Математическая модель финансовых потоков страховой компании

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных  отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации:

.                      (19)

Средняя ошибка аппроксимации  не должна превышать 8–10%.

Оценка значимости уравнения  регрессии в целом производится на основе - критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как самостоятельный инструмент статистического анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели.

Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов  отклонений переменной от среднего значения раскладывается на две части – «объясненную» и «необъясненную»:

,                                                  (20)

где – общая сумма квадратов отклонений;

 – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная  сумма квадратов отклонений);

 – остаточная сумма квадратов  отклонений, характеризующая влияние  неучтенных в модели факторов.

Схема дисперсионного анализа  имеет вид, представленный в таблице 1 ( – число наблюдений, – число параметров при переменной ).

Таблица 1

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень  свободы
Общая
Факторная
Остаточная

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии  к сравнимому виду. Сопоставляя факторную  и остаточную дисперсии в расчете  на одну степень свободы, получим  величину - критерия Фишера:

.               (21)

Фактическое значение -критерия Фишера (20) сравнивается с табличным значением при уровне значимости и степенях свободы и . При этом, если фактическое значение -критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Для парной линейной регрессии  , поэтому

.                    (22)

Величина  - критерия связана с коэффициентом детерминации , и ее можно рассчитать по следующей формуле:

.             (23)

В парной линейной регрессии  оценивается значимость не только уравнения  в целом, но и отдельных его  параметров.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

   

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

   (24)

  (25)

         (26)

Величина стандартной  ошибки совместно с  -распределением Стьюдента при степенях свободы применяется для проверки существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительного интервала.

Для оценки существенности коэффициента регрессии определяется фактическое значение -критерия Стьюдента, которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы .

Если  t_табл< t_фак, то a, b и r_xy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора x. Если  t_табл> t_фак, то признается случайная природа формирования   a, b или r_xy.

Существует связь между  -критерием Стьюдента и -критерием Фишера:

.         (27)

Для расчета доверительного интервала  определяем предельную ошибку D для каждого показателя: 

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

   

 

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя  положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

В прогнозных расчетах по уравнению  регрессии определяется предсказываемое  значение как точечный прогноз при , т.е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения . Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки , т.е. , и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения :

,

где , а – средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения:

                         

.                                                   (28)

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3. Нелинейные модели  парной регрессии

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих  нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например

– полиномы различных степеней –  , ;

– равносторонняя гипербола – ;

– полулогарифмическая функция  –  .

2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например

– степенная – ;

– показательная – ;

– экспоненциальная –  .

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному  виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов. Рассмотрим некоторые функции.

Парабола второй степени  приводится к линейному виду с помощью замены: . В результате приходим к двухфакторному уравнению , оценка параметров которого при помощи МНК приводит к системе следующих нормальных уравнений:

А после обратной замены переменных получим

         (29)

Парабола второй степени  обычно применяется в случаях, когда  для определенного интервала  значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую.

Равносторонняя гипербола  может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива от объема выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, процента прироста заработной платы от уровня безработицы (например, кривая А.В. Филлипса), расходов на непродовольственные товары от доходов или общей суммы расходов (например, кривые Э. Энгеля) и в других случаях. Гипербола приводится к линейному уравнению простой заменой: . Система линейных уравнений при применении МНК будет выглядеть следующим образом:

                     (30)

Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости  , и другие.

Несколько иначе обстоит  дело с регрессиями нелинейными  по оцениваемым параметрам, которые  делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью  соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не приводятся).

К внутренне линейным моделям  относятся, например, степенная функция  –  , показательная – , экспоненциальная – , логистическая – , обратная – .

К внутренне нелинейным моделям  можно, например, отнести следующие  модели: , .

Среди нелинейных моделей  наиболее часто используется степенная  функция  , которая приводится к линейному виду логарифмированием:

;

;

,

где . Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:

а затем потенцированием  находим искомое уравнение.

Широкое использование степенной  функции связано с тем, что  параметр в ней имеет четкое экономическое истолкование – он является коэффициентом эластичности. Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:

.              (31)

Так как для остальных  функций коэффициент эластичности не является постоянной величиной, а  зависит от соответствующего значения фактора  , то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности:

.              (32)

Приведем формулы для  расчета средних коэффициентов  эластичности для наиболее часто  используемых типов уравнений регрессии:

Таблица 2

Вид функции,	Первая производная,	Средний коэффициент эластичности,

Возможны случаи, когда расчет коэффициента эластичности не имеет смысла. Это  происходит тогда, когда для рассматриваемых  признаков бессмысленно определение  изменения в процентах.

Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной зависимости, дополняется показателем  тесноты связи. В данном случае это  индекс корреляции:

,                 (33)

где – общая дисперсия результативного признака ,

 – остаточная дисперсия.

Величина данного показателя находится в пределах: . Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

,                      (34)

т.е. имеет тот же смысл, что и в линейной регрессии; .

Индекс детерминации можно сравнивать с коэффициентом детерминации для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина меньше . А близость этих показателей указывает на то, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию.

Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом  уравнения регрессии по -критерию Фишера:

,                      (35)

где – индекс детерминации,

 – число наблюдений,

 – число параметров при  переменной  .

Фактическое значение -критерия (35) сравнивается с табличным при уровне значимости и числе степеней свободы (для остаточной суммы квадратов) и (для факторной суммы квадратов).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Модель парной регрессии страхования имущества на примере

ООО «Росгосстрах»

Линейная парная регрессия

Изучается зависимость поступлений имущественного страхования (руб.) от страховых платежей (руб.):

№ района	Страховые поступления, руб.	Страховые платежи, руб
1	637393,58	10673,35
2	876726,6	1574,88
3	792157,4	403291
4	645385,26	0
5	850302,26	7173,81
6	917576,19	49061,42
7	875443,21	278789,03
8	742700,54	437175,7
9	880798,85	3728,77
10	756614,25	4756,4
11	937745,44	5481
12	996549,86	326988,61