

Из рисунка видно, что v_0y =v₀sinα;  v_0x = v₀cosα .  В верхней точке подъема  v_y = 0, и из уравнения   v_y = v_0y – gt получаем, что  v₀sin α = gt. Отсюда  время подъема равно

t =

c.

Подставив значение t в (1), получим высоту, на которую поднимется тело:

h=

м. 

Подставив значение t в (2), найдем дальность полета:

S = v₀ cosα 2t = 10·0,77·1,3 = 10м.

Время полета 2t = 2 · 0,64 = 1,3 с.

 

 

     Пример 3. Диск радиусом R =5 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением

ω = 2At + 5Bt⁴, где А = 2 рад/с², В = 1 рад/с⁵.

Найти для точек на ободе диска к концу первой секунды после начала движения: 1) полное ускорение; 2) число оборотов диска.

Решение. Полное ускорение может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной  к траектории, и нормального ускорения a_n, направленного к центру кривизны траектории, см. рисунок.

.

Так как векторы  и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения – Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами ;  , где ε – угловое  ускорение тела; ω – угловая  скорость тела.

По условию задачи 

ω = 2 Аt + 5 Bt⁴.

Следовательно,

 м/с²;

 м/с².

Полное ускорение 

  м/с².

Угол поворота диска равен φ = 2πN (где N –число оборотов), но угловая скорость составляет

.

Следовательно,

.

Тогда число оборотов диска –

.

 

     Пример 4. Маховик вращается с постоянной частотой n₀=10 c^-1. При торможении он начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось,  вращение маховика снова стало равномерным, но уже с частотой n = 6c^-1. Найти угловое ускорение ε маховика и продолжительность t торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N=50 оборотов.

Решение. Угловое ускорение маховика связано с начальной и конечной ω угловыми скоростями соотношением ; откуда

Но так как φ = 2 π N, ω = 2 π n, то

 рад/с².

Знак «минус» указывает на то, что маховик вращается замедленно.

Для определения продолжительности  торможения используем формулу, связывающую  угол поворота со средней угловой  скоростью вращения и временем: φ = ω_срt. По условию задачи угловая скорость линейно зависит от времени, и поэтому w_ср можно выразить так:

,

тогда . Откуда

с.

 

 

Пример 5. К нити подвешен груз массой m=1 кг. Найти силу натяжения нити , если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением a=5 м/с²; 2) опускать с тем же ускорением.

Решение. На поднимаемый груз, действуют сила тяжести mg (вниз) и сила натяжения нити F_H (вверх), см. рисунок. Применив второй закон Ньютона, получим, что ma=F_H-mg. Отсюда H.

                  На опускаемый груз также действуют сила тяжести mg (вниз)                

                        и сила натяжения нити F_H (вверх). Применив второй закон Нью-

                        тона, получим, что . Отсюда H.

                             

  

 

Пример 6. По плоскости с углом наклона 30⁰ к горизонту скользит тело. Определить скорость тела в конце второй секунды от начала скольжения, если коэффициент трения k = 0,15.

Решение

Рис. 4

Уравнение движения тела в векторной форме (второй закон  Ньютона): . В проекциях на оси x и y это уравнение примет вид                    ;              (1)                                      .                 (2)

Из уравнения (2) , см. рисунок. Сила трения

.

Тогда, подставив в уравнение (1), получим выражение

mgsinα-kmgcosα=ma,

отсюда a=g(sinα-kcosα).

Скорость тела , но v₀=0; поэтому

 м/с.

 

Пример 7. После абсолютно упругого соударения тела массой m₁, движущегося поступательно, с покоящимся телом массой m₂ оба тела разлетаются симметрично относительно направления вектора скорости первого тела до удара. Определить, при каких значениях это возможно. Угол между векторами скоростей тел после удара равен 60⁰ , см. рисунок.

    Решение. Удар абсолютно упругий, и импульс системы постоянен:

В проекциях на оси X и Y                     ;            (1)                     .                   (2)       Из уравнения  (2) следует, что                                 .                              (3)

Уравнение (1) примет вид .

Закон сохранения кинетической энергии, поскольку удар – абсолютно упругий, имеет вид

                                                 .                                         (4)