Решение нестандартных задач на уроках математики

- должны быть доступны  по содержанию всем учащимся;

- должны быть интересными  по содержанию;

- для решения нестандартных  задач учащимся должно хватать  знаний, усвоенных ими по программе.

 

 

2.2 Методика формирования  умения решать нестандартные задачи.

   

 

Задача№1.

 - По пустыне медленно идет караван верблюдов, всего их 40. Если пересчитать все горбы у этих верблюдов, то получится 57 горбов. Сколько в этом караване одногорбых верблюдов?

- Сколько горбов  может  быть у верблюдов? 

(их может быть два  или  один)

Давайте каждому верблюду на один горб прикрепим цветок.

- Сколько цветков потребуется?  (40 верблюдов – 40 цветов)

- Сколько верблюдов  останется без цветов?

( Таких будет  57-40=17.  Это вторые горбы двугорбых верблюдов ).

- Сколько двугорбых  верблюдов? (17)

- Сколько одногорбых верблюдов? (40-17=23)

- Каков же ответ задачи? (17 и 23 верблюдов).

 

 

Задача № 2.

   -В гараже стояли легковые машины и мотоциклы с колясками, всех вместе 18. У машин и мотоциклов – 65 колес. Сколько мотоциклов с колясками стояло в гараже, если у машин 4 колеса, а у мотоцикла – 3 колеса?

 Переформулируем задачу. Грабители, пришедшие в гараж,  где стояли 18 машин и мотоциклов с колясками, сняли с каждой машины и  каждого мотоцикла по три колеса  и унесли. Сколько колес осталось  в гараже, если их было 65? Машине или мотоциклу они принадлежат?

- Сколько колес унесли грабители? (3*18=54колес)

- Сколько осталось колес?   (65-54=11)

- Сколько машин было в гараже?

Или

-В гараже стояли 18 легковых  машин и мотоциклов с коляской. У машин и мотоциклов 65 колес. Сколько в гараже мотоциклов, если в каждую коляску положили запасное колесо?

- Сколько стало колес у машин  и мотоциклов вместе?  (4*18=72)

- Сколько запасных колес положили  в каждую коляску?  (72-65= 7)

- Сколько машин в гараже? (18-7=1)

 

 

Задача №3.

  -Для одной лошади и двух коров выдают ежедневно 34 кг сена, а для двух  лошадей и одной коровы  -35 кг сена. Сколько сена выдают одной лошади и сколько одной корове?

 Запишем краткое  условие задачи:

           1 лошади и   2 коров -34кг.

           2 лошадей и   1 коров -35кг.

Можно ли узнать, сколько сена потребуется для 3 лошадей и 3 коров?         (для 3 лошадей и 3 коров  – 34+35=69 кг)

Можно ли узнать, сколько сена потребуется для одной лошади и одной коровы?             (69 : 3 – 23кг)

Сколько  сена потребуется для одной лошади?  (35-23=12кг)

Сколько сена потребуется для одной коровы?  (23 -13 =11кг)

Ответ: 12кг и 11 кг

 

 

Задача№4.

 -Летели гуси: 2 впереди, 1 позади, 1 впереди, 2 позади.

Сколько гусей летело?

- Сколько летело гусей, как сказано  в условии? (2 впереди, 1 позади)

- Изобразите  это точками.

- Что сказано дальше? (1 впереди, 2 позади)

- Изобразите точками.

- Посчитайте то, что у вас  получилось (2 впереди, 1, 1, 2 позади)

- Так говорится в условии? (нет)

- Значит, вы нарисовали гусей  лишних. По вашему рисунку можно сказать, что 2 впереди и 4 позади, или 4 впереди, а 2 позади. А это не по условию. Что же нужно сделать? (убрать 3 последние точки)

- Что получится?

- Так сколько же гусей летело? (3)

 

Задачи № 5.

 -Четыре утенка и пять гусят весят 4кг 100г, пять утят и четыре гусенка весят  4 кг. Сколько весит один утенок?

Переформулируем задачу.

Четыре утенка и пять гусят весят 4кг 100г, пять утят и четыре гусенка весят  4 кг.

-Сколько весят один утенок и один гусенок вместе?

- Сколько весят 9 утят и 9 гусят вместе?

Примените решение вспомогательной задачи для решения основной, зная сколько весят 3 утенка и 3 гусенка вместе?

 

 

Задачи с элементами комбинаторики и на смекалку.

Задача № 6.

 -Марина решила позавтракать в школьном буфете. Изучи меню и ответь, сколькими способами она может выбрать напиток и кондитерское изделие?

 

Напитки	Кондитерские изделия
Чай	Ватрушка
Молоко	Печенье
Компот	Булочка

 

- Давайте предположим, что из  напитков Марина выберет чай. Какое кондитерское изделие она  может подобрать к чаю? (чай – ватрушка, чай – печенье, чай – булка)

- Сколько способов? (3)

- Как будем рассуждать дальше? (Если Марина выберет молоко, то  тоже может выбрать к нему  кондитерское изделие тремя способами)

- А если компот? (тоже 3)

- Как же узнать, сколько способов может Марина использовать, чтобы выбрать себе обед? (3+3+3=9)

- Да, вы правы. Но чтобы нам  было легче решать такую задачу, мы будем использовать графы. Обозначим напитки и кондитерские  изделия точками и соединим  пары тех блюд, которые выберет  Марина.

 

 

 

 

 

 

 

 

     чай                    молоко                    компот

    ватрушка             печенье                  булочка

 

 

     Теперь сосчитаем  количество линий. Их 9. Значит, существует 9 способов выбора блюд.

 

 

 

Задача  № 7.

-Три богатыря – Илья Муромец, Алеша Попович и Добрыня Никитич, защищая от нашествия родную  землю, срубили Змею Горынычу  все 13 голов. Больше всех голов  срубил Илья Муромец, а меньше  всех – Алеша Попович. Сколько  голов мог срубить каждый из них?

- Кто может ответить  на этот вопрос?

(учитель спрашивает  несколько человек – ответы  у всех разные)

- Почему получились  разные ответы? (потому что не  сказано конкретно, сколько голов  срубил хотя бы один из богатырей)

- Давайте попробуем  найти все возможные варианты решения этой задачи. Поможет нам в этом таблица.

 

Богатыри	Возможное число срубленных голов
Алеша Попович	1	1	1	1	2	2	2	2
Добрыня Никитич	2	3	4	5	3	4	5	4
Илья Муромец	10	9	8	7	8	7	6	6

 

- Какое условие мы  обязательно должны соблюдать, решая эту задачу? (Все богатыри срубили разное количество голов, и у Алеши – меньше всех, у Ильи – больше всех)

- Сколько же вариантов  решения имеет данная задача? (8)

Такие задачи называют – задачи с многовариантными решениями.

Составьте свою задачу с многовариантным решением.

           

 

Задача № 8.

  -В битве с трехглавым и треххвостым Змеем Горынычем

Иван-Царевич одним ударом меча может срубить либо одну голову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста. Если срубить одну голову – новая вырастет, если срубить один хвост – два новых вырастут, если срубить два хвоста – голова вырастет, если срубить две головы – ничего не вырастет. Посоветуйте Ивану-Царевичу, как поступить, чтобы он мог срубить Змею все головы и хвосты.

- Что же произойдет, если Иван-Царевич отрубит одну голову? (вырастет новая голова)

- Есть смысл отрубать одну  голову? (нет, ничего не изменится)

- Значит, отрубание одной головы  исключаем  - лишняя трата сил  и времени.

- Что произойдет, если отрубить  один хвост? (вырастут два новых хвоста)

- А если отрубить два хвоста? (вырастет голова)

- А две головы? (ничего не вырастет)

- Итак, мы не можем срубить  одну голову, т. к. при этом ничего  не изменится, опять вырастет  голова. Надо добиться такого  положения, чтобы голов было четное  число, а хвостов – ни одного. Но для этого нужно, чтобы и хвостов было четное число.

- Как же можно добиться нужного  результата?

     1). 1-ый удар: срубить 2 хвоста – станет 4 головы и 1 хвост;

           2-ой  удар: срубить 1 хвост – станет 4 головы  и 2 хвоста;

           3-ий  удар: срубить 1 хвост – станет 4 головы  и 3 хвоста;

         4-ый удар: срубить 1 хвост – станет 4 головы и 4 хвоста;

           5-ый удар: срубить 2 хвоста – станет 5 голов и 2 хвоста;

           6-ой  удар: срубить 2 хвоста – станет 6 голов и 0 хвостов;

           7-ой  удар: срубить 2 головы – станет 4 головы;

           8-ой  удар: срубить 2 головы – станет 2 головы;

           9-ый  удар: срубить 2 головы – станет 0 голов.

     2). 1-ый удар: срубить 2 головы – станет 1 голова и 3 хвоста;

           2-ой  удар: срубить 1 хвост – станет 1 голова  и 4 хвоста;

           3-ий  удар: срубить 1 хвост – станет 1 голова  и 5 хвостов;

           4-ый  удар: срубить 1 хвост – станет 1 голова  и 6 хвостов;

           5-ый  удар: срубить 2 хвоста – станет 2 головы и 4 хвоста;

           6-ой  удар: срубить 2 хвоста – станет 3 головы и 2 хвоста;

           7-ой  удар: срубить 2 хвоста – станет 4 головы;

           8-ой  удар: срубить 2 головы – станет 2 головы;

           9-ый удар: срубить 2 головы – станет 0 голов.

 

 

Задача № 9.

  -В семье четверо детей: Сережа, Ира, Витя и Галя. Им 5, 7, 9 и 11 лет. Сколько лет каждому из них, если один из мальчиков ходит в детский сад, Ира моложе Сережи, а сумма лет девочек делится на 3?

- Повторите условие задачи.

- Чтобы не запутаться в процессе рассуждений начертим таблицу.

Таблица

возраст имя	5 лет	7 лет	9 лет	11 лет
Сережа
Ира
Витя
Галя

 

- Что мы знаем про одного  из мальчиков? (ходит в детский сад)

- Сколько лет этому мальчику? (5)

- Этого мальчика могут звать  Сережа? (нет, Сережа старше Иры, значит, его зовут Витя)

Таблица

возраст имя	5 лет	7 лет	9 лет	11 лет
Сережа
Ира
Витя	+
Галя

 

     Поставим в строке  «Витя», столбце «5» знак «+». Значит, самого младшего ребенка зовут Витя и ему 5 лет.