Кристаллическая решётка

     В рассмотренных в разделах 3.1-3.3 моделях кристалл рассматривается как совокупность невзаимодействующих осцилляторов; это давало возможность пользоваться теорией Бозе-газа для описания тепловых свойств кристалла. Такое приближение оправдано, если силы, возвращающие смещенный атом в положение равновесия, линейно зависят от смещений, то есть упругие константы не зависят от смещений атомов. Обычно эти предположения, называемые гармоническим приближением, выполняются только приближенно (см. начало этого раздела). Именно благодаря отклонениям от гармонического приближения можно объяснить физические механизмы взаимодействия двух фононов, которые, согласно теории распространения упругих волн, в линейной однородной среде не должны вообще взаимодействовать друг с другом.

     Возможность взаимодействия двух фононов объясняется следующим образом. Пусть через кристалл распространяется фонон, он деформирует кристаллическую решетку с периодом равным длине его волны . Тогда, согласно изложенным в начале этого раздела рассуждениям, в кристалле появится модуляция упругих постоянных с таким же периодом модуляции, напоминающая дифракционную решетку (см. рис. 3.1). Второй фонон, распространяясь через такую "дифракционную решетку", может дифрагировать на ней. В результате он изменит направление своего движения, причиной чего стал первый фонон, создавший своеобразную дифракционную решетку. В таком случае говорят о взаимодействии, столкновении двух фононов. Необходимым условием такого столкновения является "нелинейный эффект" - искажение упругих свойств кристаллической решетки при прохождении через нее фонона. Поэтому и принято считать процессы столкновения фононов проявлением "ангармонических, нелинейных" свойств взаимодействий в кристалле.

     Рассмотрение фононов  как редко взаимодействующих частиц почти идеального Бозе-газа позволяет при расчете коэффициента теплопроводности использовать формулу, полученную для идеального газа (см. том 2):

    

. (3.38) 

     В этой формуле  - теплоемкость единицы объема  газа при постоянном объеме (у  нас - Бозе- газа);  - средняя скорость молекул газа (у нас - скорость упругих волн - групповая скорость бозонов); - эффективная длина свободного пробега молекул газа (у нас - бозонов).

     Величина  зависит  от частоты столкновений "переносчиков" теплоты и, что самое главное, от того, насколько данный вид столкновений изменяет картину переноса энергии "переносчиками" теплоты. Очевидно, что столкновения, приводящие к отклонению частиц, переносящих энергию, на малый угол (см. рис. 3.15 а) слабее влияют на перенос теплоты и величину , чем процессы, приводящие к сильной переориентации направления движения частицы (см. рис. 3.15 б).

 

Рис. 3.15.

Схема движения частицы, испытывающей при столкновениях отклонения на малые (а) и большие (б) углы

     Столкновения фононов  вида  (см. также рис. 3.16), при которых выполняется закон сохранения энергии и импульса фононов, также оказывают малое влияние на уменьшение величины  . Их принято называть нормальными процессами (или - процессами).

 

Рис. 3.16.

Схемы столкновения фононов вида  (а) и  (б), при которых выполняется закон сохранения импульса фононов

     Это название связано  с тем, что суммарный импульс  фононов  при таких процессах  сохраняется; как следствие сохраняется  направление движения столкнувшегося  коллектива фононов как целого и связанное с ним направление переноса связанной с ними тепловой энергии.

     В кристалле возможны  столкновения фононов вида  (см. также рис. 3.17), где  (вектор обратной  решетки, для которых закон  сохранения импульса в обычной  записи (без учета вектора ) не выполняется.

 

Рис. 3.17.

Схема процесса переброса 

     При таких столкновениях  суммарный импульс фононов   оказывается за границей первой  зоны Бриллюэна, и к импульсу  системы фононов добавляется  импульс , полученный от кристаллической  решетки. В результате вектор родившегося фонона  имеет направление распространения, сильно отличающееся от направления суммарного импульса фононов . Именно такие процессы, при которых в ходе одного столкновения происходит сильное изменение направления движения системы фононов и связанное с ним направление переноса тепловой энергии, оказывают очень сильное влияние на теплопроводность. Их принято называть процессами переброса (или -процессами).

     Заметим, что для  появления процесса переброса  значения  и  должны быть достаточно большими порядка  и более. Такие процессы происходят при сравнительно высоких температурах, когда велика вероятность встретить фонон с большими значениями волнового вектора и энергии.

     Оценим температурную  зависимость коэффициента теплопроводности при высоких температурах. В этом случае  примерно постоянна, число фононов с  достаточно велико. Тогда длина свободного пробега окажется обратно пропорциональной вероятности столкновения с упомянутыми фононами. Такая вероятность пропорциональна их числу, или температуре , поскольку при высоких температурах согласно разделу 3.3, число фононов пропорционально температуре. В итоге получается, что при высоких температурах , что и наблюдается экспериментально.

     Оценим температурную  зависимость коэффициента теплопроводности ( при низких температурах. В этом случае  пропорциональна  (см. раздел 3.3) число фононов с  очень мало, пропорционально  и при  стремится к нулю. Тогда  должна была бы стремиться к бесконечности, но этого не происходит, поскольку начинает сказываться рассеяние фононов на структурных неоднородностях (дефектах, границах зерен и т.п.). Тогда  определится в основном концентрацией дефектов, не зависящей от температуры. В этом случае можно считать, что не зависит от температуры, а  пропорциональна . Тогда  пропорционален , что наблюдается экспериментально.

     Таким образом удается  теоретически объяснить зависимость  коэффициента теплопроводности  от температуры, изображенную  на рис. 3.18. Главными ее особенностями  являются наличие максимума при температурах 20-50 К и уменьшение  как при высоких, так и при низких температурах.

 

Рис. 3.18.

Схематическая зависимость коэффициента теплопроводности от температуры для  кристаллических диэлектриков

     В данном разделе  мы рассмотрели вклад фононов в процессы теплопроводности. Тепловую энергию могут переносить и свободные электроны, которых очень много в веществах, называемых проводниками (см. раздел 4.2). Как правило, свободные электроны обеспечивают в проводниках даже больший вклад в теплопроводность, чем фононы. Подробнее о вкладе электронов проводимости в теплопроводность можно прочитать в [1].

     Задачи к разделу  3.4.

     3.5. Получить формулу  (3.34), вычислив среднее значение  расстояния между атомами   при заданной температуре. Считать,  что вероятность нахождения атомов в заданном диапазоне расстояний пропорциональна фактору Больцмана.

     Указание. Воспользоваться  формулой вычисления среднего значения величины.

     Затем следует учесть  малость величин  в подинтегральном  выражении, в частности, разложить экспоненту.

     Литература к главе  3

     1. Киттель Ч. Введение  в физику твердого тела. - М.: Наука, 1978, 790 с.

     2. Каганов М.И. Электроны,  фононы, магноны. - М.: Наука.- 1979. - 192 с.

     3. Уэрт Ч., Томсон Р.  Физика твердого тела. - М.: Мир. - 1966. - 568 с.

     4. Нозик Ю.З., Озеров  Р.П., Хеннинг К. Нейтронная спектроскопия.  М.: Атомиздат, 1979. 344 с. 

     5. Физические величины. Справочник. Под ред. Григорьева  И.С. и Мейлихова Е.З.. - М.: Энергоатомиздат.- 1991.- 1232 с.

     6. Прецизионные сплавы. Справочник. Под ред. Молотилова  Б.М. . - М.: Металлургия.- 1983.- 440 с.

     7. Материаловедение. Под  ред. Арзамасова. - М.: Машиностроение.- 1986.- 384 с.

     8. Захаров А.И. Физика прецизионных сплавов с особыми тепловыми свойствами. - М.: Металлургия.- 1986.- 240 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  ГЛАВА 4. Электрические свойства  кристаллов  

  

   

 

 

     Кристаллические твердые  тела сильно различаются электрическими  свойствами, например, металлы очень хорошо проводят электрический ток, их принято считать проводниками, а некоторые кристаллы ток практически не проводят, их принято считать изоляторами. Между этими группами твердых тел есть и вещества, называемые полупроводниками, с промежуточными значениями электропроводности. Такие сильные различия в электропроводности связаны с особенностями распределения электронов по энергетическим уровням формирующих кристалл атомов. На вид этого распределения сильное влияние оказывает периодическое расположение в пространстве атомов вещества, формирующих в пространстве трехмерный периодический потенциал, в поле которого движутся электроны. На характер движения электронов очень сильное влияние оказывает дифракция последних на кристаллической решетке; закономерности такой дифракции были рассмотрены в главе 1.

     Эта глава посвящена  рассмотрению движения электронов  в периодическом потенциале кристаллической  решетки, объясняющему электрические  свойства кристаллов, особое внимание  уделено рассмотрению процессов в полупроводниках. Также рассмотрены принципы работы многих важных для техники полупроводниковых устройств.

 

4.1. Электронные состояния в твердых  телах

     Подходы к вычислению  электронных состояний в твердых  телах. Каждый электрон в  кристалле движется в сложном поле, создаваемом ядрами и движущимися электронами. Решить в таком случае уравнение Шредингера для электрона в кристалле и найти тем самым систему энергетических состояний электрона очень сложно и в настоящее время не удается. Поэтому для решения этой задачи используют различные упрощающие приближения.

     Во-первых, рассматривают  движение только внешних электронов  в потенциале ионных остовов,  содержащих ядро атома и электроны  внутренних подоболочек. В таком  случае необходимо также решить уравнение Шредингера для электрона, но в более слабом потенциале ионных остовов, что значительно легче. Однако с помощью и этого подхода к настоящему времени удалось решить только очень упрощенные задачи такого движения электрона, в основном не трех, а одномерные. Ниже рассмотрены результаты решения одной из них (модель Кронига-Пенни) об одномерном движении электрона в периодическом потенциале.

     Во-вторых, рассматривают  два наиболее распространенных  частных случая: 1) приближение сильной  связи и 2) приближение почти свободных электронов.

     В рамках приближения  сильной связи считают, что  энергия взаимодействия электрона  со своим атомом много больше, чем энергия взаимодействия с  другими атомами. Иными словами,  электроны сильно связаны со  своим атомом, на который другие атомы оказывают малое влияние своими электромагнитными полями, лишь расщепляя их энергетические уровни. Подобным образом уровни атома расщепляются под воздействием внешнего магнитного поля (эффект Зеемана). В таком случае взаимодействие атомов друг с другом незначительно изменяет картину энергетических уровней электронов изолированного атома.

     В рамках приближения  почти свободных электронов считают,  что электрон движется "почти  свободно" в слабом потенциале  ионных остовов, который рассматривают как малое возмущение. В таком случае кинетическая энергия электрона намного превосходит энергию взаимодействия этого электрона с ионами. В настоящее время это самый удачный подход, как с научной, так и с методической точки зрения, поскольку позволяет наглядно объяснить почти все важные для практики и наблюдаемые на опыте закономерности и эффекты.

     В этой главе мы  рассмотрим и приближение сильной  связи, и модель Кронига-Пенни,  но главный упор будет сделан  именно на приближение почти свободных электронов.

     Модель Кронига-Пенни.  В модели Кронига-Пенни рассматривается  одномерное движение электрона  в периодическом потенциале простой  формы: в одномерной потенциальной  яме ширины  на одинаковом расстоянии  друг от друга располагаются  потенциальные прямоугольные барьеры; высота каждого из них , а ширина  (см. рис. 4.1). Ясно, что такая форма потенциальных барьеров далека от реального потенциала ионных остовов, схематически изображенной на рис. 4.1 сплошными тонкими кривыми. Однако, даже такая грубая модель в состоянии предсказать основные закономерности энергетического спектра движущихся в кристалле электронов.

 

Рис. 4.1а.

Вид потенциальной энергии в  рамках модели Кронига-Пенни (а) и схематическое  распределение разрешенных значений энергии  по шкале энергии (б).

 

Рис. 4.1б.

Вид потенциальной энергии в  рамках модели Кронига-Пенни (а) и схематическое  распределение разрешенных значений энергии  по шкале энергии (б).

     Уравнение Шредингера  для электрона, находящегося в  такой потенциальной яме, может быть решено приближенными методами [1,2]. В результате получается, что энергия  электрона может принимать не все значения, а именно, на шкале  имеются участки с разрешенными значениями энергии и участки запрещенных значений энергии (см. рис. 4.1). Промежуток на шкале , в котором нет разрешенных значений , называют запрещенной энергетической зоной (или запрещенной энергетической полосой), а промежуток, в котором имеются разрешенные значения , называют разрешенной энергетической зоной (или разрешенной энергетической полосой).

     Интересно проследить, как меняется распределение электронов  по уровням при увеличении  высоты и ширины потенциальных  барьеров на рис. 4.1 (а).

     При отсутствии барьеров  задача аналогична задаче о  движении электрона в одномерной потенциальной яме шириной  с периодическими граничными условиями для волновой функции . Эта задача была рассмотрена в томе 5. Распределение значений энергии электрона по шкале показано на рис. 4.1 (б). Разрешенные значения энергии распределены по шкале без больших "пробелов".

     Если барьеры настолько  высокие и широкие, что туннелированием  электрона сквозь них можно  пренебречь, то задача аналогична  задаче о движении электрона  в одномерной потенциальной яме  шириной . Электрон окажется локализованным в этой маленькой потенциальной яме (как бы у "своего" атома). Эта задача была рассмотрена в томе 5. Распределение значений энергии электрона по шкале  показано на рис. 4.1 (б); разрешенные значения - изолированы друг от друга.