Организация и математическое планирование эксперимента

Первый этап - это этап построения модели, который предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обусловлены тем, что она отражает некоторые существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа.

На втором этапе модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение «модельных» экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее поведении. Конечным результатом этого этапа является получение множества знаний о модели.

На третьем  этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал, т.е. формирование множества знаний об объекте. Этот процесс проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели. Мы можем с достаточным основанием переносить какой-либо результат с модели на оригинал, если этот результат связан с признаками сходства оригинала и модели. Если же определенный результат исследования модели связан с отличием модели от оригинала, то этот результат переносить неправомерно.

Четвертый этап заключается  в практической проверке получаемых с помощью моделей знаний и их использовании для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им. Чтобы понять сущность моделирования, важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования «погружен» в более масштабный процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. Таким образом, в методологии моделирования заложены большие возможности для саморазвития.

Большинство объектов, изучаемых  наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием «сложная система». Сложность системы определяется числом входящих в нее факторов, связями между этими факторами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Многие объекты обладают всеми признаками очень сложной системы. Они объединяют огромное число факторов, отличающихся многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т.д.). В науке взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы. Разумеется, потенциальная возможность математического моделирования любых объектов и процессов не означает успешной реализации модели при данном уровне развития вычислительной техники и математических знаний. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.

Длительное время главным тормозом практического применения математического моделирования в науке является недостаточное наполнение разработанных моделей конкретной и качественной информацией. Точность и полнота первичной информации, реальные возможности ее сбора и обработки во многом определяют выбор типов прикладных моделей. В то же время математическое моделирование выдвигает новые требования к системе информации. В зависимости от моделируемых объектов и назначения моделей используемая в них исходная информация имеет существенное различие. Она может быть разделена на две категории:

1. прошлое и современное  состояние объектов (наблюдения  и обработка данных наблюдений);

2. будущее развитие  объектов, включающих данные об ожидаемых изменениях их внутренних параметров и внешних условий (прогнозы).

Вторая категория информации является результатом самостоятельных исследований, которые также могут выполняться посредством математического моделирования. Познание количественных отношений физических процессов и явлений опирается на измерения. Точность измерений в значительной степени предопределяет и точность конечных результатов количественного анализа посредством моделирования. Поэтому необходимым условием эффектного использования математического моделирования является совершенствование физических измерителей.

В соответствии с общей  классификацией математические модели подразделяются на структурные и функциональные, которые включают промежуточные формы (структурно-функциональные). В исследованиях чаще применяют структурные модели, поскольку для планирования и управления большое значение имеют взаимосвязи подсистем. Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых связей. Функциональные модели широко применяют при физическом моделировании, когда на поведение объекта («выход») воздействуют путем изменения исходных параметров («вход»). Примером может служить модель поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений. Один и тот же объект может описываться одновременно и структурной, и функциональной моделью. Так, например, для планирования отдельной отраслевой системы используется структурная модель, а на народно-хозяйственном уровне каждая отрасль может быть представлена функциональной моделью.

По способам отражения  фактора времени математические модели делятся на статические и динамические. В статических моделях все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени. Динамические модели характеризуют изменения физических процессов во времени. Само время в математических моделях может изменяться либо непрерывно, либо дискретно. Модели физических процессов чрезвычайно разнообразны по форме математических зависимостей. Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений. Различия между линейными и нелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, поскольку многие зависимости в физике, технике и экономике носят принципиально нелинейный характер:

- эффективность использования  ресурсов при увеличении мощности;

- изменение напряжения и потребления объекта при увеличении нагрузки:

- изменение спроса и потребления населения при росте доходов и т. д.

Основные этапы процесса моделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний, в том числе и в технике, они приобретают свои специфические черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла математического моделирования.

1-й этап. Постановка проблемы и ее качественный анализ. На этом этапе главное - четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от его второстепенных свойств. На этом этапе изучаются структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы. формулируются гипотезы (хотя бы предварительные), объясняющие поведение и развитие объекта.

2-й этап. Построение  математической модели. Это этап  формализации проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). Обычно сначала определяют основную конструкцию (тип) математической модели, а затем уточняют детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таким образом, построение модели подразделяется, в свою очередь, на несколько стадий.

Неправильно полагать, что  чем больше факторов включает модель, тем она лучше «работает» и дает лучшие результаты. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели затраты не должны превышать эффект).

Одна из важных особенностей математических моделей - потенциальная возможность их использования для разрешения раз-личных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой задачей, не нужно стремиться изобретать модель - вначале необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели. В процессе построения модели осуществляется сопоставление двух систем научных знаний - физических и математических. Естественно стремиться к получению модели, принадлежащей к хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация проблемы приводит к неизвестной ранее математической модели. Потребности науки и практики в середине XX в. способствовали развитию математического программирования, теории игр, функционального анализа, вычислительной математики.

3-й этап. Математический  анализ модели. Цель этого этапа - выяснение общих свойств модели. При этом используют чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе над первоначальной моделью отпадает и следует скорректировать либо постановку задачи, либо способы ее математической формализации.

При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как единственно ли решение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Аналитическое исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели. Знание общих свойств модели столь важно, что часто ради доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все же модели сложных объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общие свойства модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам, переходят к численным методам исследования.

4-й этап. Подготовка  исходной информации. Моделирование  предъявляет жесткие требования  к системе информации. В то  же время реальные возможности  получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

В процессе подготовки информации широко применяют методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

5-й этап. Численное  решение. Этот этап включает  разработку алгоритмов для численного  решения задачи, составления программ  на ЭВМ и непосредственное  проведение расчетов. Трудности  данного этапа обусловлены, прежде всего, большой размерностью физических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.

Обычно расчеты по математической модели носят многовариантный характер. Благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ удается проводить многочисленные «модельные» эксперименты, изучая «поведение» модели при различных изменениях некоторых условий. Исследование путем численных методов может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс физических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

6-й этап. Анализ численных  результатов и их применение. На этом, заключительном, этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних. Математические методы проверки могут выявлять некорректные способы построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей.

Неформальный  анализ теоретических выводов и  численных результатов, полученных на основании модели, а также сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

Рассмотрим взаимосвязи этапов, рис. 3.3. Здесь необходимо обратить внимание на наличие обратной связи, возникающей вследствие недостатков предшествующих этапов моделирования. Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит к слишком сложной математической модели, тогда исходная постановка задачи должна быть скорректирована.

Рис. 3.3. Схема построения математической модели

Далее математический анализ модели (3-й этап) может показать, что небольшая модификация постановки задачи или ее формализации дает интересный аналитический результат.

Наиболее часто необходимость  возврата к предшествующим этапам моделирования  возникает при подготовке исходной информации (4-й этап). Может обнаружиться, что необходимая информация отсутствует или же затраты на ее подготовку слишком велики. Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и ее формализации, изменяя их так, чтобы приспособиться к имеющейся информации. Поскольку задачи могут быть сложны по своей структуре, иметь большую размерность, часто случается, что известные алгоритмы и программы для ЭВМ не позволяют решить задачу в первоначальном виде. Если невозможно в короткий срок разработать новые алгоритмы и программы, исходную постановку задачи и модель упрощают: снимают и объединяют условия, уменьшают число факторов, нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизм модели и т.д.