Организация и математическое планирование эксперимента

 

Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии применяется метод наименьших квадратов. Для этого необходимо составить функцию рассогласования, продифференцировать её по коэффициентам, что позволяет получить систему нормальных уравнений, решение которых приводит к простым расчётным уравнениям для вычисления коэффициентов регрессии:

 

 

 

Учитывая, что x₁, x₂, x₃ принимают только значения +1 и

–1, получим развернутые  формулы для расчета коэффициентов регрессии для рассматриваемого примера:

 

 

 

 

 

Матрица планирования для  трех факторов строится по следующему правилу:

1. составляется матрица ПФЭ для k=2, а затем она переписывается вниз в такой же последовательности.

2. Третий фактор в первой части матрицы записывается на нижнем уровне, а во второй части на верхнем уровне.

С помощью этого правила  можно записать матицу ПФЭ для  любого числа факторов.

С ростом числа переменных количество опытов в ПФЭ быстро возрастает. В то же время количество коэффициентов в уравнении регрессии, подлежащих определению, не возрастает столь быстро. Для их определения можно использовать так называемые дробные реплики от ПФЭ, т.е. 1/2, 1/4, и 1/8 часть от ПФЭ. Дробные реплики мы можем использовать, если мы хотим ограничиться линейным приближением, заранее предполагая, что эффектами взаимного влияния факторов можно пренебречь.

Если эффекты парного  взаимодействия незначимы, то имеется возможность создать линейную модель на основании меньшего числа опытов. Для обозначения дробных реплик полного факторного эксперимента, в которых р линейных эффектов приравнены в эффектам взаимодействия, удобно пользоваться условным обозначением 2^k – р, где k – общее число факторов. Матрица планирования табл.5 при замене х₁х₂ на х₃ получит обозначение 2^3 – 1 и будет являться полурепликой от полного факторного эксперимента для трех факторов с числом опытов 8.

При построении полуреплики 2^3 – 1 существует всего две возможности: приравнять х₃ к +х₁х₂ или к –х₁х₂, поэтому есть только две полуреплики 2^3 – 1 (табл. 4.2).

Табл. 4.2

Две полуреплики 2^3-1от ПФЭ 2³

х3 = +х1х2					х3 = –х1х2
Номер опыта	х1	х2	х3	х1х2х3	Номер опыта	х1	х2	х3	х1х2х3
1	+	+	+	+	1	+	+	-	-
2	-	-	+	+	2	-	-	-	-
3	+	-	-	+	3	+	-	+	-
4	-	+	-	+	4	-	+	+	-

 

Реализовав соответствующий  эксперимент в рамках одной из полуреплик имеется возможность вычислить три коэффициента, устанавливающих линейную связь параметра с тремя независимыми факторами.

Поскольку каждый фактор, кроме х₀, варьируется на двух уровнях +1 и –1, вычисления сводятся к приписыванию столбцу y знаков, соответствующих фактору столбца, и алгебраическому сложению полученных значений.

Проверка значимости коэффициентов проводится построением доверительного интервала

Db_j = ±tS{b_j} ,

где t – табличное значение критерия Стьюдента при выбранном уровне значимости f₁ и числе степеней свободы f₂ = n – 1, с которым определялась дисперсия функции S²{y};

S{b_j} – квадратичная ошибка коэффициента регрессии,

                                       S{b_j} =

Дисперсия коэффициента регрессии 

                                       

где S²(y) – дисперсия параметра (дисперсия воспроизводимости), определяемая проведением параллельных опытов на нулевом уровне факторов, а затем рассчитываемая по формуле

 

 

 

где n – число параллельных опытов; ‾y – среднее значение функции в этих опытах; у_q – текущее значение функции.

Если абсолютное значение коэффициента больше, чем доверительный интервал, то коэффициент значим; в противном случае его надо исключить из уравнения регрессии, а оставшиеся коэффициенты рассчитать заново.

Проверка адекватности проводится с целью оценки пригодности полученной модели для описания реального процесса и заключается в расчете F-критерия Фишера и его сравнении с табличным значением при заданном числе степеней свободы и уровне значимости. Расчет F-критерия Фишера выполняется по формуле

                                        

 

где: S_ад² – дисперсия адекватности, равная остаточной сумме квадратов, деленной на число степеней свободы.

Дисперсия адекватности составляет

 

 

 

 

где f₁ – число степеней свободы, вычисляемое как разность между числом опытов в матрице планирования и числом независимых коэффициентов, вычисленных по результатам этих опытов; – экспериментальное значение параметра (функции) в i-й строке матрицы; – значение функции, предсказанное по уравнению.

Модель адекватна, если вычисленное значение F-критерия меньше его табличного значения.

Значения критерия Фишера при 5-процентном уровне значимости отыскиваются по табл. 4.3 на пересечении столбцов, связанных с числом степеней свободы дисперсии адекватности f₁, и строк, связанных с числом степеней свободы дисперсии функции f₂ при вычислении дисперсии воспроизводимости.

При отсутствии степеней свободы, необходимых для проверки адекватности по F-критерию, оценка точности модели может быть выполнена путем расчета средней квадратичной ошибки по формуле

 

 

Табл. 4.3

Распределение F-критерия Фишера при 5-процентном уровне значимости

f2	f1
	1	2	3	4	5
1	164,4	199,5	215,7	224,6	230,2
2	18,5	19,2	19,2	19,3	19,3
3	10,1	9,6	9,3	9,1	9,0
4	7,7	6,9	6,6	6,4	6,3
5	6,6	5,8	5,4	5,2	5,1

 

В области факторного пространства, в которой линейная модель становится неадекватной, доминирующим является взаимодействие факторов. Для адекватного описания этой области факторного пространства необходимо использовать нелинейные полиномы, поскольку функция отклика в этой области часто имеет экстремумы. Эту область называют обычно почти стационарной. Для описания этой области применяют обычно полиномы 2-го порядка. Это связано с тем, что поверхности 2-го порядка легко поддаются систематизации и определению экстремума.

 Близость почти стационарной точки  можно установить, если поставить  дополнительно к факторному плану 2^k или 2^k-p опыты в центре плана (x₁=0, x₂=0,……x_k=0) и вычислить среднее значение y₀ , которое является оценкой для свободного члена уравнения регрессии. Свободный член b₀, подсчитываемый в факторном уравнении по формуле

 

 

 

является совместной оценкой для свободного члена  и суммы квадратичных членов, т.е.

 

Поэтому разность

                  

может служить мерой кривизны поверхности отклика. Если разность b₀ - y₀ превышает ошибку эксперимента и полученное уравнение регрессии неадекватно, следует применять для описания процесса полиномы 2-го порядка.

Для описания такой поверхности  отклика нужно иметь систему  планирования, в которой каждая переменная будет принимать хотя бы три разных значения. Трехуровневый план, в котором реализованы все возможные комбинации, представляет собой ПФЭ типа 3^k, требует слишком большого числа опытов, намного превышающего число определяемых коэффициентов. Например, в таблице приведено сопоставление числа опытов полного факторного эксперимента и число определяемых коэффициентов:

Табл. 4.4

Число опытов для ПФЭ при различном  числе факторов

k	2	3	4	5	6
N	9	27	81	243	729
Число коэффициентов	6	10	15	21	28

 

Сократить число опытов можно, если воспользоваться так называемыми композиционными планами, предложенными Боксом и Уилсоном в 1951 году. Такое планирование получается путем добавления некоторого количества специально расположенных точек к ядру плана, образованного планированием для линейного приближения. Ядро такого плана составляет ПФЭ 2^k при k < 4 или полуреплику от него при k > 4. Возможность использования в качестве ядра плана полуреплики при k > 4 обусловлена тем, что уже полуреплика обеспечивает получение несмещенных оценок  для линейных эффектов и эффектов парных взаимодействий.

Рассмотрим составление матрицы планирования 2-го порядка для случая, когда k = 2. Полный факторный эксперимент типа 2² при планировании первого порядка представляет собой четыре опыта, поставленные в вершинах квадрата (рис. 4.4)

Пятый опыт ставится в  центре плана (x₁=0, x₂=0) для оценки кривизны поверхности. Если разница между значением выхода в нулевой точке и величиной коэффициента b₀ оказывается существенной и линейного приближения недостаточно, то:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.4.    Построение композиционного плана при k=2.

 

1. дополнительно ставят  еще 4 опыта в так называемых  звездных точках с координатами ( ), ( ), ( ), ( );

2. увеличивают, если  необходимо, количество опытов в нулевой точке.

Общее число опытов при k факторах при композиционном планировании буде равно:

N = 2^k + 2k + n₀.

Такое планирование будет  содержать значительно меньшее  число опытов, чем ПФЭ типа 3^k. Если мы положим k = 3 и ограничимся тремя опытами в центре плана n₀ = 3, то общее число опытов будет

N = 2³ + 2∙3 + 3 = 17,

что заметно меньше, чем  при использовании ПФЭ типа k³ = 3³ = 27.

Для использования планов таково вида необходимо воспользоваться специальной литературой по планированию экспериментов, рекомендованной для самостоятельной работы в составе данного лекционного курса.

 

ВЫВОДЫ  ПО ГЛАВЕ 4

1. Недостатком классического регрессионного анализа является корреляция между коэффициентами и необходимость большого числа опытов для определения коэффициентов регрессии и их значимости.

2. При планировании экстремальных экспериментов кроме аппроксимации функции отклика (построении эмпирической зависимости) попутно можно решить порой более важные для исследования задачи

3. При отсутствии степеней свободы, необходимых для проверки адекватности по F-критерию, оценка точности модели может быть выполнена путем расчета средней квадратичной ошибки.

4.  Для описания такой поверхности отклика нужно иметь систему  планирования, в которой каждая переменная будет принимать хотя бы три разных значения.

5. В области факторного пространства, в которой линейная модель становится неадекватной, доминирующим является взаимодействие факторов.

 

Контрольные вопросы

1. Что такое полный факторный эксперимент и чем он отличается от дробного факторного эксперимента?

2. В чём заключается основное преимущество однофакторного эксперимента?

3. За счёт чего возможно уменьшение числа опытов при проведении экспериментальных исследований?

4. Что такое двухуровневый эксперимент и в чём его преимущества и недостатки по сравнению с многоуровневыми исследованиями?

5. В какой форме удобнее всего представлять результаты многофакторных исследований?

6. Что такое физическое моделирование процесса?

7. В чём заключается смысл математического моделирования?

8. Какое значение имеет экспериментальное исследование в процессе моделирования объекта?

9. Какие основные задачи решает дисперсионный анализ результатов?

10. Что является целью корреляционного анализа?

11. Что такое статистическая модель объекта?

12. В каких случаях необходимо использование планов второго порядка ?

13. Что характеризует  почти стационарную область?

14. С какой целью  используется критерий Стьюдента  при корреляционном анализе?

15. Каково назначение  критерия Фишера и что он  выражает?

 

 

5. Решение задачи

оптимизации технологических параметров

 

Во многих случаях  инженерной практики перед исследователем возникает задача не только выявления характера связи между двумя или несколькими рядами наблюдений, но и нахождения таких численных значений факторов, при которых отклик (выходной параметр) достигает своего экстремального значения (максимума или минимума). Эксперимент, решающий эту задачу, называется экстремальным. В этом случае задача сводится к оптимизационной и формулируется следующим образом: требуется определить такие координаты экстремальной точки (х₁*, х₂*...., x_к*) поверхности отклика у = f(x₁, x₂, ..., x_к), в которой она максимальна (минимальна): у_max = f(х₁*, х₂*...., x_к*).