Статистика пәні, даму процестері және оның зерттеу әдістері

Статистикада  орташа шаманы есептегенде  және қолданғанда төменде берілген принциптер мен шарттар толықтай орындалуы тиіс:

1. Зерттеп отырған құбылыстың, процестің жиынтық бірліктері біртекті болуы шарт.
2. Орташа шаманы есептегенде оның жеке - дара өзгермелі сандық және сапалық көрсеткіштері толығымен жойылады. Көп сандар заңына байланысты негізгі бөлігінің әрбір бөлікке тән шамасы шығады.
3. Орташа шаманың көрсекіші статистикалық бақылау нәтижесінде жиналған мәліметтер арқылы есептелінеді. Егер бақылау көрсеткіштері неғұрлым көп болатын болса,  соғұрлым орташа шама дұрыс шығады және нақты шындықты көрсетеді.
4. Зерттеп отырған құбылыстар мен процестердің жеке бөліктерінің рарсында ауытқу болатын жағдайларда орташа шама қолданылады.

Сонымен, жоғарыда келтірілген принциптер мен шарттарды еске ала отырып, орташа шама тек статистикада ғана емес, басқа да ғылым салаларында, басқару, ғылыми – зерттеу жұмыстарнда  көптеп қолданылады.

Статистикада зерттеп отырған  құбылыстар мен процестердің негізіне, алдына қойған мақсатына және бастапқы берілген көрсеткіштердің мәніне сәйкес, орташа шаманың бірнеше түрі қолдналады, олар мыналар: арифметикалық, геометриялық, құрылымдық, үйлесімдік және шаршылық (квадраттық)  орташа шамалар,

Осы көрсетілген орташа шамаларды  қолдану барысында оларды қандай жолмен есептеу керек деген теориялық  және тәжірибелік күрделі сұрақтар туады. Олай болса, қолда бар деректердің  мәніне сәйкес орташа шаманың қандай түрін пайдалансақ, қарастырып отырған  белгі варианттарының орташа мәнін  дұрыс табамыз? Мәселе осында. Оны  есептеу үшін алдымен әрбір нақты  жағдайда осы орташа шама нені білдіретінін, оның қандай шамалардың қатынасы арқылы есептелетінін анықтап алуымыз  қажет. Содан кейін есептеп шығарылған орташа шаманың өзіне сәйкес әлеуметтік – экономикалық мағынасы болуы тиіс.

2 сұрақ. Арифметикалық орташа шама жалпы жиынтықтағы өзгермелі белгілердің жеке мәндерінің қосындысы болған жағдайда ғана қолданылады.

      Көрсеткіштердің  жеке мәндерінің мағынасына қарай  жай және салмақталған болып  бөлінеді.

    Жиынтықта әрбір белгі  тек бір рет ғана кездессе, онда орташаның жай түрі қолданылады.  Ол мына формула арқылы есептелінеді:

                                      х= ,

Мұнда, х- орташа шама

х- белгілердің жеке сандық мәндері

n- белгілердің саны

- жиынтықтың белгісі, яғни  х- тің қосындысы

Егер жиынтықтың әрбір белгісі  бір рет емес, бірнеше рет қайталанатын болса, онда орташа шаманың салмақталған түрі қолданылады. Ол мына формула бойынша  есептеледі:

              х= ,

Мұнда, х- орташа шама

х- белгілердің жеке сандық мәндері

f- жиіліктің мәндері

- белгілер мен жиілік мәндерінің  көбейтіндісінің қосындысы

- жиіліктің жалпы  саны

Үйлесімдік  орташа шама – бұл  арифметикалық орташа шаманың кері  және  өзгертілген  түрі. Егер өзгермелі қатардың  белгілері (х) мен оның жиілік мәндері (f) берілген болса, онда  арифметикалық орташа шама қолданылады. Ал кейбір жағдайда,  керісінше, өзгермелі қатардың белгілері (х) мен оның жиіліктерінің көбейтіндісі (хf) беріліп, жиілік мәндері (f) белгісіз болуы мүмкін. Онда орташа көбейткішті есептеу үшін үйлесімдік орташа шаманы қолдануға болады.

Сонымен, үйлесімдік орташа шама орташаның  негізгі қатынасының алымының мәндері  белгілі, бөлімінің мәндері белгісіз болған жағдайларда қолданылады. Бұл  анықтаманы  былай да айтуға болады: егер берілген мәліметтердің жиілігі, яғни жиынтықтың саны белгісіз болып, басқа көрсеткіштермен көбейтіндісі берілсе, орташа шаманың үйлесімдік түрі қолданылады.

Үйлесімдік орташа шама берілген мәліметтердің  экономикалық маңызы мен мәніне, есептеу  тәсіліне қарай жай және салмақталған болып екі түрге бөлінеді. Егер өзгермелі қатардың белгілері мен  жиіліктерінің көбейтіндісі  (хf) бірдей болса немесе бірге тең  болса, ондай үйлесімдік орташа шаманың  жай түрі қолданылады және ол мына формуламен есептелінеді:                                    n

х  =  ―

         1

   ∑    −

          x       

   мұнда,   х  - орташа  шама;

   n - белгілердің саны;

       1

       − - белгілердің  жеке сандық мәндерінің кері  шамасы;

       x      

       ∑ -  жиынтық  белгісі.

 Берілген деректе салмақтаушы  белгісіз яғни жиілік мәндері  (f) көрсетілмей, белгілердің мәндері  мен жиіліктерінің көбейтіндісі (хf) ғана берілетін болса , онда  үйлесімдік орташа шаманың салмақтанған  түрі қолданылады және төменде  берілген формула арқылы көрсетіледі:

                                                х=                                                                                                                      

х –орташа шама

- белгілер мен жиілік мәндерінің  көбейтіндісінің қосындысы;

х- белгілердің жеке сандық мәндері

- жиіліктің жалпы санын есептеу

Жоғарыда көрсетілген үйлесімдік орташа шаманың формуласын басқа  да түрмен өрнектеуге болады. Ол үшін белгілер мен жиілік мәндерінің көбейтіндісі хf=w деп аламыз, онда жиілігіміз –f=w/х. Енді осы белгілерді арифметикалық  орташа шама формуласының орнына қоятын болсақ, онда формула төмендегідей түрге, яғни арифметикалық орташадан  үйлесімдік орташаға өзгереді:

                              Х=   

Қорытынды, егер орташаның негізгі  қатынасының алымының мәндері белгілі, ал бөлімінің мәндері белгісіз болса, онда үйлесімдік орташа шаманың формуласы  арқылы есептеледі.

3 сұрақ. Арифметикалық орташа шаманы септеу кезінде жұмыс көлемін және есептеу жолдарын жеңілдету үшін төмендегідей математикалық қасиеттер қолданылады:

1. Орташа шамамен ( )  жиілік қосындының ( ) көбейтіндісі ( ) әрқашанда өзгермелі белгі мен (õ) жиіліктің (f) көбейтіндісінің қосындысына ( ) тең болады.

 

2. Егер өзгермелі белгінің барлық жиіліктерін (х) тұрақы бір санға (À) көбейтсек, немесе бөлсек, онда орташа шама өзгермейді:

 

 

3. Егер әр қатардағы белгіге (õ) тұрақты бір (À) санды қоссақ, немесе алсақ, онда орташа шама сол тұрақты санның мөлшеріне көбейеді, не азаяды:

 

           бұдан  

 

4. Егер әр қатардағы белгіні (õ) тұрақты бір санға көбейтсек, немесе бөлсек, онда жаңа белгілермен есептелген орташа шама сонша рет көбейеді, не азаяды.

 

;   бұдан

,    бұдан

 

5. Белгілердің орташа шамадан айырмаларының қосындысы әрқашанда о-ге тең болады:

 

,    немесе

Орташа шаманы ықшамдалған  жолмен есептеу. Деңгей аралықтары бірдей өзгермелі сандық қатарлар берілген болса, онда орташа шаманы есептеу үшін жоғарыда келтірілген математикалық қасиеттерге сүйенеміз. Ол үшін барлық белгілерді (õ) тұрақты бір (À) санға азайтып, одан шыққан шамаларды деңгей аралығының айырма санына бөлу  арқылы арифметикалық орташа шаманы ықшамдалған жолмен есептеуге болады. Оны нақты мысалмен көрсетуге болады.

1–кесте.  Тексеруге алынған  өнімнің орташа ылғалдылығы

Алынған өнімнің ылғалдылығы, % есебімен	Алынған өнімнің саны, дана (f)	Деңгей аралығының ортасы	х-А А=45	d=2
40-42 42-44 44-46 46-48 48-50   Барлығы:	11 25 50 9 5   100	41 43 45 47 49   -	-4 -2 0 2 4   -	-2 -1 0 1 2   -	-22 -25 0 9 10   -28

Бұл жерде алдымен А-ның шамасын табамыз. Оны табу үшін жиіліктің (f) ең үлкен мәні орналасқан, өзгермелі қатардың деңгей аралығының ортасын аламыз.  Ол 45-ке тең (À=45). Содан кейін деңгей аралығының тұрақты айырма санын анықтаймыз, ол 2-ге тең (d=2). Енді ықшамдалған жолдың бірінші мезетін m₁, әрпімен белгілейді және мына формула арқылы есептейді:

Содан соң, ықшамдалған жолмен орташа шаманы есептеу үшін бірінші мезеттің орта шамасына (m₁=-0,28) деңгей аралығының тұрақты санын (d=2)  көбейтіп, оған À-ның мәнін қосамыз (À =45). Онда ықшамдалған орташа шаманың формуласы мынадай түрде жазылады және есептеу тәсілі төмендегідей:

   бұдан   

Сонымен, жай және ықшамдалған жолмен есепьелген орташа шаманың екі мәні де бірдей көрсеткішті көрсетуде. Бірақ екінші тәсіл біріншімен салыстырғанда жедел есептелінеді және жеңілдеу болады.

4 сұрақ. Арифметикалық және үйлесімдік орташа шамалар жалпы жиынтықтың өздеріне тән өзгермелі белгілері бойынша есептелген қорытындылаушы көрсеткіштер болып саналады. Бірақ, статистскада осы өзгермелі белгілердің бөлінунін қосымша сипаттайтын, суреттейтін орташа сандық шаманы құрылымдық орта деп атайды. Оған жататыны- мода мен медиана.

        Статистикалық  қатарлардың ішінде ең жиі  кездесетін белгінің үлкен шамасын  айтады, яғни өзгермелі сандық  қатарда жиіліктің үлкен мәні  жатқан белгіні  мода деп  атайды.

        Кәсіпорындағы  жұмысшылардың орташа айлық еңбекақысын,  базарға сатылған тауардың орта  бағасын немесе халықтың көп  тұтынатын аяқ киімдерінің  өлшемін анықтау үшін  модалық орташа шаманы қолданамыз.

        Егер статистикалық  қатарлардың белгісі бүтін сан  шамасымен берілетін болса, онда  сол берілген белгінің ең үлкен  жиілік мәні жатқан қатар мода  болып саналады. Мұндай жағдайда  моданы анықтаудың ешқандай да  қиыншылығы жоқ.

        Егер статистикалық  қатарлар белгілерінің ең үлкен  жиілік мәні бірдей екі сандық  көрсеткішпен берілсе, онда модалық  белгі екеу болады. Ал, жиілік  мәндері бірдей бірнеше белгі  берілетін болса, онда модалық  көрсеткіш болмайды.

        Кейде, қатар  белгілері бүтін сан емес, деңгейаралықты  шамамен берілуі мүмкін. Олай  болса алдымен ең үлкен   жиілік мәні бар қатарды анықтаймыз, содан кейін модалық белгінің  деңгей аралығының айырмасын  есептейміз, ол модалық қатардың  үлкен мәнінен кіші мәнін алғанға  тең болады. Енді статистикалық  формуланы қолдану арқылы модалық  орташа шаманы  есептеп табамыз.

         Статистикада  мода М0- әрпімен белгіленеді және  деңгей  арлықты  қатар берілген  болса, төмендегі формула арқылы  белгіленеді:

             М0= хмо+ dмо 

Мұнда,  хмо  - модалық қатардың деңгей аралығының кіші мәні

dмо - модалық қатардың деңгей  аралығының айырмасы

fмо - модалық қатардың жиілігі

fмо-1 - модалық қатардың алдыңғы  қатарлы жиілігі

fмо+1 - модалық қатардың кейінгі  қатар жиілігі.

        Медиана деп  статистикалық өзгермелі қатардың  ортасында жатқан белгіні айтады.

Статистикада медиана Ме- әрпімен  белгіленеді және оны есептеп  табу берілген сандық белгілердің мәніне байланысты.

        Егер статистикалық  қатардың белгісі бүтін сан  шамасында берілетін болса, онда  медиананы анықтау үшін белгінің  рет санына 1ді қосып , одан  шыққан қосындыны екіге бөлеміз.  Ол мына формула арқылы есептелінеді:

                                              Ме=

Мұнда, n- статистикалық қатарлар саны.

        Егер қатарлардың  белгісі бүтін санмен және  жиілікпен берілетін болса онда  медиананы есептеу үшін жиіліктің  жинақталған қосындысын теңдей  етіп екіге бөліп , одан шыққан  көрсеткішке ½ қосамыз.