Использование проблемно-поисковых методов при решении задач на вычисление

    Задачи  являются и предметом, и средством  обучения. Они способствуют достижению всех целей обучения: воспитательных, образовательных, развивающих.

    Возможны  различные подходы  к определению  последовательности в изучении теоретического материала и решении  задач:

1. изучается небольшой блок теоретического материала, затем решаются задачи, связанные с ним (традиционный подход);
2. ведется «опережающее» изучение теоретического материала, после изучения крупного блока теории решаются задачи сразу по всему материалу этого блока;
3. ведется «опережающее» решение задач (теоретический материал темы рассматривается вначале на ознакомительном уровне, теоремы пока не доказываются;
4. после ознакомления с формулировками определений и теорем сразу переходят к решению задач;
5. по мере приобретения навыков решения задач обращаются к изучению доказательств теорем теоретической части курса, причем многие из этих доказательств проводятся учащимися самостоятельно).

    Опыт  учителей-новаторов показывает, что  «крупноблочное» изучение теоретического материала позволяет решить проблему дефицита учебного времени, интенсифицировать  учебный процесс, не перегружая учащихся [6, С. 20].

    Перейдем  к рассмотрению классификаций задач. Сначала необходимо определить тот  признак, по которому будем классифицировать.

    По  содержанию задачи делятся на практические (задачи с практическим содержанием) и математические.

    При решении практических задач используется метод математического  моделирования, его  суть в следующем:

1. переводим реальную ситуацию на математический язык и строим математическую модель;
2. работаем внутри математической модели и получаем результат;
3. переводим обратно на реальный язык или интерпретируем результат.

    При решении математической задачи используется только второй этап.

    По  требованию выделяют задачи на доказательство, на построение и на вычисление.

    По  характеру мыслительной деятельности различают стандартные и нестандартные задачи. К стандартным относятся задачи, которые имеют определенный алгоритм решения (алгоритмически разрешимые задачи). Задачи, не имеющие общего алгоритма решения, называются нестандартными. Нестандартные задачи имеют отчетливо выраженную развивающую функцию. Функции решаемой стандартной задачи зависят от того, какими теоретическими знаниями обладают учащиеся к моменту ее решения. Если учащимся известен алгоритм решения этой задачи, то ее можно считать шаблонной. Если к моменту решения стандартной задачи общий метод ее решения не известен, то такая задача является нешаблонной (при ее решении необходимо обнаружить общий метод решения или применить какой-либо искусственный прием). Нестандартные и нешаблонные задачи (вследствие общности их функции в обучении) можно объединить в одну группу - группу творческих задач.

    По  целям применения задач в учебном процессе выделяют задачи подготовительные, задачи на закрепление, на приобретение новых знаний, на развитие мышления.

    В начальных классах ученики рассматривают  и решают разнообразные задачи, большинство  которых содержит числовые данные. Кроме того, учащиеся должны познакомится с решением задач, в которых значения одной – двух величин выражены буквами. Эти задачи подводят учеников к более широким обобщениям и служат вводным материалом к изучению алгебры. Сюжет некоторых решаемых в начальных классах задач построен на геометрическом материале, то есть в них идет речь о фигурах и протяженности. Большинство этих задач назвать геометрическими в полном смысле нельзя.

    Таким образом, основное внимание обращается на рассмотрение задач с числовыми  данными, при решении которых  используют как арифметические, так  и алгебраические методы. Среди математических задач различают задачи простые и составные.

    К простым задачам относят те, которые можно решить одним действием. Задачи, которые составлены из нескольких простых и поэтому решаются с помощью двух и более действий, называют составными задачами.

    К любой простой задаче можно составить  две обратные задачи, то есть две  такие задачи, у каждой из которых  в тот же сюжет искомое число  из прямой задачи включено в виде одного из данных, а в качестве искомого выступает число, известное из условия  прямой задачи. Кроме того, среди простых задач выделяются задачи, выраженные в косвенной форме.

    В зависимости от тех понятий, которые  рассматриваются в курсе математики начальных классов, простые задачи делят на три группы.

    Первая  группа включает простые задачи, при которых учащиеся усваивают конкретный смысл каждого из арифметических действий.

1. Нахождение суммы.
2. Нахождение остатка.
3. Нахождение суммы одинаковых слагаемых.
4. Деление на равные части; деление по содержанию.

    Вторая  группа включает простые задачи, при решении которых учащиеся усваивают связь между компонентами и результатами арифметических действий. Это простые задачи на нахождение неизвестного компонента.

    Третья  группа – простые задачи, при решении которых раскрываются понятия разности и кратного отношения.

    Однако, рассматривая различные подходы  к классификации простых задач, Л.В. Занков замечает, что ни одна классификация  не позволяет установить последовательность, в какой следует рассматривать  их при обучении детей решению  задач. Это является существенным недостатком  различных классификаций. Однако, зная принципы классификации простых  задач, учитель с меньшей затратой труда и времени научит школьников правильно находить, каким действием  решается та или иная задача [9, С. 12].

    Методика  располагает достаточно обоснованными  суждениями о значении и системе  использования простых задач  в начальных классах. Простые задачи нужны ученику для того, чтобы:

1. ознакомиться со структурой математической задачи;
2. выработать у ребенка сознательное отношение к выбору действия, которое нужно произвести для нахождения ответа на вопрос задачи; задачи помогают раскрыть смысл действий;
3. увидеть элементарные функциональные зависимости между величинами, входящими в условие, понять связь между компонентами действий;
4. связать различные математические упражнения с жизнью, что повышает у детей интерес к предмету, оживляет процесс овладения навыками;
5. работа с изменением текста простой задачи позволяет ученику овладеть более отвлеченными математическими понятиями, переходить к обобщениям и абстрагированию;
6. готовить ученика к пониманию решения разнообразных составных задач [20].

2. Обучение  поиску решения задач

    С чего начинать решение задачи? Движение вашей мысли, как заметил известный  советский психолог П.Я. Гальперин, не должно быть «броуновским», т.е. беспорядочным. Главное - нужно сделать глубокий и всесторонний анализ задачи.

    Решить  математическую задачу- это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения) получаем то, что требуется в задаче, - ее ответ.

    Основными методами поиска решения задач являются анализ и синтез. Благодаря анализу  осуществляется целенаправленная актуализация знаний (знания актуализируются не механически, наугад, «вслепую», а в  связи с потребностью в них). В ходе анализа естественно определяются момент использования знаний (не тогда, когда вспоминаешь, а тогда, когда нужно), выбор знаний (берутся лишь те знания, в которых возникла потребность при анализе), форма использования знаний (не так, как в учебнике, а в том виде, в каком это удобнее для решения задачи) и характер использования знаний (все сразу или поочередно).

    Ранее были рассмотрены анализ Паппа и  анализ Евклида(см. Главу1). Они применимы и при поиске решений задач. Каждый из этих анализов имеет свою область применения. Например, при поиске решений текстовых задач с помощью уравнений более удобным является анализ Евклида: искомая величина обозначается через х и на основе текста задачи выводятся следствия до тех пор, пока не будет получено уравнение, связывающее искомую величину х с данными величинами. Поиск решения текстовых задач (решаемых арифметическими средствами) удобнее вести с помощью анализа Паппа. Поиск решения таких задач начинают с вопроса задачи и определяют, какие величины надо знать, чтобы ответить на этот вопрос. Далее выясняют, являются ли эти величины известными. Если некоторые из них не даны в условии задачи, то ставится вопрос, как можно найти такие величины, что необходимо знать для этого. Подобные вопросы повторяют до тех пор, пока не обнаружится, что нахождение «промежуточных» неизвестных величин сводится к вычислениям с данными величинами.

    Таким образом, при решении задач можно  выделить следующие общие приемы мыслительной деятельности: первый прием - прием развертывания термина, он состоит в выведении всевозможных следствий из условия задачи или в выяснении всевозможных свойств объектов, о которых говорится в задаче. Второй прием - анализ через синтез - «челнок» состоит в чередовании восходящего анализа и синтетических рассуждений. Эти два приема подводят к формированию плана решения задачи. Третий прием - прием построения дедуктивных умозаключений. Именно эти приемы должны быть отработаны с учащимися.

    В заключение отметим, что большинство  приемов поиска решения задач  базируется на достаточно серьезном  логическом содержании, поэтому овладение  ими учащимися возможно лишь при  условии систематического и целенаправленного  их применения. Полезно практиковать в этих целях краткий методологический комментарий, разъясняющий учащимся суть применяемых приемов поиска решения задач [6,C.12].

    Сам процесс решения задач при  определенной методике оказывает весьма положительное влияние на умственное развитие детей, поскольку он требует выполнения умственных операций анализа и синтеза, абстрагирования и конкретизации, сравнения, обобщения.

    Существуют  различные методические подходы к обучению детей решению текстовых задач. Но какую бы методику обучения ни выбрал учитель, ему надо знать, как построены такие задачи, и уметь их решать разными способами. Итак, любая текстовая задача – как считает Л.П. Стойлова – есть описание на естественном языке какого-либо явления (ситуации или процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения. М.И. Моро, А.М. Пышкало определяют задачу, как сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий.

    Прежде  всего, каждая задача включает числа: данные и искомые. Числа в задаче характеризуют  численности множеств или значения величины, выражают отношение или  являются отвлеченными данными числами.

    Каждая  задача имеет условие и вопрос. В условии задачи указываются  связи между данными числами, а так же между данными и  искомыми; эти связи и определяют выбор соответствующих арифметических действий. Вопрос указывает, какое число  является искомым. Исходя из этого, И.Б. Истомина считает, что любое математическое задание можно рассматривать, как  задачу, выделив в нем условие  и требование.

    Уточним теперь смысл термина  «решение задачи». Так  сложилось, что этим термином обозначают разные понятия:

1. решением задачи называют результат, т.е. ответ на требование задачи, на поставленный в ней вопрос. Чаще всего дети понимают под решением задачи ответ на поставленный ней вопрос.
2. решением задачи называют процесс нахождения этого результата, причем этот процесс рассматривается двояко: и как метод нахождения результата, (например, говорят о решении задачи арифметическим способом) и как последовательность действий, которые выполнит решающий, применяя тот или иной метод (т.е. в данном случае под решением задачи понимается вся деятельность человека, решающего задачу).

    Довольно  часто бывает так, что как только учитель сообщил задачу, дети сразу  же дают ответ на ее вопрос. Но это  далеко не всегда удовлетворяет учителя. Он стремится выяснить, как получен  ответ, на основе каких рассуждений, с помощью какого арифметического действия и т.п. сначала учитель требует обычно «полного» ответа на вопрос. Это имеет смысл не только с точки зрения развития устной речи учащегося, но и для того, чтобы дети еще раз вернулись мысленно к тексту задачи, сопоставляли свой ответ с условием и вопросом задачи. Получив ответ, учитель продолжает спрашивать: «Как ты это узнал?» Этот, казалось бы, простой вопрос нередко для ученика бывает трудным: «Я догадался», «Я посчитал» - вот типичные ответы первоклассников в подобных случаях (а иногда и просто «Я не знаю») Среди учителей было распространено мнение, что если ученик не может объяснить, как получил ответ на вопрос задачи, значит, он не решил ее. Дети внутренне не могут с этим согласиться. Возникает своего рода конфликтная ситуация, которая в данном случае совсем не полезна. Причина ее заключается в том, что учитель понимает требование решить задачу значительно шире, чем просто дать ответ на ее вопрос.