Организация и математическое планирование эксперимента

К требованиям, предъявляемым  при планировании активного эксперимента, можно отнести степень точности и надежности результатов, полученных после проведения эксперимента, сроки и средства, имеющиеся в распоряжении исследователя, и т.д.

Целью активного эксперимента может быть либо определение функции отклика в виде

                                  M_y = f(x_i) + ε_δ,                                (2.3)

либо поиск такого сочетания уровней управляемых  факторов x_i при котором достигается оптимальное (экстремальное - минимальное или максимальное) значение функции отклика. В этом последнем случае эксперимент носит еще название поискового (экстремального) эксперимента.

Например, если в случае с разрушением проволоки мы бы поставили перед собой целью найти такое сочетание температуры отжига и скорости охлаждения, при которых пластичность металла была бы максимальной, то наш эксперимент стал бы поисковым.

И наконец, по условиям проведения различают лабораторный и промышленный эксперименты.

Лабораторный  эксперимент. В лаборатории меньше влияние случайных погрешностей, обеспечивается большая «стерильность» условий проведения опытов, в большинстве случаев осуществляется и более тщательная подготовка, одним словом, выше «культура эксперимента». Как правило, в лабораторных условиях экспериментатор может воспроизвести опыт «одинаково» значительно лучше, чем в промышленности. Это означает, что при прочих равных условиях для установления некоторого факта на заводе потребуется выполнить значительно больше опытов, чем в лаборатории. Другое важное отличие - это большая возможность варьировать (изменять) уровни факторов. Когда в лаборатории исследуется химическая реакция, то температуру можно менять по желанию в широких пределах, а в металлургических печах, напротив, если ее и можно менять, то в значительно более узком диапазоне и с большей осторожностью.

Промышленный  эксперимент. В промышленных условиях обеспечить условия лабораторного эксперимента значительно труднее. Усложняются измерения и сбор информации, значительно большее влияние на объект исследования и измерительные приборы оказывают различного рода помехи (резко возрастает число неконтролируемых факторов), поэтому в промышленном эксперименте особенно необходимо использовать специальные статистические методы обработки результатов. Кроме того, на реальном действующем производстве всегда желательно получить наиболее достоверные результаты по возможно меньшему числу измерений.

 

 

 

ВЫВОДЫ  ПО ГЛАВЕ 2

1.  Современные методы планирования эксперимента и обработки его результатов, разработанные на основе теории вероятностей и математической статистики, позволяют существенно (зачастую в несколько раз) сократить число необходимых для проведения опытов.

2. Качественный эксперимент устанавливает только сам факт существования какого-либо явления, но при этом не дает никаких количественных характеристик объекта исследования.

3. При пассивном эксперименте исследователь не имеет возможность задать уровень ни одного из факторов, то при проведении опытов ему остается только наблюдать за явлением и регистрировать результаты.

4.  В лабораторных условиях экспериментатор может воспроизвести опыт «одинаково» значительно лучше, чем в промышленности.

5. В промышленном эксперименте особенно необходимо использовать специальные статистические методы обработки результатов.

Контрольные вопросы

1. Что такое эксперимент?  Какова его роль в инженерной  практике?

2. Какие общие черты имеют научные методы исследований для изучения закономерностей различных процессов и явлений в промышленности?

3. Приведите классификации видов экспериментальных исследований, исходя из цели проведения эксперимента и формы представления результатов, а также в зависимости от условий его реализации.

4. В чем заключаются принципиальные отличия активного эксперимента от пассивного?

5. Поясните преимущества и недостатки лабораторного и промышленного эксперимента.

6. В чем отличие  количественного и качественного  экспериментов?

7. Дайте определения  следующим терминам: опыт, фактор, уровень фактора, отклик, функция отклика, план и планирование эксперимента.

 

3. Экспериментальные иССЛЕДОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ БАЗОВЫХ ЗАКОНОВ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

3.1. Принципы  математического моделирования

 

Математическое  моделирование применяется в тех случаях, когда физическая природа процессов, происходящих в модели и в объекте различна, но оказываются одинаковыми уравнения, описывающие состояние и процессы в реальных системах и в модели.

Например, перенос вещества описывается законом Фика:

                                                                             (3.1)

Перенос тепла описывается уравнением Фурье:

                                                                           (3.2)

Перенос электричества описывается  законом Ома:

                                                                            (3.3)

Все эти три уравнения  имеют одинаковую структуру, они  состоят из двух сомножителей, первый из которых является коэффициентом пропорциональности данного процесса, а второй является величиной градиента концентрации (с) температуры (Т), или напряжения (U) в направлении потока. Уравнения (3.1 – 3.3) являются математической моделью этих трех процессов, описывают их основные свойства – а именно, способность к переносу различных субстанций в поле распределения соответствующей величины в пространстве. Эти три процесса имеют одинаковую математическую модель и являются изоморфными. Каждое из трех рассмотренных явлений может быть моделью для исследований процессов переноса, описываемых моделью типа (3.1 – 3.3). На этом основании можно, например, исследовать закономерности распространения вещества путем диффузии, исследуя закономерности распространения электрического тока в электропроводящей среде. Такой метод называется методом прямой аналогии. Он использовался при моделировании процессов на аналоговых вычислительных машинах. Метод прямой аналогии несет в себе черты подобия в узком смысле. При моделировании сложных объектов создание таких аналоговых моделей становится сложным, а сами модели становятся громоздкими и трудно реализуемыми, особенно для нелинейных систем.

Основополагающим в моделировании является принцип изоморфизма: если две системы изоморфны, то каждую из них можно считать моделью другой. Однако так как модели отражают не все стороны явления или процесса, а только наиболее существенные с точки зрения исследователя, то и системы являются не полностью изоморфными, а только частично, по ограниченному объему свойств и характеристик. Такое неполное соответствие называют гомоморфизмом. Гомоморфизм также предполагает однозначное соответствие между объектами, но это соответствие не взаимно. Из гомоморфных объектов один обязательно моделируемый («натура»), а второй – модель. Их нельзя поменять местами, в отличие от изоморфных объектов, рис. 3.1.

При моделировании кибернетических  систем можно соблюдать два вида подобия:

1. функциональное – совпадение функций систем в одинаковых условиях;

2. динамическое – совпадение между движением модели  и объекта, т.е. между последовательно изменяющимися состояниями модели и объекта.

Для различных целей моделирования  объекту можно поставить в соответствие разные гомоморфные модели.

 

Рис.3.1. Сопоставление изоморфных систем

 

Пусть мы имеем две  системы:

                                           (3.4)

т.е. соответственно значения компонентов вектора входных переменных систем N и M, а t_N и t_M темп протекания процессов в системах N и M

Если реакции этих систем также  одинаковы:

                                             (3.5)

а течение времени в модели совпадает  с натуральным:

                                                          (3.6)

то системы M и N  изоморфны. Но условия (3.4 – 3.6) очень «жесткие». Для их выполнения требуется, чтобы множества переменных состояния X и Y, совпадали в модели и в натуре, т.е. они должны включать все возможные в реальной системе воздействия и реакции на них. Темпы развития процессов в системах N и M должны совпадать. Поэтому всякий реальный объект является строго изоморфным только самому себе. Моделирование возможно только при упрощении условий (3.4 – 3.6). Прежде всего, необходимо уменьшить число компонентов у векторов X_M и Y_M в модели по сравнению с моделируемым объектом. Это достигается тем, что в модели воспроизводятся не все свойства объекта, а только основные. Учитываются разные темпы протекания процессов в модели и в объекте. Это приводит к тому, что условия (3.4 – 3.6) могут быть записаны следующим образом:

 

                                              (3.7)

о                                                                      (3.8)

где: r и с – коэффициенты пересчета масштаба времени. Введение масштабных коэффициентов времени позволяет изменить в модели темпы протекания процессов и сделать их более удобными для детального исследования. Наконец, условие (3.5) иногда целесообразно изменить следующим образом для удобства измерений на модели:

                                                (3.9)

где: K_j – множители изменения масштаба реакций системы на модели по сравнению с реакциями натуры; аналогичные изменения можно ввести в условие (3.7).

Системы N и M, отвечающие условиям (3.7)-(3.9), однозначно соответствуют друг другу, но это соответствие не взаимно. Система N (натура) всегда богаче по содержанию, чем система М (модель). Поэтому эти системы не изоморфны, но гомоморфны друг другу. Отсюда следуют следствия:

Следствие 1. Из того, что М есть модель N, не следует, что N моделирует М.

Следствие 2. Сходство модели с оригиналом всегда неполное.

Следствие 3. Реальной системе на разных этапах ее исследования можно поставить в соответствие разные гомоморфные модели.

Используя полученные следствия  и полученные выше соотношения, можно проводить разработку модели объекта и использовать ее для исследования поведения объекта на модели. В этом случае полученные результаты будут описывать поведение объекта с точностью, обеспечиваемой правильностью сделанных допущений.

 

3.2. Информационная основа и этапы математического моделирвания

 

В зависимости от источника  информации, используемого при построении математической модели, различают физико-химические модели, статистические, теоретические и эмпирические модели, рис. 3.2. В первом случае за основу берут физико-химические закономерности моделируемых процессов, например в виде уравнений баланса или кинетических уравнений превращений вещества.

 

 

Рис. 3.2. Источники информации для построения математических моделей

 

Построение теоретических моделей сопряжено с проведением обширных и длительных исследований, поскольку необходимо выяснить природу микропроцессов, протекающих в объекте, и описать их математически. Как правило, модели процессов представляют в виде сложных систем уравнений (системы алгебраических, обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или уравнений в частных производных). Они позволяют очень точно описать процессы, происходящие в объекте, и допускают экстраполяцию в точки факторного пространства, в которых невозможно непосредственное наблюдение этих процессов.

Статистические модели получают в результате статистической обработки экспериментальных данных, собранных на исследуемом объекте. Структура статистической модели может выбираться относительно произвольно. Соответствие модели объекту ограничивается лишь количественным аспектом.

Необходимость использования метода математического моделирования определяется тем, что непосредственно исследовать многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) или вовсе невозможно, или это исследование требует много времени и средств. Процесс моделирования включает три элемента:

1. субъект (исследователь);

2. объект исследования;

3. модель, характеризующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Предположим, что имеется некоторый объект А, или что его необходимо создать. Мы конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном мире другой объект В - модель объекта А. Процесс моделирования включает четыре этапа.