Организация и математическое планирование эксперимента

Графическая интерпретация  задачи оптимизации объекта у = f(х, х₂) при двух факторах х, х₂ представлена на рис. 5.1 (а, б).

Здесь точка А соответствует  оптимальным значениям факторов х₁*, и х₂*, обеспечивающим максимум функции отклика у_max. Замкнутые линии на рис. 5.1(б) характеризуют линии постоянного уровня и описываются уравнением у = f(x₁, х₂) = В = соnst.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.1. Поверхность отклика (а) и линии равного уровня (б):

y = f(x₁,x₂) = B = Const для n = 2

 

Известный из практики метод  «проб» и «ошибок», в котором факторы изменяются на основании опыта, интуиции или наугад, при значительном числе факторов зачастую оказывается малоэффективным. Поисковые методы оптимизации, где шаговое варьирование факторами производится целенаправленно по определенному плану, требуют значительно меньшего числа опытов и быстрее приводят к цели. Поисковые методы оптимизации относятся к классу итерационных процедур, при этом весь процесс разбивается на шаги. На каждом шаге ставится ряд опытов и определяется, каким образом нужно изменить факторы, влияющие на процесс, чтобы получить улучшение результата. При этом на каждом очередном шаге получаемая информация используется для выбора последующего шага.

Разработано множество  методов пошаговой оптимизации, которые подробно рассматриваются в разделе вычислительной математики – «Численные методы оптимизации». Рассмотрим только некоторые из них, эффективность использования которых в промышленном и лабораторном эксперименте применительно к металлургическим процессам подтверждена практикой.

 

5.1. Метод  покоординатной оптимизации

 

Процесс поиска оптимума методом покоординатной оптимизации для двумерного случая представлен в графическом виде на рис. 5.2. По этому методу выбирается произвольная точка М₀ и определяются ее координаты. Поиск оптимума осуществляется поочередным варьированием каждого их факторов. При этом сначала изменяют один фактор (х₁) при фиксированных остальных (х₂=соnst) до тех пор, пока не прекращается прирост функции отклика (точка М₁. В дальнейшем изменяется другой фактор (х₂) при фиксированных остальных (х₂=соnst), и далее процедура повторяется.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.2. Графическая интерпретация метода покоординатной оптимизации (Гаусса-Зайделя)

 

Данный метод весьма прост, однако при большом числе  факторов требуется значительное число опытов, чтобы достичь координат оптимума. Более того, при некоторых зависимостях у = f(x₁, x₂, ..., x_к) этот метод может привести к ложному результату. На рис. 4.6 показан один из таких частных случаев, когда поочередное изменение каждого из факторов в любую  сторону  вдоль  координатных осей x₁ и х₂ вызывает уменьшение у. В результате решения находится ложный экстремум в точке А' с координатами x˜₁ и х˜₂ в то время как действительное значение максимума у_max находится в точке А с координатами х₁* и х₂*.

В дальнейшем рассмотрим более совершенные методы.

 

5.2. Метод крутого восхождения

 

Известно, что кратчайший, наиболее короткий путь - это движение по градиенту, т.е. перпендикулярно линиям равного уровня, на которых функция отклика принимает постоянные значения у = f(x₁, x₂, ..., x_к) = В. В связи с этим при оптимизации процесса рабочее движение целесообразно совершать в направлении наиболее быстрого возрастания функции отклика, т.е. в направлении градиента функции у. Существуют различные модификации градиентного метода, одним из них является метод крутого восхождения.

Рассмотрим сущность этого метода также на примере двухфакторной задачи (рис. 5.3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.3. Процедура оптимизации методом крутого восхождения

 

В этом случае шаговое  движение осуществляется в направлении наибольшего возрастания функции отклика, т.е. в направлении grad y. Однако направление корректируют не после каждого следующего шага, а при достижении в некоторой точке на данном направлении частного экстремума функции отклика.

Пусть в окрестности  точки М_о как центра плана поставлен ПФЭ 2². Координаты отдельных опытов соответствуют точкам 1-4. По результатам ПФЭ можно рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии.

Градиент функции отклика  в этой точке определяется как

 

 

 

где i и j - единичные векторы в направлении координатных осей.

Следовательно, для движения по градиенту необходимо изменять факторы пропорционально их коэффициентам регрессии и в сторону, соответствующую знаку коэффициента. В процессе поиска двигаются в этом направлении до тех пор, пока не будет обнаружен локальный максимум (точка М, на рис. 5.3). В точке последнего находят новое направление градиента (направление М₁N), осуществляя опять же ПФЭ, и далее процедура повторяется. Стрелками на рис. 5.3 показана траектория движения к оптимуму.

Практически алгоритм сводится к следующей последовательности операций.

1. Планирование и постановка ПФЭ (или ДФЭ) в окрестности точки начального состояния x_i0. Расчет коэффициентов b_i линейной математической модели с целью определения направления градиента.

2. Расчет произведений b_i Δ x_i где Δ x_i - интервалы варьирования факторов при ПФЭ (ДФЭ).

3. Выбор базового фактора x_i = x_i0, у которого | b_i Δ x_i | = а = max.

4. Выбор шага крутого  восхождения для базового фактора h_a.

Этот выбор производится на основании имеющейся априорной информации или с учетом опыта исследователя, технологических соображений или других критериев. Относительно выбора шага заметим, что слишком малый шаг потребует значительного числа опытов при движении к оптимуму, а большой шаг создает опасность проскакивания области оптимума.

5. Расчет шагов изменения  других факторов по формуле

h_i = (b_i Δ x_i) h_a / a.

Это соотношение между  величинами шагов изменения отдельных факторов обеспечивает движение по градиенту в факторном пространстве.

6. Составление плана движения по градиенту. Для этого в соответствии с определенными значениями шагов изменения факторов и их последовательным алгебраическим суммированием с основным уровнем в точке

h_ik = x_i0, + kh_i , k = 1,2,……

находят координаты опытов 5, 6, 7, 8, 9, 10 (рис. 5.3). Часть этих опытов полагают «мысленными». «Мысленный» опыт заключается в получении предсказанных (расчётных) значений функции отклика по линейному уравнению регрессии, что позволяет сократить объем реальных опытов, т.е. увеличить скорость продвижения к экстремуму. При «мысленном эксперименте» перевод координат в кодированную форму и подстановка их в уравнение модели объекта должна подтвердить действительное возрастание у. Обычно реальные опыты в начале движения из базовой точки вдоль направления градиента ставятся через 2-4 мысленных опыта. Другие опыты реализуют на практике, определяя последовательность значений у в направлении градиента. Из опытных данных находят положение локального экстремума (точка М₁ на рис. 5.3).

7. В окрестности локального  экстремума ставят новую серию опытов (ПФЭ или ДФЭ) для определения новых значений коэффициентов уравнения регрессии, и нового направления градиента (направление М₁N на рис. 5.3). В дальнейшем процедура повторяется до достижения следующего локального экстремума и так далее вплоть до определения окрестности координат максимума функции отклика, которая носит название почти стационарной области.

Признаком достижения этой области является статистическая незначимость коэффициентов b_i. В почти стационарной области становятся значимы эффекты взаимодействия и квадратичные эффекты. Здесь требуется переходить от ДФЭ (если он использовался ранее) к ПФЭ, а если и этого окажется недостаточно, перейти от планов эксперимента первого порядка к планам второго порядка.

Очевидно, что в задачах, где требуется определить координаты минимума, а не максимума функции отклика, знаки коэффициентов b_i. следует поменять на обратные. В этом случае движение в факторном пространстве осуществляется по направлению, противоположному вектору градиента.

 

5.3. Симплексный метод планирования

 

Метод симплексного планирования позволяет без предварительного изучения влияния факторов найти область оптимума. В этом методе не требуется вычисления градиента функции отклика, поэтому он относится к безградиентным методам. Для этого используется специальный план эксперимента в виде симплекса.

Симплекс - это простейший выпуклый многогранник, образованный k + 1 вершинами в k-мерном пространстве, которые соединены между собой прямыми линиями. При этом координаты вершин симплекса являются значениями факторов в отдельных опытах. Так, например, в двухфакторном пространстве (на плоскости) k = 2 симплекс - любой треугольник, в трехфакторном (трехмерном пространстве) k =3, симплекс - тетраэдр и т.д.

Симплекс называется правильным или регулярным, если все расстояния между образующими его вершинами равны (равносторонний треугольник, правильный тетраэдр и др.).

После построения исходного симплекса  и проведения опытов при значениях факторов, соответствующих координатам его вершин, анализируют результаты и выбирают вершину симплекса, в которой получено наименьшее (наихудшее) значение функции отклика. Для движения к оптимуму необходимо поставить опыт в новой точке, являющейся зеркальным отображением точки с наихудшим (минимальным) результатом относительно противоположной грани симплекса. На рис. 5.4 представлено геометрическое изображение симплекс-метода для двумерного случая k =2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.5.4. Схема движения к точке оптимума симплексным

методом

 

выводы  по главе 5

1. Поисковые методы оптимизации, где шаговое варьирование факторами производится целенаправленно по определенному плану, требуют значительно меньшего числа опытов и быстрее приводят к цели.

2. Признаком достижения стационарной области является статистическая незначимость коэффициентов b_i.

3. Движение в факторном пространстве осуществляется по направлению, противоположному вектору градиента.

4.  Для движения по градиенту необходимо изменять факторы пропорционально их коэффициентам регрессии и в сторону, соответствующую знаку коэффициента.

5. Метод симплексного планирования позволяет без предварительного изучения влияния факторов найти область оптимума.

 

контрольные вопросы

1. Что означает и с какой целью проводится экстремальный эксперимент?

2. Какие вопросы решает оптимизация?

3. В чём заключается  смысл метода покоординатной  оптимизации, его достоинства и недостатки

4. Что отличает метод  крутого восхождения, и каковы  его этапы?

5. В чём заключается основное преимущество симплексного метода оптимизации?

6. Что такое мысленный эксперимент?

7. Что такое симплекс?

8. Как выбрать факторы  для метода крутого восхождения?

9. Что является признаком  достижения почти стационарной  области?

10. Возможно ли решения  оптимизационной задачи без экспериментального движения по поверхности отклика?

 

6. Техника экспериментальных измерений.  Масштаб научного эксперимента

6.1. ОСНОВЫ  ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН и приборной базы

 

Измерение представляет собой информационный процесс, результатом которого является получение измерительной информации. Измерительная информация представляется в числовой форме и в дальнейшем используется оператором или автоматизированной системой. Объектом измерения является физическая величина, например масса, размер, объём, оптическая плотность, давление, температура, и т.п. Для получения измерительной информации необходимо сравнить измеряемую величину с физически однородной ей величиной известного размера.

С учетом того, что метод  измерений представляет собой совокупность приемов использования принципов и средств измерений, различают два метода измерений: метод непосредственной оценки и метод сравнения с мерой.

Классификационным признаком  в таком разделении методов измерений  является наличие или отсутствие при измерениях меры.

Прибор прямого действия – измерительный прибор, в котором сигнал измерительной информации движется в одном направлении, а именно с входа на выход.

Метод сравнения с  мерой – метод измерения, в  котором измеряемую величину сравнивают с величиной, воспроизводимой мерой.

Методы сравнения в зависимости от наличия или отсутствия при сравнении разности между измеряемой величиной и величиной, воспроизводимой мерой, подразделяют на нулевой и дифференциальный.

Нулевой метод – это  метод сравнения с мерой, в  котором результирующий эффект воздействия величин на прибор сравнения доводят до нуля (прибор сравнения, или компаратор, - измерительный прибор, предназначенный для сравнения измеряемой величины с величиной, значение которой известно).

Дифференциальный метод  – это метод сравнения с  мерой, в котором на измерительный прибор воздействует разность измеряемой величины и известной величины, воспроизводимой мерой. Этот метод позволяет получать результаты измерений с высокой точностью даже в случае применения относительно неточных измерительных приборов, если с большой точностью воспроизводится известная величина.