Математическая модель финансовых потоков страховой компании

 

Рассчитаем параметры  уравнения парной регрессии.

Для удобства вычислений составим следующую таблицу:

1	637393,58	10673,35	6803124767,09	406270575825,22	113920400,22	818017,55	-180623,97	32625019274,04	28,33790262
2	876726,60	1574,88	1380739187,81	768649531147,56	2480247,01	817412,23	59314,37	3518194376,11	6,765435091
3	792157,40	403291,00	319469950003,40	627513346374,76	162643630681,00	844138,40	-51981,00	2702024266,47	6,561953356
4	645385,26	1500	968077890	416522133825,27	2250000	817307,45	-171922,19	29557240859,16	26,6386924
5	850302,26	7173,81	6099906855,81	723013933361,11	51463549,92	817784,73	32517,53	1057389907,79	3,82423214
6	917576,19	49061,42	45017590839,59	841946064454,92	2407022932,42	820571,51	97004,68	9409907975,92	10,57183929
7	875443,21	278789,03	244063963335,99	766400813935,10	77723323248,34	835855,28	39587,93	1567203831,50	4,522043791
8	742700,54	437175,70	324690628464,88	551604092116,29	191122592670,49	846392,75	-103692,21	10752073944,53	13,96150967
9	880798,85	3728,77	3284296327,91	775806614161,32	13903725,71	817555,53	63243,32	3999717623,22	7,180222906
10	756614,25	4756,40	3598760018,70	572465123303,06	22623340,96	817623,90	-61009,65	3722177079,63	8,063507584
11	937745,44	5481,00	5139782756,64	879366510240,79	30041361,00	817672,11	120073,33	14417605763,80	12,80447015
12	996549,86	326988,61	325860453517,10	993111623466,02	106921551069,73	839062,00	157487,86	24802425387,66	15,80330942
сумма	9909393,44	1528693,97	1285409196074,92	8322670362211,42	541052553226,81			138130980289,83	145,0351184
ср. знач	825782,79	127391,16	107117433006,24	693555863517,62	45087712768,90			11510915024,15	12,08625987

 

Рассчитаем параметры  уравнения: по формулам:

, , где , , , .

По формулам находим, что , . Получили уравнение: . Т.е. с увеличением страховых выплат на 1000 руб., страховые платежи увеличиваются на 67 руб.

3. Уравнение линейной  регрессии всегда дополняется  показателем тесноты связи –  линейным коэффициентом корреляции  :

.

Данный коэффициент показывает, что связь существует, но она незначительная.

Для оценки качества подбора  линейной функции рассчитывается квадрат  линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

,

где - остаточная дисперсия, - общая дисперсия переменной .

Соответственно величина характеризует долю дисперсии , вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов.

Коэффициент детерминации , показывает, что уравнением регрессии объясняется 1,09% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится большая часть дисперсии результативного признака – 98,9 %.

4. Коэффициент эластичности  показывает, на сколько процентов  измениться в среднем результат,  если фактор изменится на 1%. Формула  для расчета коэффициента эластичности  имеет вид:

.

Так как коэффициент эластичности не является постоянной величиной, а  зависит от соответствующего значения фактора  , то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности:

.

Для исследуемой модели . Т.е. при увеличении страхового платежа на 1% от его среднего значения поступления увеличиваются на 0,0103 % от своего среднего значения.

5. Проверить значимость  уравнения регрессии – значит  установить, соответствует ли математическая  модель, выражающая зависимость  между переменными, экспериментальным  данным и достаточно ли включенных  в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания  зависимой переменной.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных  отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации:

. 

Средняя ошибка аппроксимации  не должна превышать 8–10%.

Для модели средняя ошибка аппроксимации составляет: , что недопустимо велико.

6. Оценка значимости уравнения  регрессии в целом производится  на основе  -критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как самостоятельный инструмент статистического анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели.

Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов  отклонений переменной от среднего значения раскладывается на две части – «объясненную» и «необъясненную»:

,

где – общая сумма квадратов отклонений; – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений); – остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов.

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии  к сравнимому виду. Сопоставляя факторную  и остаточную дисперсии в расчете  на одну степень свободы, получим  величину -критерия Фишера:

.

Т.е. для нашего случая получаем следующую таблицу дисперсионного анализа:

Таблица 3

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень  свободы
Общая	139663833151,84	11	12696712105
Факторная	1532852862,01	1	1532852862
Остаточная	138130980289,83	10	13813098029

А величина -критерия:

Величина  -критерия связана с коэффициентом детерминации , и ее можно рассчитать по следующей формуле:

.

Табличное значение . Так как , то статистическая значимость уравнения в целом не признается.

В парной линейной регрессии  оценивается значимость не только уравнения  в целом, но и отдельных его  параметров. С этой целью по каждому  из параметров определяется его стандартная  ошибка: и .

Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

,

где – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Величина стандартной  ошибки совместно с  -распределением Стьюдента при степенях свободы применяется для проверки существенности коэффициента регрессии.

Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной  ошибкой, т.е. определяется фактическое  значение -критерия Стьюдента: которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы .

Стандартная ошибка параметра  определяется по формуле:

.

Вычисляется -критерий: , его величина сравнивается с табличным значением при степенях свободы.

В результате получаем:

;

Сравнивая полученные критерии с табличным значением 

t(0,05;10)= 2,23, можно сделать вывод, что статистически значимым является только коэффициент (), а коэффициент является статистически незначимым коэффициентом модели ().

7. Для расчета доверительного  интервала параметров уравнения  определяем предельную ошибку  для каждого показателя:

,

Формулы для расчета доверительных  интервалов имеют следующий вид:

, ,

, ,

Если в границы интервала  попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый  параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное и отрицательное значение.

,

Таким образом можно сделать вывод, что свободный коэффициент регрессии равен нулю, так как его границы лежат по разные стороны от нуля.

 

Нелинейная парная регрессия

1а. Среди нелинейных  моделей наиболее часто используется  степенная функция  , которая приводится к линейному виду путем логарифмирования:

;

;

,

Таблица 4

1	13,365143	9,275505259	123,96845	178,62704	86,034998	809722,47	-172328,89	29697246820,41	0,27
2	13,68395	7,361934358	100,74035	187,2505	54,198077	787434,49	89292,112	7973081187,12	0,10
3	13,582515	12,90741366	175,31514	184,48472	166,60133	853774,11	-61616,709	3796618797,44	0,08
4	13,377603	7,313220387	97,833357	178,96025	53,483192	786875,18	-141489,92	20019397786,47	0,22
5	13,653347	8,878192173	121,21704	186,41389	78,822296	805043,53	45258,735	2048353075,54	0,05
6	13,729491	10,80082826	148,28987	188,49892	116,65789	827939,39	89636,799	8034755701,19	0,10
7	13,682486	12,53821061	171,55389	187,21041	157,20673	849188,72	26254,491	689298271,54	0,03
8	13,518048	12,98809045	175,57363	182,73763	168,69049	854779,38	-112078,84	12561666724,58	0,15
9	13,688585	8,2238337	112,57264	187,37735	67,631441	797396,35	83402,499	6955976834,49	0,09
10	13,536609	8,467246359	114,6178	183,23978	71,694261	800232,48	-43618,226	1902549658,37	0,06
11	13,751234	8,609042845	118,38496	189,09643	74,115619	801889,27	135856,17	18456899779,53	0,14
12	13,812054	12,69768062	175,38106	190,77285	161,23109	851166,26	145383,6	21136391369,28	0,15
сумма	163,38106	120,0611987	1635,4482	2224,6698	1256,3674			133272236005,93	1,44
ср. знач	13,615089	10,00509989	136,28735	185,38915	104,69728			11106019667,16	0,12