Использование проблемно-поисковых методов при решении задач на вычисление

    Важно и то, что проблемное обучение, приучающее учащихся сталкивается с противоречиями, разбираться в них, икать решения, является одним из средств формирования диалектического мышления.

    К слабым сторонам проблемного обучения следует отнести значительно  большие расходы времени на изучение учебного материала; недостаточную  эффективность их при решении  задач формирования практических умений и навыков, особенно трудового характера, где показ и подражание имеют  большое значение; слабую эффективность  их при усвоении принципиально новых  разделов учебного материала, где не может быть применен принцип апперцепции (опоры на прежний опыт); при изучении сложных тем, где крайне необходимо объяснения учителем, а самостоятельный поиск оказывается недоступным для большинства школьников.

    Итак, применение в учебном процессе проблемных ситуаций помогает учителю выполнить  одну из важных задач, поставленных реформой школы, - формировать у учащихся самостоятельное, активное, творческое мышление. Развитие же таковых способностей может осуществляться лишь в творческой самостоятельной  деятельности учеников, специально организуемой учителем в процессе обучения. Поэтому  педагог должен знать о тех условиях, в которые следует ставить школьников, чтобы стимулировать подлинное продуктивное мышление. Одним из таких условий является создание проблемных ситуаций, которые составляют необходимую закономерность мыслительных операций.

4. Управление  поиском решения  задач

    Ориентировочная основа действия (ООД) как средство управления. Теория поэтапного формирования умственных действий опирается на известные положения Л.С. Выготского и А.Н. Леонтьева о своеобразии формирования умственных действий. Сущность их состоит в том, что внешние материальные действия постепенно преобразуются во внутренние, умственные действия.

    Этот  процесс имеет пять этапов. Исследования П.Я. Гальперина и его сотрудников  показали, что решающую роль в формировании действия играет ООД. Полнота и правильность овладения ООД определяют быстроту и качество формируемого действия и характер его исполнительной части.

    Основные  положения теории поэтапного формирования умственных действий по П.Я. Гальперину[19,C.249] 

     Ориентировочная часть действия (как  отдельный акт мышления) и представляет, таким образом, аппарат управления действием.

    . Общие и специальные  эвристические методы. Кметодам первоочередного уровня применения мы относим анализ, синтез и их сочетание - аналитико-синтетический метод Если непосредственное применение анализа и синтеза не приводит к обнаружению метода решения задачи, то привлекаются эвристические методы второго уровня использования — методы моделирования и сведения задачи к подзадачам.

    Методы  первоочередного  уровня использования:

    анализ, синтез, аналитико-синтетический  метод

    Методы  второго уровня использования:

    методы  моделирования и  сведения задачи к  подзадачам

    Методы  третьего уровня использования:

    синтетический метод, анализ Паппа, анализ Евклида

    На  завершающей стадии поиска решающую роль играют специальные эвристические методы — методы третьего уровня использования: синтетический метод (дедуктивный вывод следствий из условий задачи), анализ Паппа (дедуктивный подбор условий, достаточных для требования задачи), анализ Евклида (дедуктивный вывод следствий из требования задачи).[19,C.250]

    Моделирование процесса поиска решения  задач: обобщенные и  конкретные модели. Широкое применение в процессе решения задач находит прием сравнения и, особенно, аналогия - специфический вид сравнения, позволяющий устанавливать подобие явлений. Аналогия дает основание для выводов об эквивалентности в определенных отношениях одного объекта другому. Тогда более простой по структуре и доступный изучению объект становится моделью более сложного объекта, именуемого прототипом (оригиналом). Открывается возможность переноса информации по аналогии от модели к прототипу. В этом сущность одного из специфических методов теоретического уровня - метода моделирования. Аналогия может принимать вид изоморфизма, гомоморфизма или изофункционализма: изоморфизм - отношение между объектами, имеющими различный состав, но тождественную или подобную структуру, когда каждому элементу одного объекта соответствует один элемент другого; гомоморфизм - структурное сходство двух объектов, когда каждому элементу одного может соответствовать группа элементов другого; изофункционализм — сходство функций или действий объектов.

    Модель  поиска решения задачи предполагает моделирование данной задачи. Модель задачи - вспомогательный объект, выбранный или преобразованный субъектом в познавательных целях, дающий новую информацию о решаемой задаче. Моделирование в процессе поиска решения задачи служит основной задаче - найти ее решение. Субъект, изучая условия задачи, ищет на основе ключевой идеи их новые сочетания, делает их мысленную компоновку, т.е. моделирует потребное состояние изучаемой системы. Создаются модели-гипотезы, вскрывающие механизмы связи между условиями задачи. Проверенные модели-гипотезы превращаются в разрешающие модели, приводящие к решению задачи, во многом сохраняющие свой модельный характер. Безусловно, любая модель всегда беднее прототипа, она отражает лишь его отдельные стороны и связи, так как теоретическое моделирование всегда включает идеализацию. Поскольку все компоненты процесса поиска решения задачи непрерывно движутся и изменяются, условием оптимизации является непрерывная корректировка модельной формы задач, эвристических средств поиска на основе анализа промежуточных результатов этого процесса. Преодоление указанных выше противоречий делает поиск управляемым и способствует его оптимизации.

    Ряды  конкретизации моделей  поиска. Конкретизация - логическая форма, являющаяся противоположностью абстракции. Представляет собой мыслительный процесс воссоздания предмета из вычлененных ранее абстракций. При конкретизации понятий происходит обогащение их новыми признаками. Конкретизация, направленная на воспроизведение развития предмета как целостной системы, становится особым методом исследования. Конкретным здесь называется единство многообразия, сочетание многих свойств. Конкретизация моделей поиска образует своего рода ряд моделей с постепенным наращиванием степени конкретности. Есть смысл говорить о полном ряде моделей конкретного уровня, понимая под ним последовательность моделей поиска, начинающуюся моделями-гипотеза ми и заканчивающуюся разрешающими моделями. В реальном процессе поиска полный ряд моделей может быть использован только частично, если для ученика окажется достаточным использование (возможно избирательное) только части моделей этого ряда.[19,C.251]

    Управление  поиском решения  задач:от микросистемы задач с самонаведением к обобщенной (универсальной) модели, от нее к конкретным моделям, цепочка которых завершается разрешающей моделью поиска. Управление поиском решения задач остается в центре внимания теории и практики обучения. В этой связи широкой известностью пользуется книга Д.Пойа и приводимая в ней таблица эвристических правил. Для учащихся же вопросы этой таблицы чаще всего оказываются непонятными. Указания типа «Сформулировать отношение между неизвестным и данными. Преобразовать неизвестные элементы. Решить часть задачи. Сформулировать задачу иначе» и др. носят общий и излишне абстрактный характер. Анализ методической литературы показывает, что созданию цепочек моделей поиска - эвристических таблиц конкретного, «ученического» плана не уделяется должного внимания. Между тем потребность в таких таблицах существует. Необходимы эвристические таблицы, ориентированные на специфику конкретной учебной темы, определенные виды задач. Их можно рассматривать как первый этап конкретизации таблицы Пойа. Необходимы и другие, последующие этапы конкретизации, в том числе и этапы, ориентированные на определенный набор задач. В методических разработках эта цепочка конкретизации должна обладать завершенностью, в том смысле, что она позволяет вычерпать всю информацию, необходимую для нахождения решения задачи. Для части учащихся, если они уже нашли решение задачи, эта полнота может оказаться избыточной. «Преждевременное» решение учащимися задачи - хороший признак эффективности эвристической таблицы, ее приспособленности к особенностям учебной темы и возрастным возможностям учащихся. По мере наращивания навыка учащиеся, естественно, будут использовать только часть таблицы. Эта часть может быть либо начальной, либо иной — целенаправленно избирательно выбранной. Во всяком случае, оборвать цепочку конкретизации несложно - это совершается самопроизвольно. Другое дело - обеспечить полнотуэвристической таблицы, которая помогает избежать ситуации, когда задача остается не решенной, а возможности таблицы уже закончились. Необходимые конкретизации (конкретизации по потребности) призван уметь выполнять каждый учитель. Данное умение мы рассматриваем как необходимую составляющую его методического мастерства.[19,C.253]

    Универсальная модель поиска —  «Эвристическая таблица-1»

Этапы поиска	ООД обобщенного плана (ориентация на тему отсутствует)
1.Изучите  задачу	Первое чтение и анализ задачи. Читая задачу, выделяйте (по отдельности) все условия и все требования задачи: окаких фигурах и их элементах говорится в задаче? что данов задаче? что еще дано? что требуется найти или доказать?какое из отношений в задаче вы посчитали бы основным? Повторный анализ с параллельно осуществляемымсинтезом. Графическое моделирование. Читайте задачупо частям (по одному ее условию) и отразите каждое условие на чертеже: прочитали одну часть задачи, отразите ее начертеже; прочитали другую часть задачи — отразите ее начертеже и т.д. После выполнения чертежа к задаче: проверьте, все ли условия задачи отражены на нем. Правильноли выполнен чертеж? Какое из отношений в задаче вы посчитали бы основным?     3. Дополнительный анализ и синтез.  Моделированиезадачи в виде схемы, таблицы. Запишите кратко задачу:еще раз убедитесь в том, что никакое условие и требованиезадачи не оказалось забытым. Запись задачи в виде схемы,таблицы часто помогает выделить основное соотношение взадаче. Какое из отношений в задаче вы посчитали бы основным?
П. Поиск решения  задачи	4. Обдумайте план  решения задачи. Актуализациязнаний. Не торопитесь проводить сразу вычисления. Прикиньте, какие   теоретические   сведения окажутся полезными при решении задачи. Синтетический метод поиска. Подумайтенад тем, с чего начать решение, какую величину можно найти вначале. Затем попытайтесь рассуждать таким образом: допустим, что эту величину нашли, каким образом ею можно воспользоваться дальше? Комбинируйте условия задачи в пары ивыясняйте, что можно найти с помощью этих условий. Повторяйте этот метод как можно чаще! Ориентируйтесь при этом на основное отношение в задаче. Не заметили ли вы возможность применения некоторого математического метода (каковы его признаки, схемы и условия применения?). Дополнительное графическое моделирование. Решениедо конца не просматривается. Как быть? Возможно, для решения задачи требуется дополнительное построение. Какое?Возможно, что искомую величину удобнее найти из другоготреугольника.Какого? Повторная актуализация знаний. Все ли условия задачииспользовали при ее решении? Какие понятия используются взадаче? Как они определяются? Какие теоремы, связанные сними, вам известны? И снова к чертежу. Анализируйте чертеж, подмечайтеимеющиеся на нем закономерности. Не забыли ли вы, к чему следует стремиться? Требованиезадачи никогда не следует забывать. Приближаетесь ли вы ктребованию задачи? Аналитический метод поиска (анализ Евклида). А если  обозначить искомую величину через х1Попытайтесь выразитьчерез х другие величины. Нельзя ли составить уравнение?     10. Аналитический метод поиска (анализ Паппа). Возможно, полезно задаться вопросом: «Чтобы ответить на вопросзадачи, что достаточно знать?» Допустим, что надо знать а иb. Поставьте этот же вопрос применительно к величинам а иb. Повторяйте этот вопрос до тех пор, пока не обнаружится,что нахождение промежуточных неизвестных величин сводится к величинам известным, данным в условии задачи.
3.Запись  найденного решения	11. Если задача решена, то обдумайте, как кратко записать еерешение. Пользуйтесьматематической и логическойсимволикой. Разбейте решение на отдельные шаги и пронумеруйте их
4.Проверка решения	12. Обратите внимание на то, правдоподобен ли полученный вами ответ. Приучайте себя к самоконтролю и самопроверке Какие этапы решения задачи вызывают сомнение? Проверьте их
5.Задача  решена. Что дальше?	Понравилось ли вам найденное решение? Нельзя ли задачу решить проще, оригинальнее? Полезно иметь в виду, что решение задачи различными способами, как правило, оценивается высшим баллом.     14.Вспомните, какие из правил этой таблицы вам помогли врешении задачи.

    Модель  с минимальной конкретизацией -«Эвристическая таблица-2»

Этапы поиска

ООД с 1-й ориентацией  на учебную тему     (если  таблица-1 не помогла)

I. Изучите задачу

Графическое моделирование (материализованные  действия):     1. Если в задаче говориться о  центроиде треугольника, то проведите медианы; если о центре окружности, описанной около треугольника, - проведите серединные перпендикуляры к сторонам треугольника, радиус окружности; если о центре вписанной окружности - проведите биссектрисы треугольника, отметьте точки касания, проведите радиус окружности; если об ортоцентре треугольника - проведите высоты треугольника и т.д.     2. Обратите внимание на то, как  удобнее оказалось выполнение  чертежа: придерживаясь последовательности  условий, данной задачи, или несколько  другой последовательности. Возможно, уже это подскажет некоторые  соображения по решению задачи, поможет выделить ее основное  соотношение.

    Модель  с дополнительной частичной конкретизацией «Эвристическая таблица-3»

Этапы поиска

ООД со 2-й ориентацией  на учебную тему     (если  таблицы 1 и 2 не помогли)

П.Поиск  решения задачи

Графическое моделирование (материализованные  действия):     1. Если в задаче говориться о  центроиде треугольника, то проведите медианы; если о центре окружности, описанной около треугольника, - проведите серединные перпендикуляры к сторонам треугольника, радиус окружности; если о центре вписанной окружности - проведите биссектрисы треугольника, отметьте точки касания, проведите радиус окружности; если об ортоцентре треугольника - проведите высоты треугольника и т.д. 2. Обратите внимание на то, как удобнее оказалось выполнение чертежа: придерживаясь последовательности условий, данной задачи, или несколько другой последовательности. Возможно, уже это подскажет некоторые соображения по решению задачи, поможет выделить ее основное соотношение