Иссдеование статистических данных по Пермскому краю

Средняя арифметическая простая  используется в тех случаях, когда  расчет осуществляется по несгруппированным  данным, и равна сумме значений признака, деленной на их число:

                                                

                                               (5.1)

где  - значение признака;

       n – число единиц признака.

Если данные представлены в виде дискретных или интервальных рядов распределения, в которых  одинаковые значения признака (x) объединены в группы, имеющие различное число единиц (f), называемое частотой (весом), применяется средняя арифметическая взвешенная:

,                                                 (5.2)

где - i-ый признак; 

- вес признака.

 

Средняя гармоническая взвешенная:

                                               (5.3)

где - i-ый признак; 

- вес признака.

 

Средняя хронологическая:

                                          (5.4)                          

где и - первое и последнее значения статистической величины;

             - промежуточные значения;

             - общее число значений.

Средняя геометрическая:

                                            (5.5)

По данным табл. 3.1 «Группировка населения по размеру среднедушевых денежных доходов, (руб.)» вычислим взвешенное среднеарифметическое по формуле (5.2):

 

Вычислим среднее гармоническое по формуле (5.3):

Вычислим среднее хронологическое  по формуле (5.4):

Вычислим среднее геометрическое по формуле (5.5):

По данным табл. 3.2 «Группировка организаций всех видов деятельности по грузообороту автомобильного транспорта (млн. т. км)» вычислим взвешенное среднеарифметическое по формуле (5.2):

Вычислим среднее гармоническое по формуле (5.2):

Вычислим среднее хронологическое  по формуле (5.4):

Вычислим среднее геометрическое по формуле (5.5):

Для расчета основных и  структурных характеристик вариации группировки населения по численности безработных также дополним таблицу 3.3 столбцами со срединными значениями интервалов и накопленными частотами:

Таблица 5.1

Группировка населения по численности  безработных, тыс. человек.

 

№ п/п	Группы населения по численности безработных, тыс.чел.	Численность населения, тыс. чел.	Средний интервал	Накопленные частоты
1	98,20 – 106,80	6	102,50	6
2	108,52 – 124,00	10	116,26	16
3	125,72 – 130,80	4	128,26	20
	ИТОГО	20	-	-

 

По данным табл. 5.1 «Группировка населения по численности безработных, тыс. чел.» вычислим взвешенное среднеарифметическое по формуле (5.2):

(тыс.чел.)

Вычислим среднее гармоническое по формуле (5.3):

(тыс.чел.)

Вычислим среднее хронологическое  по формуле (5.4):

Вычислим среднее геометрическое по формуле (5.5):

Из расчетов по табл. 3.1 «Группировка распределения населения по размеру среднедушевых денежных доходов, (руб.)» найденное взвешенное среднеарифметическое  указывает на то, что средний размер среднедушевого денежного дохода равен 7053,6 руб.

Из расчетов по табл. 3.2 «Группировка организаций всех видов деятельности по грузообороту автомобильного транспорта(млн. т. км)» найденное взвешенное среднеарифметическое  указывает на то, что средний грузооборот автомобильного транспорта составляет 4723,9 млн. т. км.

Из расчетов по табл. 3.3 «Группировка населения по численности безработных, тыс. чел» найденное взвешенное среднеарифметическое  указывает на то, что средняя численность безработных равна 114,5 тыс.чел.

5.2. Определение показателей  вариации

Под вариацией понимают колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака у единиц совокупности. По степени вариации можно судить о многих сторонах развития изучаемых явлений.

Показатели вариации делятся  на 2 группы: абсолютные и относительные.

К абсолютным показателям  относятся: размах вариации, среднее  линейное отклонение, дисперсия, среднее  квадратическое отклонение.

Самым простым абсолютным показателем является размах вариации (R). Размах вариации показывает, насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака. Его рассчитывают как разность между наибольшим (Xmax) и наименьшим (Xmin) значениями варьирующего признака:

R=Xmax-Xmin,                                         (5.6)

где Xmax – максимальное значение вариационного ряда;

             Xmin – минимальное.

 

Среднее линейное отклонение вычисляется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений варианта от по следующей формуле:

,                                           (5.7)

где - абсолютное значение отклонений;

              - вес признака.

Дисперсия ( ) – средний квадрат отклонений отдельных значений признака от их средней величины. В зависимости от исходных данных дисперсия вычисляется по формуле средней арифметической простой или взвешенной:

- простая;                                        (5.8)

- взвешенная                             (5.9)

где - i-ый признак;

     - взвешенное среднеарифметическое;

     - вес признака i-го признака.

Дисперсию также можно  определить по средней арифметической, она равна среднему квадрату значений признака минус квадрат среднего значения признака:

                            (5.10)

Еще один способ нахождения дисперсии – способ моментов или  способ отчета от условного нуля –  позволяет упростить ее вычисления и применяется в вариационных рядах с равными интервалами. Расчет производится по формуле:

                               (5.11)

где А – это условный ноль, в качестве которого можно  использовать середину интервала с наибольшей частотой;

      к – ширина этого интервала.

Среднее квадратическое отклонение (σ) – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Показывает, на какую величину в среднем значение признака отличается от стандартного значения, определяется по формуле:

                                           .    (5.12)

Чем меньше значение дисперсии  и среднего квадратического отклонения, тем однороднее (количественно) совокупность и тем более типичной будет  средняя величина.

По данным табл. 3.1 «Группировка населения по размеру среднедушевых  денежных доходов, руб.» определим размах вариации по формуле (5.6):

R=10338-3898=6440 руб.

Найдем взвешенное среднее  линейное отклонение по формуле (5.7):                                    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассчитаем дисперсию  тремя способами.

Первый способ:

Второй способ (по средней арифметической):

Третий способ (относительно условного  нуля): за условный нуль примем значение, равное 5186 – середину интервала с наибольшей частотой; величина интервала составила 1288.

Вычислим среднее квадратическое отклонение:

Оно показывает, что значение размера денежного дохода в среднем отличается от стандартного значения на 2248,5 руб.

По данным табл. 5.1 «Группировка населения по численности безработных, тыс. человек» определим размах вариации по формуле (5.6):

R=128,26-102,5=25,8 (тыс.чел.)

Найдем взвешенное среднее  линейное отклонение по формуле (5.7):                                    

Рассчитаем дисперсию  тремя способами.

Первый способ:

Второй способ (по средней арифметической):

Третий способ (относительно условного  нуля): за условный нуль примем значение, равное 116,26 – середину интервала с наибольшей частотой; величина интервала составила 15,48.

Вычислим среднее квадратическое отклонение:

Оно показывает, что значение численности  безработных в среднем отличается от стандартного значения на 9,1 тыс. чел.

 

Для расчета основных и  структурных характеристик вариации группировки населения по среднемесячной заработной плате также дополним таблицу 3.4 столбцами со срединными значениями интервалов и накопленными частотами:

Таблица 5.2

Группировка населения по среднемесячной заработной плате, руб.

 

№ п/п	Группы  населения по среднемесячной заработной плате, руб.	Численность населения тыс. чел.	Средний интервал	Накопленные частоты
1	3421,9 – 5667,2	8	4544,55	8
2	5667,2 – 9195,4	10	7431,3	18
3	9195,4 – 9516,2	2	9355,8	20
	ИТОГО	20	-	-

 

руб.

По данным табл. 5.2 «Группировка населения по среднемесячной заработной плате, руб.» определяем размах вариации по формуле (5.6):

R=9355,8-4544,55=4811,25 (руб.)

Найдем взвешенное среднее  линейное отклонение по формуле (5.7):                                    

Рассчитаем дисперсию  тремя способами.

Первый способ:

Второй способ (по средней арифметической):

Третий способ (относительно условного нуля): за условный нуль примем значение, равное 7431,3 – середину интервала  с наибольшей частотой; величина интервала  составила 3528,2.

Вычислим среднее квадратическое отклонение:

Оно показывает, что значения среднемесячной заработной платы в среднем отличается от стандартного значения на 3205,89 рублей.

 

5.3. Расчет коэффициентов  вариации

 

Вариация измеряется с  помощью относительных величин, называемых коэффициентами вариации и определяемых в виде отношения среднего отклонения к средней величине. Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Значения коэффициента вариации изменяются от 0 до 100% и чем ближе он к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности, а значит и качественнее подобраны статистические данные. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации:

Коэффициент вариации:

                                                         (5.13)

где - среднее квадратическое отклонение, - средняя арифметическая.

Линейный коэффициент  вариации:

                                                  (5.14)

где - среднее линейное отклонение.

Коэффициент осцилляции:

                                          (5.15)

где - размах вариации.

 

Вычислим коэффициенты вариации для группировки населения по размеру среднедушевых денежных доходов (табл. 3.1) по формулам 5.13, 5.14, 5.15

Коэффициент вариации будет  равен: , что не превышает 33%, следовательно, совокупность однородна.

Вычислим линейный коэффициент  вариации: . Следовательно, доля усредненного значения абсолютных отклонений среднедушевого денежного дохода от средней величины равна 28,30%

Найдем коэффициент осцилляции: .

Определим коэффициенты вариации для группировки населения по численности безработных (табл.5.1):

Коэффициент вариации будет  равен: , что не превышает 33%, следовательно, совокупность однородна.

Вычислим линейный коэффициент  вариации: . Следовательно, доля усредненного значения абсолютных отклонений численности безработных от средней величины равна 6,29%

Найдем коэффициент осцилляции: .

Определим коэффициенты вариации для группировки населения по среднемесячной заработной плате (табл.5.2):

Коэффициент вариации будет  равен: , что превышает 33%, следовательно, совокупность неоднородна.

Вычислим линейный коэффициент  вариации: . Следовательно, доля усредненного значения абсолютных отклонений среднемесячной заработной платы от средней величины равна 23,8%

Найдем коэффициент осцилляции: .

 

 

 

 

 

6. РАСЧЕТ И ПОСТРОЕНИЕ  СТРУКТУРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВАРИАЦИОННОГО  РЯДА

6.1. Определение моды

Мода представляет собой  значение изучаемого признака, повторяющееся  с наибольшей частотой. Вычисляется  формуле:

,                                 (6.1)

где - нижняя граница модального интервала;

       i – величина модального интервала;

  - частота модального интервала;

      - частота интервала предшествующая модальному;

- частота интервала последующего за модальным.

 

По данным таблицы 3.1 «Группировка населения по размеру среднедушевых денежных доходов (руб.)» вычислим значение моды по формуле (6.1):