Организация и математическое планирование эксперимента

Большая заслуга в дальнейшем развитии идей и методов планирования экспериментов принадлежит Г. Боксу, его сотрудникам, ученикам и последователям (Р. Уильсону, У. Хантеру, В.С. Бенкину и др.). В нашей стране большой вклад в популяризацию и дальней-шее развитие новых методов постановки и обработки экспериментов внес В.В. Налимов. Ему же принадлежит первая в нашей стране статья по этому вопросу. Область применения планируемых экспериментов распространяется на все явления, зависящие от управляемых факторов, т.е. факторов, которые можно изменять и поддерживать на определенных уровнях. Такие эксперименты проводят при изучении физических, химических и медико-биологических явлений, а также технических и инженерных объектов.

Планируемые эксперименты можно подразделить следующим образом:

- отсеивающие эксперименты, предназначенные для ранжирования факторов;

- экстремальные эксперименты;

- эксперименты для дисперсионного анализа;

- эксперименты для специальных случаев (изучение диаграмм состав - свойство и др.).

Именно поэтому в  последние десятилетия происходит неук-лонное расширение сферы приложения методов математического планирования эксперимента. Эти методы успешно  используются для повышения эффективности  экспериментальных исследований, поиска оптимальных технологических режимов производственных процессов, выбора конструктивных параметров изделий, состава многокомпонентных систем и т. д. В развитии отечественной школы по планированию эксперимента большую роль сыграли В.В. Налимов, В.В. Федоров, Г.К. Круг, Е.В. Маркова, Ю.П. Адлер и другие ученые.

 

4.1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ

АНАЛИЗ

 

При сложном и малоизученном  механизме протекания процессов в технологических объектах, особенно при действии многочисленных случайных возмущений на объект, трудно сформулировать адекватное математическое описание, отражающее механизм протекающих процессов. В этом случае мы можем просто выделить выходные переменные, характеризующие состояние объекта, и входные переменные, оказывающие влияние на протекание процессов в объекте. Обозначим вектор входных переменных через:

А вектор выходных переменных через:

В общем случае можно  записать  функциональную зависимость между выходными и входными переменными в следующем виде:

.

Разлагая зависимость в ряд Тэйлора её можно записать в следующем виде:

В большинстве случаев  можно ограничиться разложением  до вторых производных. Поэтому из этой уравнение связи в виде полинома второго, а иногда и первого порядка:

Для определения коэффициентов  уравнений математической модели применяют обычно метод корреляционного анализа.

Методы корреляционного анализа широко используются для выявления зависимостей между случайными величинами по экспериментальным данным. Для экспериментального изучения зависимости между случайными величинами Х и У производят некоторое количество n независимых опытов. Результат i-го опыта дает пару значений (x_i,y_i), где i=1,2,…,n.

О наличии или отсутствии корреляции между двумя случайными величинами качественно можно судить по виду поля корреляции, нанеся точки (x_i,y_i) на координатную плоскость. Положительная корреляция между случайными величинами представлена на рис.4.1(а). Еще более тесная корреляция, близкая к линейной, представлена на рис.4.1(б). На рис. 4.1(в) приведен пример сравнительно слабой, отрицательной корреляции, а на рис. 4.1(г) – пример фактически некоррелированных случайных величин.

 

Рис. 4.1. Поле корреляции случайной величины

 

Для количественной оценки тесноты связи служит выборочный коэффициент корреляции.

 

 

 

 

где: - среднеарифметические оценки математического ожидания величин х и у;

s_x,s_y – выборочные дисперсии величин х и у.

 

 

 

 

 

 

 

Выборочный коэффициент  корреляции r* дает состоятельную, но смещенную оценку для коэффициента корреляции генеральной совокупности, эта оценка имеет смещение, равное .

Величина смещения убывает обратно пропорционально числу опытов и при n>50 составляет менее 1%.

Выборочный коэффициент  корреляции r*_xy, так же как и r_xy – коэффициент корреляции генеральной совокупности, по абсолютной величине не превосходит единицы:

=1 

 

Выборочный коэффициент  корреляции не изменяется при изменении начала отсчета и масштаба величин Х и У. Коэффициент корреляции одинаково отмечает долю случайности и криволинейность связи между Х и У. Зависимость между Х и У может быть близка к функциональной, но существенно нелинейной, а коэффициент корреляции будет значительно меньше единицы.

Проведем теперь анализ случайных величин, составляющих поле корреляции.

Каждому значению х соответствует не одно значение у, а ряд распределения этой величины. Проследим, как изменяются ряды распределения у с изменением х. Для этого весь диапазон изменения величины х разобьем ряд равных интервалов. Все точки, попавшие в этот интервал, отнесем к середине интервала:

 

 

 

 

где:

– число точек, попавших в k-й интервал;

- частное среднее в интервале.

Определим частные средние  в каждом интервале и соединим их ломаной линией. Полученная ломаная линия называется ломаной эмпирической линией регрессии. Она показывает, как в среднем меняется у при изменении x.

Рис.4.2. Ломаная линия регрессии.

 

Большим доверием будут  пользоваться те интервалы, в которых больше точек. При беспредельном увеличении числа опытов n  и одновременном, но не столь быстром уменьшении длины интервала Dx_i, эмпирическая линия регрессии сходится к теоретической линии регрессии. Нахождение параметров теоретической линии регрессии по конечному числу экспериментальных данных составляет задачу корреляционного анализа.

Процедура нахождения теоретической  линии регрессии складывается из выбора формы зависимости и расчета параметров выбранного уравнения. Все вышесказанное справедливо и в отношении зависимости от многих переменных, но в этом случае говорят о гиперповерхности регрессии (поверхности отклика), а координатное пространство, в котором  строят эту поверхность, называют факторным пространством. На координатных осях этого факторного пространства откладывают значения соответствующих переменных.

В случае зависимости  от одной переменной, вид теоретической линии регрессии определяют по виду эмпирической линии регрессии. В случае многих переменных форму кривой регрессии заранее определить нельзя.

Чаще всего зависимость y = f(x₁,….,x_n) представляют в форме полиномов различных степеней

 

 

 

 

 

 

Примеры записей полиномов различных степеней

 

 

 

 

Задача корреляционного  анализа – определить коэффициенты выбранного полинома так, чтобы полином наилучшим образом описывал зависимость, полученную в опыте.

Например, установлена  опытная зависимость:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.3. Опытная зависимость у=f(x)

 

Из вида графика следует, что может подойти линейная зависимость типа

y = a₀ + a₁x_1.

Необходимо подобрать таким  образом а₀ и а₁, чтобы линейное уравнение наилучшим образом описывало экспериментальные данные. Решение этой задачи зависит от того, что считать наилучшим. Можно потребовать, чтобы отклонение точки от прямой линии было бы минимальным, можно потребовать, чтобы

 

 

Естественно, что каждый раз результаты будут различными. Чаще всего для решения этой задачи выдвигается требования подобрать  коэффициенты полинома из условия минимума суммы квадратов отклонений между экспериментальными и расчетными значениями у при соответствующих значениях х:

 

 

Это уравнение является выражением метода наименьших квадратов. Его приемущество применительно к решению задач корреляционного анализа заключается в следующем:

1. Коэффициенты определяются сравнительно просто.

2. Метод имеет достаточно хорошее вероятностное обоснование.

 

4.2. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

 

Недостатком классического  регрессионного анализа является корреляция между коэффициентами и необходимость  большого числа опытов для определения коэффициентов регрессии и их значимости. Этих недостатков лишен подход, основанный на специальном планировании экспериментов и обеспечивающий одновременное варьирование всех переменных. При этом значительно упрощается процедура вычисления коэффициентов регрессии. При планировании экспериментов по схеме полного факторного эксперимента (ПФЭ) реализуются все возможные комбинации на всех выбранных уровнях. Необходимое число опытов N при ПФЭ равно

N = n^k

где n – количество уровней, k – число факторов.

Если эксперименты проводятся только на двух уровнях факторов (максимальном и минимальном), и процессе эксперимента реализуются все возможные факторы из k –факторов, то постановка опытов по такому плану называется полным факторным экспериментом - ПФЭ типа 2^k. Уровни факторов представляют границы исследуемой области по данной входной переменной.

Например, мы хотим установить связь между выходом целевого продукта в ходе процесса, температурой и давлением. Известно, что процесс может проводиться в интервале температур z₁ от 80 до 120°С и z₂ при давлениях от 2×10⁵ до 6×10⁵ Па.

Средние значения переменных для выбранных интервалов определяются по формулам:

 

Точка с координатами z₁₀ и z₂₀ называется центром плана или нулевым уровнем.

Величина интервала варьирования рассчитывается по формуле:

 

При составлении схемы планирования экспериментов переходят обычно к безразмерному виду переменных по следующей формуле:

 

 

 

Из приведённых выражений видно, что в безразмерном масштабе величин переменные принимают только два значения +1 на верхнем уровне и –1 на нижнем уровне. При применении метода планирования экспериментов все данные обычно сводятся таблицу, которая для рассматриваемого примера принимает вид представленный в табл. 4.1.

В представленном плане х₀ – фиктивная переменная, равная всегда единице как и при использовании обычного уравнения регрессии.

Реализовав 4 опыта по схеме матрицы планирования, мы получим 4 значения выходной переменной, приведенные в последнем столбце табл. 4.1.

Уравнение регрессии для двух факторов может быть записано в следующем виде:

 

где:

 

 

Табл. 4.1

Интервалы варьирования и матрица  планирования экспериментов

 

Пределы варьирования		Переменные
		Температура			Давление
		z1,°C	x1		z2×10-5 Па	x2
Нижний уровень		80	-1		2	-1
Верхний уровень		120	+1		6	+1
Нулевой уровень		100	0		4	0
Интервал варьирования		20	-		2	-
Кодовые значения переменных						Выходной параметр
№ опыта	х0	х1		х2	х1×х2	yn
1	+1	-1		-1	+1	y1
2	+1	-1		+1	-1	y2
3	+1	+1		-1	-1	y3
4	+1	+1		+1	+1	y4