Кристаллическая решётка

     Процессы, изображенные  на рис. 4.10а (слева), возможны, так  как для них выполнены закон  сохранения энергии и импульса  и обеспечено выполнение принципа  Паули). Процессы, изображенные на рис. 4.10а (справа), - невозможны, поскольку состояние 4 занято и электрон после столкновения не может в нем оказаться. Крайне маловероятны и процессы изображенные на рис. 4.10б (слева), хотя состояния 3 и 4 свободны; для их осуществления потребуется дополнительная энергия намного превосходящая  (суммарная энергия электронов в состояниях 3 и 4 значительно превосходит суммарную энергию электронов в состояниях 1 и 2). Поэтому в процессах столкновений участвуют только электроны, волновые векторы которых находятся только в очень тонком слое вблизи поверхности Ферми (см. рис. 4.10а (слева)). И из этой малой доли электронов не все смогут сталкиваться из-за ограничений, налагаемых законом сохранения импульса. Например, столкновения электронов с волновыми векторами, отмеченными на рис. 4.10б (справа), невозможны из-за невыполнения закона сохранения импульса. По этим причинам электроны, находящиеся в металле на малых расстояниях порядка межатомных и быстро двигающиеся, сталкиваются тем не менее сравнительно редко. Результатом этого является очень большая длина свободного пробега электронов, достигающая (см. задачу 4.3) иногда десятков и сотен тысяч межатомных расстояний. Как показывают расчеты и анализ опытных данных, столкновения электронов с фононами - более частые, чем электронов с электронами.

     Рассмотрим поэтому  подробнее столкновения электронов  с фононами, поскольку они более  частые и обеспечивают главный  вклад в электросопротивление. Число  фононов при температурах порядка  комнатной пропорционально температуре (см. разд. 3.3); поэтому считают, что частота столкновений электронов с фононами пропорциональна температуре. Согласно (4.22) вклад в электросопротивление от динамических дефектов окажется также пропорциональным температуре. Экспериментальные данные (см. рис. 4.11) хорошо подтверждают этот вывод.

     Зависимость удельного  сопротивления от температуры  характеризуют величиной температурного  коэффициента сопротивления: . Заметим,  что при одной и той же  температуре величина , вычисленная по данным рис. 4.11 для сплавов разного состава, оказывается различной, поскольку равна отношению тангенса наклона кривой  (они приблизительно одинаковы для всех кривых) к величине , разной для сплавов разного состава (см. задачу 4.2). По этой причине для сплавов с большим вкладом статических дефектов в удельное сопротивление величина  оказывается очень малой.

 

Рис. 4.11.

Температурные зависимости удельного  сопротивления меди и сплавов  медь-никель

     По кривым, изображенным  на рис. 4.11, видно, что вклады в удельное сопротивление проводника от динамических и статических дефектов можно считать аддитивными. Концентрация статических дефектов и связанное с ней удельное сопротивление проводника при температуре вблизи абсолютного нуля пропорциональны концентрации атомов примеси.

     В технике особо  широко используются материалы  с наименьшими и наибольшими  значениями . Первые необходимы для  создания наиболее компактных  и экономичных проводов и электротехнических  изделий, а вторые - для различных  нагревателей и датчиков.

     Проводники с наименьшим  сопротивлением. Для создания таких  материалов обеспечивают минимальное  количество дефектов. Для уменьшения  концентрации статических дефектов  используют наиболее чистые металлы,  и их дополнительный отжиг,  способствующий уменьшению концентрации - "залечиванию" дефектов и уменьшению  (см. рис. 4.11). Для уменьшения концентрации динамических дефектов желательно применять охлаждение проводников, однако это обычно не выгодно экономически; поэтому ограничиваются обычно борьбой с перегревом изделия, например с помощью обдува воздухом, циркуляции жидкости вокруг или внутри проводов.

     В качестве наиболее  эффективных проводников чаще  всего используют хорошо очищенные  медь, алюминий или серебро.

     Проводники с наибольшим  сопротивлением. Для создания таких проводников обеспечивают максимальное количество дефектов в материале. Для этого используют сплавы атомов сильно различающихся строением электронных оболочек, но хорошо смешиваемые друг с другом. В таком случае кристаллическая решетка состоит из беспорядочно чередующихся атомов, которые затрудняют движение электронов, сильно рассеивая их.

     Наиболее часто как  материал с наибольшим сопротивлением  используют сплав никеля с  хромом (так называемый нихром), который  обладает еще и хорошими антикоррозионными свойствами до температур порядка 1400 К.

     Задачи к разделу  4.3.

     4.2. Определить температурный  коэффициент сопротивления сплавов  медь-никель, содержащих 0 и 3 процента  никеля, при температуре 100 и 400 К, используя графики, изображенные на рис. 4.11.

     Указание. Температурный  коэффициент сопротивления вычислить  по формуле: .

     4.3. Оценить длину  свободного пробега электронов  в меди при температуре 20 К,  если при этой температуре  удельное сопротивление меди  равно . Считать, что в меди валентные электроны описываются моделью электронного Ферми-газа с заданной энергией Ферми . Считать что концентрация валентных электронов задана и равна .

     Решение. Длина свободного  пробега вычисляется как . Величина  определяется по формуле (4.21), а величина  - по формуле .

 

4.4. Электропроводность полупроводников.

     Электропроводность  полупроводников можно рассматривать  с позиций классической механики, то есть считать, что одновременно  измеримы координаты и импульс  как электронов, так и дырок, и что можно отслеживать движение каждого электрона и дырки индивидуально. Показать это можно, рассмотрев функцию занятости состояний (4.5) в случае сравнительно узкой запрещенной зоны (см. рис. 4.12). На нем штриховкой отмечены занятые электронами состояния. Проанализировав зависимости, изображенные на рис. 4.12, можно сделать 2 вывода.

 

Рис. 4.12.

Распределение электронов по состояниям в полупроводнике

     Первое, поскольку число  электронов в зоне проводимости  должно равняться числу дырок в валентной зоне, то площади 1 и 2 должны быть приблизительно равны (с малыми поправками на величины эффективных масс электрона и дырки и трехмерное распределение состояний в пространстве волновых векторов). Это достигается, если уровень Ферми совпадает с серединой запрещенной зоны. Это утверждение можно доказать и более строго (см. [1, 2, 3]).

     Второе, так как , то  формула (4.5) для вычисления вероятности  встретить электрон в зоне  проводимости (и дырки в валентной  зоне) превращается в распределение  Больцмана:

    

(4.23) 

     Это позволяет при  описании поведения электронов  и дырок использовать классические  подходы. Величину  удобно отсчитывать  от верхнего края валентной  зоны, что мы и будем подразумевать  при дальнейшем изложении.

     Беспримесные полупроводники. Рассмотрим полупроводник кремний, имеющий кристаллическую структуру типа алмаза, в которой каждый атом соединен четырьмя валентными связями с ближайшими соседями. При температуре Т=0 К все связи заполнены электронами, что соответствует полностью заполненной валентной зоне и пустой зоне проводимости, отделенной от валентной зоны по энергии на 1,1 эВ. При увеличении температуры до примерно 200-300 К некоторые электроны из валентной зоны смогут перейти в зону проводимости; это соответствует "уходу" электрона из ковалентной связи 1 (см. рис. 4.13) и превращению его в "свободно перемещающийся" по кристаллу электрон.

 

Рис. 4.13.

Образование и движение электронов и дырок в полупроводниках

     На месте опустевшей  ковалентной связи образуется  дырка - "разорвавшаяся" ковалентная связь, которую покинул электрон. Электрон из соседней связи может "перескочить" в "дырку", тогда дырка как бы переместится на новое место 2 (см. рис. 4.13). Поскольку электроны и дырки образуются парами, то, очевидно, что число дырок в рассмотренном случае равно числу электронов.

     Один из свободных  электронов может занять одну  из дырок; в результате они  оба исчезнут, такой процесс называется  рекомбинацией электрона и дырки  (см. рис. 4.13 (3)). Вероятность рекомбинации  пропорциональна произведению концентраций электронов и дырок. Вероятность зарождения пары электрон - дырка зависит от температуры полупроводника (а также от частоты и интенсивности излучения, падающего на полупроводник). В состоянии равновесия устанавливается равенство чисел скорости зарождения и рекомбинации электронов и дырок и связанные с ними концентрации последних, зависящие от температуры полупроводника, а также от частоты и интенсивности падающих на полупроводник излучений.

     Можно получить зависимость  проводимости полупроводника от температуры. Вероятность образования пары электрон - дырка с минимальной энергией (очевидно, такая пара получается если электрон проводимости обладает наименьшей энергией, а дырка - наибольшей (см. рис. 4.14)) будет максимальной согласно (4.23). Именно такие пары в основном образуются при температуре порядка  и дают основной вклад в концентрацию  свободных носителей заряда.

 

Рис. 4.14.

Энергетические уровни в беспримесном полупроводнике

     Тогда можно приближенно  записать, что:

    

. (4.24) 

     Поскольку проводимость  пропорциональна концентрации свободных  носителей заряда, аналогичную формулу  можно записать и для проводимости  полупроводника:

    

. (4.25) 

     Этот закон подтверждается  экспериментально (см. рис. 4.15). Тангенс наклона прямой линии на этом рисунке связан с шириной запрещенной зоны беспримесного полупроводника.

 

Рис. 4.15.

Зависимость логарифма проводимости беспримесного полупроводника от температуры 

     Подвижность носителя  электрического тока. Итак, ток в полупроводнике формируется свободными электронами и дырками, концентрации которых обозначим как  и . Тогда плотность тока в полупроводнике, помещенном в поле , может быть записана как:

    

. (4.26) 

     Здесь через  и   обозначены дрейфовые скорости  электронов и дырок. Сопоставляя закон Ома в дифференциальной форме  с формулами (4.26) и (4.19), получаем, что  и  пропорциональны . Удобно ввести новую величину - подвижность носителя электрического тока с помощью соотношения:

    

. (4.27) 

     Из этого соотношения видно, что подвижность численно равна дрейфовой скорости движения носителя в поле  единичной величины.

     Понятие подвижности  носителей - очень удобное в  физике полупроводников понятие.  Запись многих сложных соотношений  теории полупроводников с помощью понятия подвижность сильно упрощаются (см. к примеру, раздел, посвященный эффекту Холла). В частности соотношение (4.26) можно переписать в виде:

    

. (4.28) 

     Обычно подвижность  электронов значительно выше, чем  подвижность дырок, поскольку перемещение дырки - более сложный процесс, связанный с перескоками многих электронов.

     Примесная проводимость  полупроводников. Некоторые примеси  даже при малых их концентрациях  очень сильно изменяют проводимость  полупроводника. Такие примеси приводят к появлению избыточного количества или свободных электронов, или дырок. Их называют соответственно донорными примесями (отдающими электроны) или акцепторными примесями (забирающими электроны).

     Получившийся после  добавления донорных примесей  полупроводник называют донорным полупроводником. Его также называют электронным (так как в нем - избыток свободных электронов) или же полупроводником -типа: от слова  - отрицательный, поскольку в нем - избыток отрицательных свободных носителей заряда.

     Получившийся после добавления акцепторных примесей полупроводник называют акцепторным полупроводником. Его также называют дырочным (так как в нем - избыток свободных дырок) или же полупроводником -типа: от слова  - положительный, поскольку в нем - избыток положительных свободных носителей заряда.

     Донорные полупроводники - получаются при добавлении в  полупроводник элементов, от которых  легко "отрывается" электрон. Например, если к четырехвалентному кремнию  (или германию) добавить пятивалентный  мышьяк (или фосфор), то последний использует свои 4 валентных электрона для создания 4 валентных связей в кристаллической решетке, а пятый электрон окажется "лишним", такой электрон легко отрывается от атома и начинает относительно свободно перемещаться по кристаллу. В таком случае в кристалле образуется избыток свободных электронов. Не следует забывать и об образовании пар электрон - дырка, как это рассматривалось в случае беспримесного полупроводника, однако для этого требуется значительно большая энергия, и поэтому вероятность такого процесса при комнатных температурах достаточно мала в соответствии с (4.23). Электроны в донорном полупроводнике принято называть основными носителями заряда, а дырки - неосновными носителями заряда.

     На языке зонной  теории появление "легко отрывающихся" электронов соответствует появлению в запрещенной зоне донорных уровней вблизи нижнего края зоны проводимости (см. рис. 4.16). Электрону для перехода в зону проводимости с такого уровня требуется меньше энергии, чем для перехода из валентной зоны (см. рис. 4.16), чему соответствует уход электрона из обычной ковалентной связи.

 

Рис. 4.16.

Схема электронных состояний донорного  полупроводника

     При температурах  порядка комнатной основной вклад  в проводимость полупроводника  будут давать электроны, перешедшие в зону проводимости с донорных уровней, вероятность же перехода электронов из валентной зоны будет очень мала.