Иссдеование статистических данных по Пермскому краю

,                                             (7.1)

где - это центральный момент первого порядка;

- взвешенное среднеарифметическое;

  - i-ый признак; 

- вес признака.

 

Центральный момент второго  порядка рассчитывается по формуле:

,                                             (7.2)

 

Центральный момент третьего порядка рассчитывается по формуле:

,                                             (7.3)

 

Центральный момент четвертого порядка рассчитывается по формуле:

,                                             (7.4)

 

По данным табл. 3.1 «Группировка населения по размеру среднедушевых денежных доходов (руб.)» вычислим центральный момент первого порядка, который рассчитывается по формуле (7.1):

Из ранее проведенных  расчетов в пункте 3.1 в качестве среднего взвешенного значения ( ) примем за 7053,6 (руб.).

 Получаем центральный момент первого порядка равен:

Центральный момент второго  порядка равен:

 Центральный момент  третьего порядка равен:

Центральный момент четвертого порядка равен:

По данным табл. 5.1 «Группировка населения по численности безработных, тыс. человек» вычислим центральный момент первого порядка, который рассчитывается по формуле (7.1):

Из ранее проведенных расчетов в пункте 5.1 в качестве среднего взвешенного значения ( ) примем за 114,5(тыс. чел.). Получаем центральный момент первого порядка равен:

Центральный момент второго  порядка равен:

Центральный момент третьего порядка равен:

Центральный момент четвертого порядка равен:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.2. Расчет асимметрии  распределения

Выяснение общего характера  распределения предполагает оценку его однородности, а также вычисление показателя асимметрии. При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии A_s:

,                                                   (7.5)

где  - это центральный момент третьего порядка;

       - взвешенная дисперсия.

 

По данным табл. 3.1 «Группировка населения по размеру среднедушевых денежных доходов (руб.)» и из ранее проведенных расчетов в пункте 5.2 мы рассчитали, что значение взвешенной дисперсии (руб.)². Извлечем корень из этого значения, чтобы найти ( ) среднеквадратическое отклонение:

  (руб.)

        

Получаем, что асимметрия распределения по формуле (7.5) равна:

(руб.)     

                      

По данным табл. 5.1 «Группировка населения по численности безработных, тыс. человек» и из ранее проведенных расчетов в пункте 5.2 мы рассчитали, что значение взвешенной дисперсии (тыс. чел)². Извлечем корень из этого значения, чтобы найти ( ) среднеквадратическое отклонение:

(тыс. чел.)

 

Получаем, что асимметрия распределения по формуле (7.5) равна:

(тыс. чел.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.3. Расчет эксцесса распределения

 

Эксцесс распределения рассчитывается по формуле:

,                                                   (7.6)

где  - это центральный момент четвертого порядка;

- взвешенная дисперсия.

 

По данным табл. 3.1 «Группировка населения по размеру среднедушевых денежных доходов (руб.)» высчитываем эксцесс распределения по формуле (7.6):

 

 ( руб.)

 

  По данным табл. 5.1 «Группировка населения по численности безработных, тыс. человек» высчитываем эксцесс распределения по формуле (7.6):

 

(млн. т. км.)

7.4. Оценка однородности  совокупности

 

Для однородных совокупностей, как правило, характерны одновершинные  распределения. Многовершинность свидетельствует  о неоднородности изучаемой совокупности. Появление двух и более вершин делает необходимой перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп.

Если величина асимметрии положительная, то эта  асимметрия правосторонняя.  Если же величина асимметрии отрицательная,   то асимметрия будет левосторонней.

Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (не зависимо от знака) считается значительной; если она меньше 0,25, то незначительной.

Если величина эксцесса положительная, то эксцесс имеет островершинное распределение. Если же величина эксцесса отрицательная, то эксцесс имеет  плосковершинное распределение.

Из расчетов по данным табл. 3.1 «Группировка населения по размеру среднедушевых денежных доходов (руб.)» можно сказать, что асимметрия является правосторонней и незначительной. Величина эксцесса отрицательная, следовательно, эксцесс имеет плосковершинное распределение.

Из расчетов по данным табл. 5.1 «Группировка населения по численности безработных, тыс. человек» можно сказать, что асимметрия является правосторонней и значительной. Величина эксцесса отрицательная, следовательно, эксцесс имеет плосковершинное распределение.

8. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Корреляция – это статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.

В статистике принято различать  следующие варианты зависимостей.

1. Парная корреляция – связь между двумя признаками (результативными и факторными или двумя факторными).
2. Частная корреляция – зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков.
3. Множественная корреляция – зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.

Корреляционно-регрессионный  анализ как общее понятие включает в себя измерение тесноты, направления связи и установление аналитического выражения (формы) связи (регрессионный анализ).

Проанализируем зависимость  ВРП от числа предприятий и  численности экономически активного  населения на примере Пермского края. Данные для анализа представлены в таблице 8.1.

Таблица 8.1

Расчетная таблица для нахождения зависимости ВРП Пермского края от числа предприятий и численности экономически активного населения

 

Год	ВРП, млн. руб.	Число предприятий	Численность экономически  активного населения, тыс. чел.
	Y	X1	X2
2000	43273	45182	1724	1955160686
2001	58571	47580	1729	2786808180
2002	63032	50409	1739	3177380088
2003	74677	54612	1748	4078260324
2004	95786	54616	1750	5231448176
2005	122839	61002	1747	7493424678
ИТОГО	458178	313401	10437	24722482132
2041413124	1872552529	77893768	2972176	74602652
2263856400	3430562041	82265820	2989441	101269259
2541067281	3973033024	87661251	3024121	109612648
2982470544	5576654329	95461776	3055504	130535396
1	2	3	4	5

 

Продолжение таблицы 10.1

1	2	3	4	5
2982907456	9174957796	95578000	3062500	167625500
3721244004	15089419921	106570494	3052009	214599733
16532958809	39117179640	545431109	18155751	798245188

 

Выясним, существует ли связь  между исследуемыми признаками графическим способом. Для этого представим данные зависимости на графике (рис. 8.1 и 8.2) и добавим линию тренда. На графике видно, что между исследуемыми показателями существует прямо пропорциональная связь, т.е. с увеличением числа предприятий и экономически активного населения растет и ВРП Пермского края.

Рис. 8.1. График зависимости ВРП Пермского края от числа предприятий.

Зависимость между числом предприятий и ВРП имеет линейный характер. И результативный, и факторный признаки возрастают примерно одинаково.

Рис. 8.2. График зависимости ВРП Пермского края от численности

экономически активного  населения

 

Здесь также наблюдается  линейная зависимость между ВРП  и числом активного населения.

Два факторных признака и  результативный признак находятся  в прямой линейной зависимости, поэтому  уравнение корреляции будет иметь  следующий вид:

Система линейных уравнений  будет иметь вид:

                                                        (8.1)

Система уравнений примет вид:

 

 

 

 

Запишем уравнение регрессии  в общем виде:

. Положительный коэффициент  при  говорит, о прямо пропорциональной связи между уровнем ВРП и числа предприятий. А значение коэффициента говорит о незначительной обратной связи между уровнем ВРП и численностью экономически активного населения.

Вычислим по уравнению  регрессии теоретические значения :

Рассчитаем частные коэффициенты эластичности, которые используются с целью расширения возможностей экономического анализа. Они находятся  по следующей формуле:

                                                      ,      (8.2)

где - коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке; - среднее значение соответствующего факторного признака; - среднее значение результативного признака, которые находятся по формулам:

                                                          ,   (8.3)

                                                                (8.4)

Это значит, что при увеличении числа предприятий на 1% уровень  ВРП Пермского края увеличится на 3,32%, а при увеличении численности экономически активного населения на 1% ВРП снизится на 0,02%.

Рассчитаем частные коэффициенты детерминации по формуле

                                                     ,    (8.5)

где - парный коэффициент корреляции между результативным и -м факторным признаками;

      - соответствующий коэффициент уравнения множественной регрессии в стандартизированном масштабе.

Парный коэффициент корреляции находится по формуле:

                                                      (8.6)

Рассчитаем парный коэффициент  корреляции между результативным и  первым факторным признаками, т.е. между ВРП и числом предприятий.

. Т.е. связь между признаками  прямая и однонаправленная.

Рассчитаем парный коэффициент  корреляции между результативным и  вторым  факторным (численность экономически активного населения) признаками.

. Значение коэффициента говорит  о том, что между признаками  существует прямая связь.

Найдем  -коэффициент по формуле

                                                     ,    (8.7)

где - среднее квадратическое отклонение -го фактора;

      - среднее квадратическое отклонение результативного признака.

Тогда частные коэффициенты детерминации составят:

Из этого следует, что  на 93% вариация ВРП Пермского края объясняется изменением числа предприятий, и 0,029% вариации – изменением численности экономически активного населения.

Проверим значимости коэффициентов  регрессии.

Значимость коэффициентов  регрессии определяется с помощью  -критерия Стьюдента:

                                                        ,                  (8.8)

где - дисперсия коэффициента регрессии.

Параметр модели является статистически значимым, если:

,                               (8.9)

где - уровень значимости критерия проверки гипотезы о равенстве нулю параметров, измеряющих связь;

n=n-k-1 – число степеней свободы, которое характеризует число свободно варьирующих элементов совокупности.

При р=0,9, к=2, υ=3, α=0,05 получаем (исходя из данных табл. распределения Стьюдента)

Наиболее простой способ определения дисперсии заключается  в том, что величина дисперсии  коэффициента регрессии может быть приближенно определена по выражению: