Оптимизация инвестиционного портфеля ценных бумаг

По данным таблицы  видно, что показатели рентабельности снижаются очень значительно за рассматриваемый период, все это говорит о неэффективной работе ООО «Компании БКС» в 2012 г. Несмотря на то, что выручка

За данный период увеличилась также значительно, снижение показателей рентабельности вместе со снижение чистой прибыли говорит отрицательно о деятельности компании за рассматриваемый период.

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 2. МЕТОДИКИ ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ  СТРУКТУРЫ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ

2.1. Параметр  «риск-доходность».

Материал этой главы базируется на такой важной теме, как соотношение риска и доходности. На рис. 2.1.1 показано представление портфелей в системе координат “риск–доходность” (риск отображен на оси x, а доходность — на оси y). График отображает позицию трех классов активов и портфелей, основанных на этих активах.

 

Рис.2.1.1. Эффективный  портфель.

Риск и доходность в финансовом менеджменте рассматриваются  как две взаимосвязанные категории. Риск – вероятность возникновения  убытков или недополучения доходов  по сравнению с прогнозируемым вариантом. Риск актива характеризуется степенью вариабельности дохода (или доходности), который может быть получен благодаря владению данным активом.

Обычно инвесторы  работают не с отдельными активами, а с некоторым набором активов, получившим название инвестиционного портфеля (или портфеля ценных бумаг). Объединение акций в портфель приводит к снижению риска, поскольку цены различных акций изменяются неодинаково и потери по одним акциям могут компенсироваться получением дохода по другим. Если инвестор владеет портфелем, состоящим из множества различных акций, на первый план выдвигается проблема агрегированного риска портфеля акций.

Риск (доходность) портфеля ценных бумаг представляет собой взвешенную среднюю из показателей ожидаемой доходности отдельных ценных бумаг, входящих в данный портфель:

 

(1)

где xi  доля портфеля, инвестируемая в i-й актив;

ri  ожидаемая  доходность i-го актива;

n – число  активов в портфеле.

Мерой риска  портфеля может служить показатель среднего квадратического отклонения (СКО) распределения доходности, совпадающий с формулой расчета СК0 доходности отдельного актива.

Риск портфеля можно рассчитать и через показатели риска входящих в него активов. Однако эта связь не может быть выражена формулой средней арифметической, она имеет более сложный характер.

По мере увеличения числа акций в портфеле его  риск будет уменьшаться, но не станет равным нулю. Сформировать портфель с нулевым риском было бы можно, если бы имелось достаточное число акций с нулевым или отрицательным коэффициентом корреляции.

Изменяя состав и структуру портфеля финансовых активов, можно изменять его ожидаемую  доходность и риск. Все портфели, которые при этом можно сформировать, образуют множество допустимых портфелей. Инвестора при этом интересуют только эффективные портфели. Эффективными называются портфели, обеспечивающие максимальную ожидаемую доходность при данном уровне риска или минимальный уровень риска для данной ожидаемой доходности.

Портфель, оптимальный  с точки зрения конкретного инвестора, зависит от его отношения к риску, проявляющегося в выборе параметров функции, описывающей взаимосвязь между риском и доходностью. Эта функция называется кривой безразличия. Она объединяет множество точек, которые представляют собой равнозначные (с одним уровнем полезности) с точки зрения инвестора комбинации риска и доходности.

По сути, вся  работа по оптимизации портфеля должна сводиться к нахождению соотношения  «минимальный риск – максимальная доходность»

2.2. Модель  Марковица.

Основная идея модели Марковица заключается в том, чтобы статистически рассматривать будущий доход, приносимый финансовым инструментом, как случайную переменную то есть доходы по отдельным инвестиционным объектам случайно изменяются в некоторых пределах. Тогда, если неким образом случайно определить по каждому инвестиционному объекту вполне определенные вероятности наступления, можно получить распределение вероятностей получения дохода по каждой альтернативе вложения средств. Это получило название вероятностной модели рынка. Для упрощения модель Марковица полагает, что доходы распределены нормально. По модели Марковица определяются показатели, характеризующие объем инвестиций и риск что позволяет сравнивать между собой различные альтернативы вложения капитала с точки зрения поставленных целей и тем самым создать масштаб для оценки различных комбинаций. В качестве масштаба ожидаемого дохода из ряда возможных доходов на практике используют наиболее вероятное значение, которое в случае нормального распределения совпадает с математическим ожиданием. Математическое ожидание дохода по i-й ценной бумаге (mi) рассчитывается следующим образом:

(2)

где Ri – возможный  доход по i-й ценной бумаге, руб.;

Pij – вероятность  получение дохода;

n – количество  ценных бумаг.

Для измерения  риска служат показатели рассеивания, поэтому чем больше разброс величин возможных доходов, тем больше опасность, что ожидаемый доход не будет получен. Мерой рассеивания является среднеквадратическое отклонение:

(3)

В отличии от вероятностной модели, параметрическая модель допускает эффективную статистическую оценку. Параметры этой модели можно оценить исходя из имеющихся статистических данных за прошлые периоды. Эти статистические данные представляют собой ряды доходностей за последовательные периоды в прошлом. Любой портфель ценных бумаг характеризуется двумя величинами: ожидаемой доходностью

(4)

где Xi – доля общего вложения, приходящаяся на i-ю  ценную бумагу;

mi – ожидаемая  доходность i-й ценной бумаги, %;

mp – ожидаемая  доходность портфеля, %

и мерой риска – среднеквадратическим отклонением доходности от ожидаемого значения

(5)

где σp – мера риска портфеля;

 σij – ковариация между доходностями i-й и j-й ценных бумаг;

Xi и Xj – доли  общего вложения, приходящиеся на i-ю и j-ю ценные бумаги;

n – число  ценных бумаг портфеля.

 

Ковариация доходностей  ценных бумаг (σ_ij) равна корреляции между ними, умноженной на произведение их стандартных отклонений:

(6)

где ρ_ij – коэффициент корреляции доходностей i-ой и j-ой ценными бумагами;

σ_i, σ_j – стандартные отклонения доходностей i-ой и j-ой ценных бумаг.

Для i = j ковариация равна  дисперсии акции.

Рассматривая теоретически предельный случай, при котором в  портфель можно включать бесконечное количество ценных бумаг, дисперсия (мера риска портфеля) асимптотически будет приближаться к среднему значению ковариации.

Графическое представление  этого факта представлено на рисунке 1.

 

Рисунок 2.2.1. Риск портфеля и диверсификация

Совокупный риск портфеля можно разложить на две составные  части: рыночный риск, который нельзя исключить и которому подвержены все ценные бумаги практически в равной степени, и собственный риск, который можно избежать при помощи диверсификации. При этом сумма вложенных средств по всем объектам должна быть равна общему объему инвестиционных вложений, т.е. сумма относительных долей в общем объеме должна равняться единице. Проблема заключается в численном определении относительных долей акций и облигаций в портфеле, которые наиболее выгодны для владельца. Марковиц ограничивает решение модели тем, что из всего множества «допустимых» портфелей, т.е. удовлетворяющих ограничениям, необходимо выделить те, которые рискованнее, чем другие. При помощи разработанного Марковицем метода критических линий можно выделить неперспективные портфели. Тем самым остаются только эффективные портфели.    Отобранные таким образом портфели объединяют в список, содержащий сведения о процентом составе портфеля из отдельных ценных бумаг, а также о доходе и риске портфелей. Объяснение того факта, что инвестор должен рассмотреть только подмножество возможных портфелей, содержится в следующей теореме об эффективном множестве: «Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска и минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности». Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством. На рисунке 2 представлены недопустимые, допустимые и эффективные портфели, а также линия эффективного множества.

 

Рисунок 2.2.2. Допустимое и эффективное множества

В модели Марковица допустимыми  являются только стандартные портфели (без коротких позиций). Использую  более техническую терминологию, можно сказать, что инвестор по каждому активу находится в длинной позицияи. Длинная позиция – это обычно покупка актива с намерением его последующей продажи (закрытие позиции). Такая покупка обычно осуществляется при ожидании повышения цены актива в надежде получить доход от разности цен покупки и продажи.

Из-за недопустимости коротких позиций в модели Марковица на доли ценных бумаг в портфели накладывается условие неотрицательности. Поэтому особенностью этой модели является ограниченность доходности допустимых портфелей, т.к. доходность любого стандартного портфеля не превышает наибольшей доходности активов, из которых он построен.

Для выбора наиболее приемлемого для инвестора портфеля ценных бумаг можно использовать кривые безразличия. В данном случае эти кривые отражают предпочтение инвестора  в графической форме. Предположения, сделанные относительно предпочтений, гарантируют, что инвесторы могут указать на предпочтение, отдаваемое одной из альтернатив или на отсутствие различий между ними. Если же рассматривать отношение инвестора к риску и доходности в графической форме, откладывая по горизонтальной оси риск, мерой которого является среднеквадратическое отклонение (σp), а по вертикальной оси – вознаграждение, мерой которого является ожидаемая доходность (rp), то можно получить семейство кривых безразличия.

   Располагая  информацией об ожидаемой доходности  и стандартных отклонениях возможных портфелей ценных бумаг, можно построить карту кривых безразличия, отражающих предпочтения инвесторов. Карта кривых безразличия – это способ описания предпочтений инвестора к возможному риску полностью или частично потерять вкладываемые в портфель ценных бумаг деньги или получить максимальны доход. Различные позиции инвесторов по отношению к риску можно представить в виде карт кривых, отражающих полезность вложений в те или иные инвестиционные портфели (рисунок 3). Каждая из указанных на рисунке 3 позиций инвестора к риску характерна тем, что любое уменьшение им риска сказывается на сокращении доходности и стандартном отклонении каждого из портфелей. И поскольку портфеля включает в себя набор различных бумаг, то вполне объяснимым является зависимость его от ожидаемой доходности и стандартного отклонения его от ожидаемой доходности и стандартного отклонения каждой ценной бумаги, входящей в портфель.

Рисунок 2.2.3.Карты кривых безразличия инвесторов

Инвестор должен выбирать портфель, лежащий на кривой безразличия, расположенной выше и левее всех остальных кривых. В теореме об эффективном множестве утверждается, что инвестор не должен рассматривать портфели, которые не лежат на левой верхней границе множества достижимости, что является ее логическим следствием. Исходя из этого, оптимальный портфель находится в точке касания одной из кривых безразличия самого эффективного множества. На рисунке 4 оптимальный портфель для некоторого инвестора обозначен O*.

 

Рисунок2.3.4.Выбор оптимального портфеля

Определение кривой безразличия клиента является нелегкой задачей. На практике ее часто получают в косвенной или приближенной форме путем оценки уровня толерантности риска, определяемой как наибольший риск, который инвестор готов принять для данного увеличения ожидаемой доходности.

Поэтому, с точки  зрения методологии модель Марковица  можно определить как практически-нормативную, что не означает навязывания инвестору определенного стиля поведения на рынке ценных бумаг. Задача модели заключается в том, чтобы показать, как поставленные цели достижимы на практике.

2.3. Модель  Шарпа.

Как следует  из модели Марковица, задавать распределение  доходов отдельных ценных бумаг  не требуется. Достаточно определить только величины, характеризующие это распределение: математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение и ковариацию между доходностями отдельных ценных бумаг. На практике для сравнительно небольшого числа ценных бумаг произвести такие расчеты по определению ожидаемого дохода и дисперсии возможно. При определении же коэффициента корреляции трудоемкость весьма велика. В 1960-х годах Уильям Шарп первым провел регрессионный анализ рынка акций США. Для избежания высокой трудоемкости Шарп предложил индексную модель. Причем он не разработал нового метода составления портфеля, а упростил проблему таким образом, что приближенное решение может быть найдено со значительно меньшими усилиями. Шарп ввел β-фактор, который играет особую роль в современной теории портфеля.

(7)

где σ_iM – ковариация между темпами роста курса ценной бумаги и темпами роста рынка;

σ²_M – дисперсия доходности рынка.

Показатель  «бета» характеризует степень риска  бумаги и показывает, во сколько  раз изменение цены бумаги превышает  изменение рынка в целом. Если бета больше единицы, то данную бумагу можно отнести к инструментам с повышенной степенью риска, т.к. ее цена движется в среднем быстрее рынка. Если бета меньше единицы, то степень риска этой бумаги относительно низкая, поскольку в течение периода глубины расчета ее цена изменялась медленнее, чем рынок. Если бета меньше нуля, то в среднем движение этой бумаги было противоположно движению рынка в течение периода глубины расчета. В индексной модели Шарпа используется тесная корреляция между изменением курсов отдельных акций. Предполагается, что необходимые входные данные можно приблизительно определить при помощи всего лишь одного базисного фактора и отношений, связывающих его с изменением курсов отдельных акций. Как правило за такой фактор берется значение какого-либо индекса. Зависимость доходности ценной бумаги от индекса описывается следующей формулой: