Научное обоснование нового математического и алгоритмического обеспечения для разработки нового класса математических моделей ЭМС горн

Рис.4 Переходная функция апериодического звена

 

Расхождения между  экспериментальными данными h(t) и теоретическими, определенными по модели, не превышают 8,6%.

Отклонение  между экспериментальными данными  и результатами моделирования можно  вычислить по формуле 

 

δ_max=∆_i/h_max,

 

где

∆_i=│h_экс(t_i)−h_мод(t_i)│.

 

Значение δ_max=8.6% (табл. 1). Для нас это приемлемое отклонение. Для тех случаев, когда необходимо получить меньшее значение δ_max, можно рекомендовать проведение режима параметрической оптимизации.

В программном  пакете «КАЛИСТО» набор поисковых  алгоритмов для решения задач  оптимизации включает алгоритмы:

• Гаусса-Зейделя;
• Розенброка;
• Симплексного метода.

Процедура параметрической  оптимизации осуществляет поиск  и определение параметров передаточной функции, обеспечивающих в заданном диапазоне максимальную близость смоделированной и желаемой характеристик. Для проведения этой процедуры в ПП «КАЛИСТО» необходимо после расчета h(t)_мод ввести в ПК следующую информацию

Время, с	Температура, С°	∆t	∆T	H(t)	∆i	δi
15360	-9,2	0	0	0,00	0,00	0,0%
15600	-9,2	240	0	-0,61	0,61	5,9%
15840	-9,5	480	-0,3	-1,19	0,89	8,6%
16080	-10,2	720	-1	-1,73	0,73	7,1%
16320	-10,8	960	-1,6	-2,25	0,65	6,3%
16560	-11,4	1200	-2,2	-2,73	0,53	5,2%
16800	-11,9	1440	-2,7	-3,19	0,49	4,8%
17040	-12,5	1680	-3,3	-3,63	0,33	3,2%
17280	-12,9	1920	-3,7	-4,04	0,34	3,3%
17520	-13,4	2160	-4,2	-4,42	0,22	2,2%
17760	-13,8	2400	-4,6	-4,79	0,19	1,8%
18000	-14,2	2640	-5	-5,13	0,13	1,3%
18240	-14,5	2880	-5,3	-5,46	0,16	1,5%
18480	-14,8	3120	-5,6	-5,77	0,17	1,6%
18720	-15,2	3360	-6	-6,06	0,06	0,6%
18960	-15,5	3600	-6,3	-6,33	0,03	0,3%
19200	-15,7	3840	-6,5	-6,59	0,09	0,9%
19440	-16	4080	-6,8	-6,84	0,04	0,3%
19680	-16,2	4320	-7	-7,07	0,07	0,7%
19920	-16,5	4560	-7,3	-7,29	0,01	0,1%
20160	-16,7	4800	-7,5	-7,49	0,01	0,1%
20400	-16,9	5040	-7,7	-7,69	0,01	0,1%
20640	-17,1	5280	-7,9	-7,87	0,03	0,3%
20880	-17,2	5520	-8	-8,04	0,04	0,4%
21120	-17,4	5760	-8,2	-8,21	0,01	0,1%
21360	-17,6	6000	-8,4	-8,36	0,04	0,4%
21600	-17,7	6240	-8,5	-8,51	0,01	0,1%
21840	-17,8	6480	-8,6	-8,65	0,05	0,5%
22080	-18	6720	-8,8	-8,78	0,02	0,2%
22320	-18,1	6960	-8,9	-8,90	0,00	0,0%
22560	-18,2	7200	-9	-9,02	0,02	0,2%
22800	-18,3	7440	-9,1	-9,13	0,03	0,3%
23040	-18,4	7680	-9,2	-9,23	0,03	0,3%
23280	-18,5	7920	-9,3	-9,33	0,03	0,3%
23520	-18,6	8160	-9,4	-9,42	0,02	0,2%
23760	-18,7	8400	-9,5	-9,51	0,01	0,1%
24000	-18,8	8640	-9,6	-9,59	0,01	0,1%
24240	-18,8	8880	-9,6	-9,67	0,07	0,7%
24480	-18,9	9120	-9,7	-9,75	0,05	0,4%
24720	-19	9360	-9,8	-9,82	0,02	0,2%
24960	-19,1	9600	-9,9	-9,88	0,02	0,2%
25200	-19,1	9840	-9,9	-9,94	0,04	0,4%
25440	-19,2	10080	-10	-10,00	0,00	0,0%
25680	-19,3	10320	-10,1	-10,06	0,04	0,4%
25920	-19,3	10560	-10,1	-10,11	0,01	0,1%
26160	-19,4	10800	-10,2	-10,16	0,04	0,4%
26400	-19,4	11040	-10,2	-10,21	0,01	0,1%
26640	-19,5	11280	-10,3	-10,25	0,05	0,5%
26880	-19,5	11520	-10,3	-10,29	0,01	0,1%
27120	-19,6	11760	-10,4	-10,33	0,07	0,7%

Таблица 1 –  Результаты расчёта в табличном  виде

Эта модель будет использоваться для построения алгоритмов управления угловой 

скоростью вращения и углом  поворота вала двигателя.

Исключим из (7) переменную . Имеем

 (8)

Следовательно, управляющее  ускорение примет вид

 (9)

Задающим воздействием для  контура угловой скорости является величина . В установившемся режиме обеспечивается , если и коэффициент усиления . Эти параметры должны быть рассчитаны с учетом электромеханических характеристик двигателя.

Параметр  характеризует скорость уменьшения ошибки в соответствии с экспоненциальным законом , где .Величина есть постоянная времени контура угловой скорости. Она должна быть не меньше механической постоянной двигателя. Следовательно

 (10)

От сюда видно, что быстродействие контура угловой  скорости уменьшается с уменьшением  величины . При быстродействие контура предельно.

После определения  параметра  следует рассчитать значение коэффициента усиления контура ускорения. Исходим из уравнения управляемого процесса по угловой скорости, при

 (11)

Согласно принятым обозначениям

 

поэтому частные  производные

 (12)

Расчетное соотношение  для  можно вывести, анализируя динамику контура ускорения. Дифференцируя первое уравнение (11) по времени и подставляя затем в него выражение для из второго уравнения, будем иметь

 (13)

где . Это уравнение описывает процессы в контуре ускорения. Постоянная времени , подставляя выражения для частных производных из (12), этого контура равна

 (14)

Процесс управления угловой  скоростью будет соответствовать  назначенному закону, если быстродействие контура ускорения существенно  выше контура  , т.е. . В свою очередь, величина не может быть назначена произвольно, поскольку управляемый двигатель обладает инерционностью. Нижний предел постоянной времени определяется электрическими свойствами якорной цепи. Действительно из уравнения (6) можно найти

 

Как видно, скорость изменения ускорения определяется электрической постоянной времени  .

 

Рисунок 7.3 –  Статические характеристики АД

 

Температурный датчик, используемый в эксперименте, представляет собой апериодическое звено с передаточной функцией

.

 

Закон управления – пропорционально-интегральный, поэтому 

 

.

 

Передаточная  функция разомкнутой цепи:

 

.

 

Статическая ошибка при пропорционально-интегральном законе регулирования равна 0.

7.2.3 Эквивалентное описание двухфазной  асинхронной машигы

Пусть коэффициент  передачи системы равен  , тогда .

Тогда

 

.

 

Проведем предварительно анализ устойчивости замкнутой системы по критерию Рауса-Гурвица.

Составим характеристический многочлен, который является суммой числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы, приравняем его к нулю:

 

 

Для систем 3-го порядка необходимым  и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения и то, что произведение средних двух коэффициентов многочлена больше произведения крайних. Таким образом, данная замкнутая система устойчива.

Построим асимптотические  ЛЧХ (рис. 7).

Оценим критический коэффициент. Фазовая характеристика пересекает ось  на частоте , поэтому .

Запас устойчивости по фазе порядка 60°. Запас устойчивости по амплитуде стремится к +∞. Это хорошие показатели, поэтому оставим К_с=0.5.

Частота среза  , поэтому ожидаемое время регулирования

 

.

 

Однако, время регулирования  может быть на самом деле в разы меньше, мы лишь оцениваем его порядок.

В контуре управления анализируемые  системы содержат микропроцессорные  устройства, работающие с дискретными  сигналами, т.е. такие системы являются не непрерывными, а дискретно –  непрерывными. Микропроцессорные устройства квантуют непрерывный сигнал и по уровню и по времени. Квантование по уровню происходит потому, что амплитуда дискретного сигнала ограничена некоторой совокупностью значений, определяемой разрядностью микропроцессора. Но квантование по уровню по сравнению с квантованием по времени создает на выходе эффект второго порядка малости, поэтому обычно при рассмотрении динамики системы в первом приближении квантованием по уровню пренебрегают.

Анализируя  влияние квантования сигнала  по времени и сравнивая период дискретизации сигнала и величину постоянных времени объекта управления , можно определенно сказать, что исследуемую систему следует рассматривать как непрерывную, так как > .

Структурная математическая модель непрерывной системы управления термическим оборудованием с пропорциональным законом регулирования показана на рисунке ниже.

Рассчитаем  переходную характеристику замкнутой  САУ с помощью ПП «МОДОС». Для  этого построим в программе модель системы, состоящую из источника сигнала, сумматора, интегратора, упругого и апериодического звеньев с коэффициентами многочленов: для источника - , для сумматора - , , , для интегратора - , , , для упругого звена - , , для апериодического звена - , .

Обозначаем  выходы системы. Схема моделирования  изображена на рис. 8.

Параметры интегрирования: метод Эйлера пропорциональный, время  наблюдения 15с, шаг интегрирования 0,01 с, интервал выдачи данных 0.15с.

Полученная  переходная характеристика показана на рис. 9. Она имеет колебательный  характер. Как и предполагалось, установившаяся ошибка . Время регулирования . Перерегулирование равно 3.8%.

Звено чистого  запаздывания

 

Звено чистого  запаздывания. Это звено без искажения  воспроизводит на выходе входную  величину, как идеальное пропорциональное звено, но с той разницей, что выходная величина запаздывает относительно входной на постоянное время. Уравнение такого звена имеет вид:

 

 где  - время запаздывания.

 

Очевидно, характеристики этого  звена будут:

 

 

Отсюда АФЧХ:

 

 

Передаточная функция:

 

 

В качестве примера звена  можно назвать длинную электрическую  линию без потерь, механический транспортер  и т.д.

По существу, это звено  относится к нелинейным. Однако при  расчетах САУ с такими звеньями можно  применять методы теории линейных систем. Поэтому часто элементы, закон движения которых мало изучен или трудно представим в аналитической форме, после некоторой идеализации представляются в виде звеньев запаздывания.

7.2.5 Анализ структурной схемы  генератор – двигатель

Представленные ниже экспериментальные переходные характеристики объекта h(t) табл.1 с достаточной точностью могут быть аппроксимированы экспоненциальной зависимостью:

 

 

где K₀ – коэффициент передачи, Т₀ – постоянная времени объекта на рис.4.

Такая временная характеристика соответствует линейной математической модели в виде передаточной функции  типового апериодического (инерционного) звена:

 

W₀(p)=

 

с достаточно большой  инерционностью Т₀ = 1000 – 5000 с, которую можно оценить моментом времени с координатой h(T₀) = 0.63 h_уст, где h_уст – установившееся значение h(t) при t→ ∞.

Поскольку то формула (15) всегда дает . В случае реализуется наибольшее быстродействие контура ускорения. Если наряду с этим согласно (10) принимается , то найденные параметры обеспечивают предельное (по физическим возможностям) быстродействие контура обработки угловой скорости. В таком случае по (10) и (15) имеем

Рисунок 7.6 –  Структурная схема генератор  – двигатель

Итак, параметры  алгоритма управления угловой скоростью  вращения вала двигателя рассчитываются по формулам (10) и (15).

В нашем случае контур управления угловой скоростью может быть построен без измерения ускорения . Для этого управляющую функцию необходимо формировать не по (11), а учитывая что

     (16.1)

 и интегрируя  обе части равенства по времени.  В этом случае уравнения замкнутого контура будут

 (17)

Построим теперь алгоритм управления углом поворота вала двигателя(угловым положением). Примем, что контур управления угловой  скоростью синтезирован и его  параметры  расчитываются из условия, чтобы процесс изменения подчинялся (16.1). Получаем, что исходными уравнениями управляемого процесса будут

 (18)

где - угол поворота вала системы, связанного с валом двигателя через редуктор с передаточным отношением . Требуется синтезировать алгоритм управления, который обеспечивает поворот вала двигателя на угол таким образом, чтобы ошибка рассогласования подчинялась кинематическому закону

 (18.1)

Управляющей функцией в данном случае выступает величина , которая является задающим воздействием для контура угловой скорости.

Запишем уравнение (18) в виде

 (19)

Подставим вместо выражение для из (18.1). Получим программную управляющую функцию

и закон управления с обратной связью

 (20)

Подставляя (18) в (20) получим

 (21)

Потребуем, чтобы  решение этого уравнения соответствовало  процессу в эталонной системе

 (22)

где - постоянная времени по регулируемой переменной. Эта величина при проектировании задается. Для наилучшего переходного процесса постоянная времени примерно в 3 раза превосходит величину . Поэтому для расчета параметров , учитывая (21) и (22) будут справедливы соотношения

 (23)

которые представляют собой уравнения относительно . Следовательно, на основании (20) можно записать

 (24)

Проведенное рассмотрение исчерпывает задачу построения алгоритмов управления угловой скоростью и углом поворота вала двигателя. Все необходимые уравнения для последующей работы были построены.

7.2.5 Получение переходных процессов

Для понимания  поведения системы при различных  значениях параметров проведем следующие  эксперименты.

Рассмотрим реакцию системы при разных значениях параметра i.

Рис 3.7 Зависимость угловой скорости от времени при варьирование параметра i

На  REF рис_3_7 h i (цифрами обозначены: 1 - i =10^-2; 2 - i =10^-3; 3 - i =10^-4;). Динамика изменения угла поворота при варьировании параметра iпрактически не изменяется. Из эксперимента видно, что коэффициент передачи редуктора i природным образом влияет на динамику системы, и ,что увеличение коэффициента приводит к увеличению максимальной амплитуды угловой скорости.

Рассмотрим реакцию системы при разных значениях параметра J.

Рис  STYLEREF 1 s 3.8 Зависимость угла поворота от времени при варьирование параметра J

На  REF рис_3_8 h 3.8J (цифрами обозначены: 1 - J =6,2*10^-4,8; 2 - J =6,2*10^-5; 3 - J =6,2*10^-6;). Динамика изменения угловой скорости при варьировании параметра J соответствует динамике изменения угла поворота, в связи с чем здесь не приводится. Из эксперимента видно, что увеличение момента инерции J приводит к уменьшению времени переходного процесса, что соответствует использованной модели, так как в ней применяется блок со значением J^-1.

Также был проведен эксперимент, задачей которого ставилось  достичь наиболее быстрых переходных процессов. Для чего был осуществлен  пересчет следующих переменных