Учебно-методический комплекс дисциплины

Согласно Л.С. Выготскому, исходным субъектом психического развития является не отдельный человек, а группа людей. В их социально-культурной деятельности и под ее решающим влиянием формируется индивидуальный субъект, который на определенной стадии становления приобретает автономные источники своего сознания и переходит «в ранг» развивающихся субъектов. Подобно этому источники возникновения и первоначального существования целенаправленной учебной деятельности лежат не в отдельном ребенке, а в управляющем влиянии системы социальных отношений в классе (учитель и учащийся). Каждый ученик становится в положение либо субъекта - либо источника идеи, либо оппонента, действуя в рамках коллективного обсуждения проблемы.

Проблемные вопросы  вызывают у ученика определенные творческие усилия, заставляют излагать собственное мнение, формулировать выводы, строить гипотезы и проверять их в диалоге с оппонентами. Такая коллективно-распределенная мыследеятельность дает двойной результат:

- помогает решить учебную задачу и

- существенно развивает умения учащихся формулировать вопросы и ответы, искать аргументацию и источники решений, строить гипотезы и проверять их критическим рассудком, рефлексировать свои действия, а также способствует деловому общению.

Организовать, направить, поддерживать этот диалог - одна из важнейших задач учителя. Но решить ее он может только «изнутри», как равноправный участник диалога. Его предложения, мнения, оценки должны быть открыты для критики в той же мере, что и действия и высказывания других. В диалоге «учитель - ученик» соблюдается принцип постепенно убывающей помощи и увеличения доли самостоятельной деятельности школьника.

В отличие от традиционной технологии развивающее обучение предполагает совершенно иной характер оценки учебной деятельности. Качество и объем выполненной учеником работы оценивается не с точки зрения ее соответствия субъективному представлению учителя о посильности, доступности знания ученику. Оно оценивается с точки зрения субъективных возможностей ученика. В данный момент оценка отражает персональное развитие ученика, совершенство его учебной деятельности. Поэтому, если ученик работает на пределе своих возможностей, он непременно заслуживает высшей оценки, даже если с точки зрения возможностей другого ученика это посредственный результат. Здесь важны не пятерки сами по себе, а пятерки как средство, стимулирующее исполнение учебной деятельности, как доказательство, убеждающее «слабого» ученика в том, что он способен развиваться. Темпы развития личности глубоко индивидуальны, и задача учителя - не вывести всех на некий, заданный уровень знаний, умений, навыков, а вывести личность каждого ученика в режим развития, пробудить в ученике инстинкт познания, самосовершенствования.

Позиция учителя: «к классу не с ответом, а с вопросом», учитель ведет к известным ему целям обучения, поддерживает инициативу школьника в нужном направлении (остальные направления, к сожалению, игнорирует).

Позиция ученика: субъект познания; за ним закрепляется роль познающего мир (в специально организованных для этого условиях).

Технология Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова опирается на познавательную мотивацию деятельности, поэтому она дает положительные результаты в начальной ступени обучения.

6.2. Особенности изучения математики

в начальной школе.

Основная задача школьного  учебного предмета по математике состоит  в том, чтобы привести учащихся «к возможно более ясному пониманию концепции действительного числа». Основы этой концепций должны усваиваться детьми уже в начальной школе. Это означает, что детям с самого начала должно быть раскрыто общее основание всех видов действительного числа. Таким основанием, по мнению В.В. Давыдова, является усвоение детьми математического понятия величины. Знакомство детей с многообразием чисел, рассматриваемых в концепции действительного числа, является важным путем конкретизации понятия величины.

Усвоение детьми основной идеи концепции действительного  числа должно начинаться с овладения ими понятием величины и с изучения ее общих свойств. Тогда все виды действительного числа могут быть усвоены на основе овладения детьми способами конкретизации этих свойств. В таком случае идея действительного числа будет «присутствовать» в обучении математике с самого его начала.

Понятие величины связано  с отношениями «равно», «больше», «меньше». Множество каких-либо предметов тогда претворяется в величину, когда устанавливаются критерии, позволяющие определить, будет ли А равно В, больше В или меньше В. В качестве примера математической величины В Ф. Каган рассматривает натуральный ряд чисел, так как с точки зрения такого критерия, как положение, занимаемое числами в ряду, этот ряд удовлетворяет определенным постулатам и поэтому представляет собой величину.

Свойства величин раскрываются при оперировании человеком реальными  длинами, объемами, грузами, промежутками времени и т. д. (еще до их выражения  числами). Возможность организации реальных действий по преобразованию величин допускает введение соответствующего учебного материала уже в I классе.

В основу экспериментального обучения математике (так же как  и в основу принятого курса) положена концепция действительного числа. Однако в отличие от обычной программы в экспериментальном обучении предусматривается такой вводный раздел, при усвоении которого дети специально изучают генетически исходное основание последующего выведения всех видов действительного числа, а именно изучают понятие величины.

Этот подход к проблеме построения экспериментального учебного предмета по математике определил следующую систему его основных учебных задач, составленных применительно к младшим классам:

1) введение школьников  в сферу отношений величин  - формирование у них абстрактного понятия математической величины;

2) раскрытие учащимся кратного отношения величин как общей формы числа - формирование у них абстрактного понятия числа и понимания основной взаимосвязи между его компонентами (число производно от кратного отношения величин);

3) последовательное введение  детей в область различных частных видов чисел (в область натуральных, дробных, отрицательных чисел) - формирование у школьников понятий об этих числах как одного из проявлений общего кратного отношения величин при определенных конкретных условиях;

4) раскрытие учащимся однозначности структуры математической операции (если известно значение двух элементов операции, то по ним можно однозначно определить значение третьего элемента) - формирование у них понимания взаимосвязи элементов основных арифметических действий.

Дадим краткую характеристику содержания перечисленных учебных  задач. Так, первая задача требует от учащихся выделения посредством определенных предметных действий трех отношений объектов («равно», «больше», «меньше»). Затем эти отношения младшие школьники фиксируют с помощью буквенных формул, что позволяет приступить к изучению свойств отношений равенства и неравенства в их «чистом виде». Изучая условия перехода от неравенства к равенству и их свойства (например, транзитивность, обратимость), ученики в дальнейшем, уже после ознакомления с общей формой числа, выводят свойства числового ряда.

Содержанием второй учебной задачи является овладение школьниками общей формой числа. Это осуществляется посредством определения кратного отношения величин, одна из которых выступает в качестве исходной величины, а другая - в качестве ее меры (при их выполнении школьники выявляют условия происхождения самой формы числа и овладевают способом ее построения).

При постановке последующих  учебных задач учитель создает  такие ситуации, которые требуют от школьников использования не одной, а целого ряда последовательно увеличивающихся мер, поскольку различие между мерой и измеряемым объектом становится значительным. При использовании школьниками этого ряда мер возникает необходимость установить постоянное отношение размера последующей меры к предыдущей. Запись результатов измерения получает форму позиционного числа, которое в зависимости от значения постоянного отношения мер может быть отнесено к любой системе счисления, в том числе и к десятичной системе, если это отношение будет десятикратным. Так в I классе вводится понятие многозначного числа.

Однако в некоторых  ситуациях мера может не уместиться в объекте целое число раз. Тогда приходится прибегать не к ее укрупнению (как это было до сих пор), а к уменьшению. Результат действия измерения, соответствующего таким ситуациям, описывается дробным числом. Дальнейшее изменение и обогащение предметной области, в которой действуют учащиеся (например, ознакомление их с направленными величинами), позволяют им при выполнении действия измерения обозначать его результаты с помощью положительного или отрицательного числа.

Переход учащихся от изучения общих свойств величины к выделению ее частных видов, имеющих форму числа (натурального, позиционного, дробного, отрицательного и т. д.), - это главная линия построения всего экспериментального обучения математике. Вместе с тем от этой линии осуществляются многообразные ответвления, связанные с тем, что определенные свойства выделяемых отношений могут служить основой для построения новых понятий. Однако такие понятия формируются по той же схеме: от выделения основного отношения и изучения его свойств к выведению возможных частных следствий.

При решении первоклассниками учебной задачи, приводящей их к пониманию взаимосвязи элементов арифметических действий сложения и вычитания, дети сначала знакомятся с соответствующими операциями над величинами, фиксируя их пространственно-графическими схемами и буквенными формулами. Затем при построении отрезков ученики выясняют такое свойство операции, как однозначность ее структуры, что приводит к следующему следствию: если известны значения двух элементов операции, то по ним всегда и однозначно можно определить значение третьего элемента. Это позволяет построить на основе заданного равенства несколько видов уравнений (школьники устанавливают, что количество таких уравнений равно количеству элементов, включенных в равенство, - х + а = с,

с - х = а, с – а = х). По этим уравнениям какую-либо сюжетную исходную текстовую ситуацию школьники преобразуют в соответствующее количество так называемых текстовых задач.

Текстовые задачи строятся школьниками как частные случаи выражения некоторых общих закономерностей. Именно таким образом в I классе появляются простые задачи на сложение - вычитание, а во II - на умножение - деление. Составные задачи (которые требуют выполнения промежуточных операций) строятся детьми во II классе из простых задач при замене буквы, обозначающей известное данное, буквенным выражением, описывающим операции дополнительного поиска значения этого данного.

Формированию у школьников умения анализировать составные текстовые задачи основное внимание уделяется в III классе. При этом учащиеся овладевают способами построения краткой записи условия задачи, его графического изображения (развернутый анализ текста задач постепенно свертывается). Введение в III классе отрицательных чисел позволяет учащимся применять алгебраический способ решения задач (на основе построения уравнений с проведением последующих тождественных преобразований).

Формирование умений и навыков различных вычислений происходит на основе предварительного усвоения детьми общих закономерностей и свойств тех или иных арифметических действий. В общем виде школьники предварительно рассматривают возможность их использования при вычислениях разного рода и только затем приступают к выполнению конкретных заданий на вычисления. Усвоение детьми вычислительных приемов происходит с помощью тренировочных листов, которые построены таким образом, что сначала требуют от учащихся полного, развернутого выполнения всех операций вычислительного приема, а затем обеспечивают постепенное свертывание вычислений и непроизвольное запоминание их табличных случаев.

Экспериментальная программа  по математике включает изучение элементов геометрии. Когда это возможно, геометрический материал связывается с изучением чисел и арифметических действий. Например, задача на нахождение периметра прямоугольника рассматривается в связи с изучением распределительного свойства умножения относительно суммы (II класс). На уроках проводятся собственно геометрические упражнения. На основе вычерчивания, вырезывания, моделирования дети учатся распознавать геометрические фигуры, знакомятся с их свойствами. В I классе они получают представление об углах (прямом и непрямом), прямоугольнике (квадрате). Во II классе школьники знакомятся с видами треугольников, учатся делить окружность на равные части. Во II - III классах большое внимание уделяется нахождению периметров фигур, а в III классе - их площадей. Решение геометрических задач, связанных с анализом положения и формы фигур, способствует развитию у детей элементарных пространственных представлений и умения рассуждать.

Решение всех перечисленных  учебных задач осуществляется школьниками посредством выполнения учебных действий. (1). Первое из действий состоит в преобразовании условий задачи с целью выделения отношения, являющегося основой общего способа ее решения (например, кратного отношения величин как общей основы понятия чисел). (2) Вторым действием является моделирование выделенного отношения, а (3) третьим - преобразование модели с целью изучения выделенного отношения. Дадим более подробную характеристику третьему учебному действию, выполняемому детьми на математическом материале. Это действие имеет существенное значение в общем процессе усвоения учащимися теоретических знаний, поскольку именно оно позволяет понять детям специфику ориентации в особенном идеальном плане (модель - это предметно-знаковое выражение идеального).

Так, после выполнения измерения и записи соответствующей модели-формулы

А / с = 5 тот же объект измеряется детьми с помощью другой меры. При записи результата вновь выполненного действия дети вместе с учителем выясняют целесообразность сохранения прежней буквы для обозначения объекта (А) и изменения буквы (с) для обозначения новой меры. Цифра, записываемая после знака равенства, тоже оказывается иной. В следующей ситуации сохраняется прежняя мера, но изменяется объект - соответственно изменяются или сохраняются буквы и цифра.