Организация и математическое планирование эксперимента

Другим примером может  служить составление модели жидкости (или газа). В гидромеханике такая среда определяется двумя параметрами: плотностью и вязкостью. Поэтому абстрактная модель потока жидкости создается на базе дифференциальных уравнений с двумя физическими константами: плотностью и динамическим коэффициентом вязкости.  Такое важное для химика свойство, как растворяющая способность жидкости, в такой гидромеханической модели игнорируется. Сказанное еще раз подчеркивает роль цели исследования при выборе характерных признаков, воспроизводимых моделью.

Аналоговое моделирование основывается на изоморфизме явлений, имеющих различную физическую природу, но описываемых одинаковыми математическими уравнениями. Например, с помощью аналоговых вычислительных машин (АВМ) моделируют процессы в системах разнообразной физической природы, которые описываются теми же дифференциальными уравнениями, что и процессы в АВМ. Другим примером может служить изучение гидродинамического процесса с помощью исследования электрического поля. Оба эти процесса описываются дифференциальным уравнением Лапласа в частных производных, решение, которого обычными аналитическими методами возможно лишь для частных случаев. В то же время экспериментальные исследования электрического поля намного проще соответствующих исследований в гидродинамике.

Физическое моделирование состоит в замене изучения некоторого объекта или явления экспериментальным исследованием его уменьшенной физической модели, имеющей ту же физическую природу. В технике физическое моделирование используют тогда, когда трудно провести натурный эксперимент. В основе обобщения результатов физического моделирования лежит теория подобия и анализ размерностей. Необходимым условием реализации этого вида моделирования является геометрическое подобие (подобие формы) и физическое подобие модели и оригинала. В сходные моменты времени и в сходных точках пространства значения переменных величин, характеризующих поля распределения в модели и в оригинале, должны быть пропорциональны. При этом коэффициент пропорциональности является коэффициентом масштабного перехода.

Имитационное моделирование заключается в в имитации на ЭВМ процесса функционирования и структуры исследуемого объекта. Строгое детальное описание отдельных частей объекта в этом случае не предусматривается, а протекающие в них процессы имитируются в интегрированном виде, позволяющем определить лишь основные данные, необходимые для  принятия решения на более высоком уровне. Характерная особенность работы с имитационной моделью – использование в качестве исходной информации не только теоретических и экспериментальных данных, но и интуитивных, неформальных сведений об изучаемом процессе. Эта информация может быть получена как заранее, так и в процессе самого имитационного моделирования. При имитационном моделировании существенную роль играет человек, являющийся составной частью сложного объекта и работающий в режиме диалога с ЭВМ.

2.2. ФИЗИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ  И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Сложные природные явления  и технические системы исследуются на основе системного подхода. Существует множество определений систем. Мы приведем здесь одно из определений, наиболее подходящее для анализа сложных технических систем как объектов управления, а также рассмотрим некоторые определения их свойств.

Система - это организованное множество элементов (произвольной природы), обладающее относительной целостностью и полифункциональностью, иерархической организацией, включающей в себя составы и структуры. При этом структуры включают в себя различные характеристики. Это могут быть логические структуры, пространственно-временные, стохастические и т.д. Система характеризуется также динамикой, охватывающей функционирование и развитие с учетом характера взаимодействия с другими системами.

Важнейшими характеристиками системы является функция, цель и структура. Под функцией системы понимают такие действия системы, которые выражаются в изменении ее возможных состояний. Во время функционирования совершается переход системы из одного возможного состояния в другие. Множество всех доступных состояний системы определяется числом ее элементов, их свойствами и разнообразием связей между ними. Это обстоятельство является основной причиной, обуславливающей сложность и необычность задачи строгого и полного исследования систем.

Функция системы характеризует ее как единое целое, как результат взаимодействия ее элементов между собой и с внешними системами.

Целью системы называется определенное (заданное извне или устанавливаемое самой системой) наиболее предпочитаемое конечное состояние ( например некоторая функция ее выходных характеристик), т.е. некоторое подмножество значений функций системы.

Структура системы определяется расположением и взаимосвязями между составляющими элементами системы, которые образованы для выполнения системой своей функции. Величина системы характеризуется числом ее элементов и количеством связей, а сложность – многообразием элементов, неоднородностью их свойств и разным качеством связей.

Функционирование системы характеризуется  обычно некоторым критерием качества функционирования системы, который наиболее часто выражается следующим образом:

где: x – вектор, характеризующий состояние системы;

z – вектор заданного состояния системы;

Q – вектор-функция, определяемая особенностями и целью функционирования системы.

Формирование критерия качества функционирования динамических систем напрямую зависит от свойства системы, называемого наблюдаемостью системы.

Наблюдаемость системы - это возможность отслеживать в процессе движения основные переменные состояния, характеризующие процесс, в количестве, достаточном для вычисления критерия качества функционирования системы.

Система является детерминированной, если при заданном начальном состоянии системы х(0) = с и заданном векторе управляющих функций u(t) состояние системы в любой момент времени будет определено однозначно. Свойство системы следовать по предписанному движению под воздействием выбранного управления, называется управляемостью системы.

Система, которая может  двигаться при наложении управления из заданного начального состояния  и одновременном действии возмущений, называется недетерминированной системой. Такая система может приходить в предписанное состояние только с некоторой долей вероятности

Большинство сложных  технических систем, к которым  относятся системы получения и обработки металлов в металлургии, процессы добычи и переработки нефти, газа и угля относятся к так называемым большим система или очень большим системам. Рассмотрим подробнее отличительные признаки больших систем

Очень большая  система.

Основные закономерности систем, их структуры и свойств рассматривают обычно на простых системах для облегчения их понимания. Кибернетика, однако, предусматривает возможность работы с системами значительно большей сложности - вычислительными машинами, сложными производствами, управляемыми вычислительными машинами, нервными системами, обществами. Прежде всего, определим, что мы понимаем под размерами системы. Главное, здесь не масса. Например, Солнце и Земля обладают очень большой массой, но с точки зрения систем, являются для нас достаточно малыми. У них только двенадцать степеней свободы. Здесь имеется в виду, скорее сложность системы. Но что означает сложность? Если рассматривать просто семью из пяти человек, то рассматривать ли ее как состоящую из пяти частей, т.е. довольно простую, или рассматривать как совокупность атомов в объеме 10²³, т.е. очень сложную? В кибернетике «размеры» системы связываются с числом устанавливаемых различий; при этом имеется в виду либо число состояний системы, либо, если состояния системы определяются векторами, число составляющих вектора (т.е. число переменных системы или число ее степеней свободы). Эти две меры сложности взаимозависимы, ибо при прочих равных условиях введение новых, дополнительных переменных, делает возможными новые, дополнительные состояния. С функциональной точки зрения можно также увеличивать систему, если при неизменном числе переменных измерять каждую из них более точно, тем самым, обнаруживая у переменной больше различимых состояний.

Под сложностью системы понимают соотношение между системой и наблюдателем, изучающим ее свойства. Система будет считаться «очень большой» если она в каком-либо смысле слишком велика для детального изучения или управления ее состоянием, т.е. она превосходит возможности наблюдателя. Например, расчет числа состояний молекул газа с помощью ньютоновской механики XIX века, практически невозможен из-за большого количества частиц в единице объёма, что делает невозможным зафиксировать состояние системы и никакие практические вычисления не смогли бы предсказать ее будущее. Такая система была «очень большой» по отношению к физике XIX века. Животновод встречается с очень большой системой в генах, структуру которых он старается перестроить по новому образцу. Число генов и сложность их взаимодействия делают для него практически невозможным детальное управление ими. Металлург встречается с очень большой системой, когда он стремится наблюдать за протеканием всех элементарных реакций, имеющих место при переработке руды в процессе окислительной или восстановительной плавки.

Такие системы, слишком  большие по отношению к современным средствам наблюдения и управления, весьма обычны в биологическом мире и его социально-экономических параллелях. Примером может служить и центральная нервная система.

Число нейронов в центральной  нервной системе имеет примерный порядок 10¹⁰. И почти каждый из них возбуждается при многих воспоминаниях и мыслях. Во всех созданных человеком автоматах число частей колеблется в пределах от 10³ до 10⁷.

Однако следует заметить, что число элементов и размеры  систем не нарушают тех общих принципов и свойств, которые были получены при рассмотрении систем с небольшим числом состояний. Особое преимущество метода, использующего состояния, а не обычные переменные, заключается в том, что он не требует явного упоминания о числе частей системы. Благодаря этому, доказанные однажды теоремы справедливы для систем любого размера. Применимость этих теорем к какой-либо реальной материальной системе может изменяться по мере того, как система становится очень большой. Однако о применимости можно говорить только по отношению к частным, конкретным случаям. Таким образом, размеры системы не лишают справедливости теорем и постулатов, доказанных при анализе небольших систем. Системный подход позволяет проводить изучение особенностей поведения большой системы с помощью анализа ее некоторой упрощенной модели.

Метод изучения природных  явлений и процессов с использованием их моделей широко используется человечеством с древнейших времен. Моделью называют некий объект, отражающий основные, наиболее характерные черты изучаемого объекта, которые интересуют исследователя в данный момент времени. Например, если мы интересуемся особенностями движения объекта, то его моделью для этой цели может быть некая точка, характеризующая движение центра тяжести объекта под действием приложенной силы. Если мы хотим исследовать закономерности протекания нефти в магистральном нефтепроводе, то моделью такого объекта может быть трубка небольшого диаметра, по которой протекает жидкость, имеющая свойства, аналогичные свойствам нефти.

Таким образом, для изучения поведения объекта путем исследования его модели, необходимо, прежде всего, создать модель объекта. Модель должна отражать не все свойства объекта, а только те, которые интересуют исследователя в данный момент времени. Поэтому для одного и того же объекта могут быть разные модели, в зависимости от целей исследования.

Различают два основных вида моделирования:

Физическое  моделирование. В этом случае физическая природа процессов, происходящих в модели и в объекте, одинакова и они отличаются только размерами или темпом процессов, происходящих в модели в объекте.

Например, если мы хотим исследовать закономерности протекания жидкости в трубопроводах большого диаметра, мы можем исследовать особенности течения жидкости в трубопроводах малого диаметра и обобщить полученные результаты на основе использования теории подобия.

Центральным положением этой теории является понятие подобия объектов, возникшее в геометрии и перенесенное в физику. По аналогии с геометрическим подобием вводится понятие физического подобия. Это может быть, например, гидродинамическое подобие (подобие потоков текучей жидкости), тепловое (подобие полей температур), механическое (подобие распределения сил, скоростей, энергетических характеристик), а позже кибернетическое (подобие процессов переработки информации в саморегулирующихся кибернетических системах). Основной постулат теории подобия гласит: правильные результаты  при моделировании можно получить, обеспечив физическое подобие модели изучаемому объекту.

Первоначально понятие  физического подобия рассматривалось лишь в отношении явлений и объектов одной физической природы. Например, потоки жидкости в моделируемом аппарате считалось обязательным воспроизводить лишь текучей жидкостью в малой геометрической копии аппарата. При этом часто возникала проблема подбора жидкости для модели. Пропорциональное изменение размеров необходимо было компенсировать в модели соответствующим изменением свойств жидкости. Затем понятие физического подобия было расширено. В подобие стало возможным вовлекать и явления разной природы. А.А. Гухман предложил называть первый случай подобия физически однородных явлений – подобием в узком смысле, а второй, более общий случай - подобия для явлений различной физической природы – физической аналогией.

Фундаментальной является так называемая тройная аналогия процессов переноса: распространения  тепла (теплопроводность), переноса массы (диффузия, фильтрация), перемещение электрического заряда (электрический ток). Законы переноса удается записать для перечисленных процессов единым уравнением, связывающим поток текучей субстанции (вещество, энергия) и проводимость среды. Все эти явления, хотя имеют различную природу, но могут быть описаны однотипным уравнением. Такое уравнение является математической моделью для всех указанных процессов. Поэтому, изучая закономерности процесса переноса электричества, можно изучать явления переноса массы в аналогичных условиях и т.д.