Кристаллическая решётка

    

. (4.9) 

     В таком случае  можно говорить о нахождении  электрона в некоторой области  пространства размера порядка  , движущемуся со скоростью, имеющей  значение в диапазоне порядка . Связанный с импульсом волновой вектор электрона должен тогда также иметь некоторую неопределенность . Поскольку волновой функцией свободного электрона является плоская волна вида:

    

, (4.10) 

     то электрону, имеющему  значения  в некотором диапазоне, согласно теории волн, будет соответствовать волновой пакет. Скорость распространения максимума амплитуды волнового пакета, так называемая групповая скорость, определяется как:

    

(4.11) 

     Эта скорость и  характеризует процесс перемещения  волнового пакета и связанной с ним области пространства, где вероятность встретить электрон будет наибольшей. На рис. 4.4 групповая скорость соответствует тангенсу наклона касательной (умноженному на ) к графику зависимости . На границе зоны Бриллюэна, где происходит образование стоячей волны и нет переноса энергии волной, групповая скорость равна нулю и график в точке должен иметь горизонтальную касательную. В таком случае функция должна иметь хотя бы одну точку перегиба (см. рис. 4.4 б).

     Понятие групповой скорости обобщается и на трехмерное распределение состояний: в трехмерном - пространстве вектор групповой скорости задается как градиент функции . Он перпендикулярен поверхности Ферми [2].

     Рассмотрим движение  электрона как классической частицы под действием внешней силы . Вычислим, как будет изменяться . Для этого вычислим производную по времени (аналог ускорения в классической механике) для простого случая, когда как вектор силы , так и групповой скорости  направлен вдоль одной прямой. Тогда для проекций  и  на эту ось получим:

    

(4.12) 

     Эту формулу можно  переписать в виде:

    

(4.13) 

     Она аналогична второму  закону Ньютона:

    

(4.14) 

     если положить что:

    

(4.15) 

     Величину принято  называть эффективной массой электрона. В ее значении косвенно учтено воздействие периодического поля кристалла, на закон изменения энергии электрона от волнового вектора электрона. Получился неожиданный результат, что кристаллическое периодическое поле не меняет радикально картину движения электрона по сравнению с вакуумом, а изменяет лишь эффективную массу электрона.

     Эффективная масса  электрона значительно отличается  от массы электрона и имеет,  согласно (4.15), различные значения  для разных волновых векторов  электрона. При малых значениях модуля  (см. рис. 4.4 б), ее значение, задаваемое второй производной функции , оказывается положительным, а при  близких к границе зоны Бриллюэна - отрицательным. В последнем случае получается, что внешняя сила не ускоряет, а тормозит электрон. Парадокса здесь нет, поскольку торможение связано с влиянием периодического поля кристалла на движение электрона. Такие электроны ведут себя во внешних электромагнитных полях как частицы с отрицательной массой или как положительно заряженные частицы. Заметим, что такую частицу можно считать обладающей либо отрицательной массой, либо зарядом противоположного знака, что эквивалентно, поскольку ускорение частицы под действием внешнего электромагнитного поля меняет свой знак как при изменении знака массы, так и изменении знака заряда. Такие положительно заряженные частицы принято называть дырками; движение дырок будет рассмотрено в разд. 4.4, посвященном полупроводникам.

     Точке перегиба на  рис. 4.4 (б) соответствует согласно (4.15) бесконечно (или же очень) большая эффективная масса. Такой электрон практически не меняет своей скорости под влиянием внешней силы.

     Для большей части  электронов эффективная масса  как правило положительна. В частности,  она положительна у всех электронов, если зона заполнена наполовину или менее (см. рис. 4.4 б). Отрицательной эффективной массой обладают лишь электроны в состояниях вблизи границы первой Зоны Бриллюэна.

     Задачи к разделу  4.1.

     4.1. Определить энергию  Ферми одновалентного металла,  имеющего параметр простой кубической решетки . Найти функцию распределения электронов по энергиям. Найти функцию распределения электрон по длинам волн де-Бройля. Сопоставить минимальную длину Волны де-Бройля с параметром решетки .

     Решение. Для определения  энергии Ферми используем формулу (4.4). Величину  найдем как , поскольку на 1 свободный электрон (валентность атома равна 1) приходится объем одной элементарной кубической ячейки. Минимальной длине волны де-Бройля соответствует максимальный импульс электрона и максимальная энергия электрона, то есть энергия Ферми; отсюда по (4.3) можно найти эти величины: . Величины  и  получатся сопоставимыми. Согласно теории Ферми-газа (см. том 5), функция плотности состояний для электронов Ферми-газа имеет вид:

    

 

     Получить функцию  распределения электронов по длинам волн де Бройля можно, использовав соотношение  и формулу . Из последней формулы следует выразить  через, а затем получить выражение для функции , подставив все выражения в соотношение для.

 

4.2. Диэлектрики полупроводники и проводники

     Характер заполнения  зон электронами определяет механизм  проводимости вещества и объясняет  деление веществ на диэлектрики  полупроводники и проводники.

     Прежде всего заметим,  что сначала заполняются зоны  с меньшей энергией, они оказываются полностью заполненными. Зона полностью заполненная, но обладающая наибольшей энергией, называется валентной зоной. Следующая за ней зона, называемая зоной проводимости, может быть не заполненной или частично заполненной (см. рис. 4.5). Не заполненная зона соответствует случаю полупроводников и диэлектриков, а частично заполненная зона соответствует случаю проводников. Рассмотрим по отдельности оба эти случая.

 

Рис. 4.5.

Схема заполнения энергетических зон  в веществе

     Случай проводников.  Если зона проводимости заполнена частично, то занятые состояния в ней будут находиться под поверхностью Ферми, которая согласно разд. 4.1 имеет центр симметрии. В таком случае электрону с любым волновым вектором  будет соответствовать электрон с волновым вектором . Оба эти электрона будут обладать суммарным нулевым импульсом (и суммарной нулевой скоростью) и не будут давать вклад в перенос заряда и формирование электрического тока (см. рис. 4.6). Ситуация изменится, если приложить электрическое поле и связанную с ним внешнюю силу  (см. рис. 4.6): состояние электрона 1 с волновым вектором , направленным вдоль , будет менее энергетически выгодным, чем состояние электрона 2 с волновым вектором , направленным против . Тогда электронам будет выгодно перегруппироваться: освободить состояния А под поверхностью Ферми и занять состояния В над поверхностью Ферми (см. рис. 4.6). Такое распределение электронов будет уже обладать ненулевой суммарной скоростью и будет давать вклад в электрический ток. Такое вещество, называемое проводником, сможет хорошо проводить электрический ток, что обеспечено возможностью для электронов перераспределиться по состояниям во внешнем электрическом поле.

 

Рис. 4.6.

Перераспределение электронов по состояниям под влиянием внешнего электрического поля

     Случай диэлектриков. Если зона проводимости заполнена полностью, то занятые состояния в ней будут полностью заполнять зону Бриллюэна, которая согласно разд. 4.1 имеет центр симметрии; ближайшие незанятые состояния будут находиться уже в следующей зоне и отделены от занятых состояний по энергии на величину  (см. рис. 4.7). В таком случае, как и в случае проводников, электрону с любым волновым вектором  будет соответствовать электрон с волновым вектором . Оба эти электрона будут обладать суммарным нулевым импульсом и не будут давать вклад в перенос заряда и формирование электрического тока (см. рис. 4.7).

 

Рис. 4.7.

Невозможность перераспределения  электронов под влиянием внешнего электрического поля в случае полностью заполненной  зоны (случай диэлектрика)

     Ситуация не изменится,  если приложить внешнее электрическое  поле и связанную с ним внешнюю  силу  (см. рис. 4.7). Электронам не  удастся перегруппироваться, как  на рис. 4.6, так как для этого  они должны покинуть состояния  А и занять состояния В с  энергией на  большей. Энергии теплового движения порядка  не хватает для такой перегруппировки. Поэтому перегруппировки электронов по состояниям, обеспечивающей появление электрического тока, не происходит. Таким образом, полностью заполненная зона не будет давать вклад в электропроводность вещества. Такие вещества, называемые диэлектриками, очень плохо проводят электрический ток.

     Случай полупроводников.  Если в предыдущем случае (диэлектрика)  ширина запрещенной зоны не  слишком велика, а составляет, например, , то часть электронов в результате теплового движению сможет "перебраться" из полностью заполненной зоны в зону проводимости. В таком случае в валентной зоне появятся свободные состояния (дырки), а в зоне проводимости - состояния, занятые электронами. Электроны получат возможность перегруппировки по состояниям во внешнем электрическом поле, как в зоне проводимости, так и в валентной зоне, как это показано на рис. 4.6. Однако, поскольку электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне мало, такое вещество, называемое полупроводником, будет сравнительно плохо проводить электрический ток.

     На рис. 4.8 приведены  схематические картины заполнения  зон электронами в случае проводников,  диэлектриков и полупроводников.

 

Рис. 4.8.

Заполнение зон электронами в случае проводников, диэлектриков и полупроводников

     Рассмотрим, какие вещества  оказываются проводниками, диэлектриками  и полупроводниками.

     Щелочные и благородные  металлы, как известно, имеют один  валентный электрон. Зона с наибольшей  энергией у них будет заполнена наполовину, что соответствует схеме на рис. 4.6 и 4.8 а. Такие металлы хорошо проводят электрический ток.

     Четырехвалентный углерод  (алмаз) имеет полностью заполненную  валентную зону, отделенную от  зоны проводимости запрещенной  зоной порядка 5 эВ; алмаз оказывается хорошим изолятором. Ионные кристаллы, являющиеся диэлектриками, также состоят из атомов с полностью заполненными валентными зонами.

     Четырехвалентные кремний  и германий имеют полностью  заполненную валентную зону, отделенную от зоны проводимости запрещенной зоной порядка 1,2 и 0,7 эВ соответственно, что составляет примерно  при комнатной температуре, электроны могут в таком случае переходить из валентной зоны в зону проводимости; кремний и германий являются самыми распространенными полупроводниками. Электропроводность германия при нагреве быстрее увеличивается, чем кремния, поскольку ширина запрещенной зоны германия меньше, чем кремния.

     Щелочноземельные элементы  имеют два валентных электрона,  и, казалось бы, их зоны должны быть полностью заполнены, однако зоны в этих металлах перекрываются с образованием "общей" зоны "большей вместимости". Из-за этого зона с наибольшей энергией не полностью заполнена, а сами щелочноземельные элементы оказываются проводниками.

 

4.3. Электропроводность проводников

     Электропроводность  проводников следовало бы рассматривать  с позиций квантовой механики, однако, это - сложная для вводного  курса задача. Поэтому воспользуемся  полуклассическим подходом для  вычисления электропроводности  проводников.

     Рассмотрим проводник,  у которого при отсутствии  внешнего электрического поля  занятые состояния электронов  в -пространстве будут ограничены  поверхностью Ферми, которую для  простоты будем считать сферой, не пересекающей границы первой  зоны Бриллюэна (см. рис. 4.9).

 

Рис. 4.9.

Изменение распределения электронов по состояниям при воздействии на проводник внешней силой со стороны  электрического поля

     При появлении внешнего  поля  на электроны будет действовать  сила . Они начнут ускоряться в  соответствии со вторым законом Ньютона:

    

. (4.16) 

     Электроны через время   приобретут дополнительную скорость:

    

. (4.17) 

     Можно считать, что  распределение электронов по  состояниям, изображенное на рис. 4.9, как бы сместиться на некоторое расстояние. Очевидно, что через достаточно большое время скорость электронов и смещение распределения электронов на рис. 4.9 могут стать очень большими. Однако, необходимо учитывать столкновения электронов как друг с другом, так и с различными препятствиями.

     Совершенная кристаллическая  решетка, согласно разд.4.1, не может  быть препятствием для движения  электронов с волновыми векторами,  не попадающими на границы  зон Бриллюэна. Электрон может  сталкиваться лишь с другими  электронами и с различными  несовершенствами (дефектами) кристаллической решетки, которые принято разделять на динамические и статические.

     К динамическим дефектам  относятся, например, фононы и  магноны; взаимодействие электрона  с ними напоминает столкновение  с движущейся частицей, отсюда и их название. На самом же деле движущийся фонон искажает кристаллическую решетку (см. разд. 3.1), и электрон отклоняется искаженным ее участком.

     К статическим дефектам  относятся все дефекты кристаллической  решетки, рассмотренные в главе  2; взаимодействие электрона с ними напоминает столкновение с покоящейся (статической) частицей, отсюда и такое название. Концентрация динамических дефектов возрастает при увеличении температуры, а статических дефектов - приблизительно остается постоянной.

     Из-за столкновений электрон будет ускоряться какое-то среднее время , называемое временем релаксации, после чего произойдет столкновение, скорость электрона изменится и примет случайное, в среднем равное нулю значение. За время до столкновения электрон приобретет среднюю скорость направленного движения, называемую дрейфовой скоростью, равную:

    

. (4.18) 

     Это обеспечит протекание  тока плотности:

    

. (4.19) 

     Вспомнив закон Ома: , получаем для коэффициента электропроводности  выражение:

    

. (4.20) 

     Для удельного сопротивления  получается выражение:

    

. (4.21) 

     Через  обозначена  средняя частота столкновений  электрона.

     Для анализа зависимости   необходимо рассмотреть зависимость   от температуры и концентрации  дефектов.

     Можно считать, что динамические и статические дефекты при не слишком больших их концентрациях воздействуют на движущиеся электроны независимо друг от друга. Тогда можно считать частоту столкновений электрона с дефектами состоящей из двух слагаемых:

    

. (4.22) 

     Первое слагаемое  не зависит от температуры.  Второе слагаемое зависит: во-первых, от концентрации фононов и  от механизмов столкновений электронов  с фононами, во-вторых, от столкновений  электронов друг с другом.

 

Рис. 4.10a.

Схема столкновений двух электронов друг с другом. Стрелками обозначены волновые векторы двух электронов до (1 и 2) и после (3 и 4) столкновения друг с другом

 

Рис. 4.10б.

Схема столкновений двух электронов друг с другом. Стрелками обозначены волновые векторы двух электронов до (1 и 2) и после (3 и 4) столкновения друг с другом

     При столкновениях  электронов друг с другом необходимо  учитывать законы сохранения  энергии, импульса и принцип  Паули. Принцип Паули приводит  к дополнительным значительным  ограничениям на волновые векторы электронов после столкновения: электрон должен оказаться в состоянии, не занятом другими электронами. Как уже отмечалось выше, при всех температурах до температур плавления в проводниках заняты (с вероятностью очень близкой к единице) практически все состояния с энергией меньшей энергии Ферми на величину порядка нескольких . Таких занятых состояний, находящихся на рис. 4.10 внутри самой малой сферы, - значительное большинство, и именно в них не может оказаться электрон после столкновения; из-за чего столкновения не происходят, даже если они разрешены законами сохранения энергии и импульса.