Решение нестандартных задач на уроках математики

коробки, надписи на которых не соответствуют их содержимому. Маша была уверена, что конфеты не лежат в коробке, на которой написано «Торт». В какой же коробке торт?

10. По кругу сидят Иванов, Петров, Марков, Карпов. Их имена Андрей, Сергей, Тимофей, Алексей. Известно, Иванов не Андрей и не Алексей. Сергей сидит между Марковым и Тимофеем. Петров сидит между Карповым и Андреем. Как зовут Иванова, Петрова, Маркова и Карпова?

 

 

6. Задачи на переливание.

 

 

1. Можно ли, имея лишь два сосуда емкостью 3 и 5л, набрать из водопроводного крана 4 л воды?

2.   Как разделить поровну между двумя семьями 12 л хлебного кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами: восьмилитровым и трехлитровым?

3.       Как, имея два сосуда емкостью 9л и 5л, набрать из водоема ровно 3 литра воды?

4.     Бидон, емкость которого 10 литров, наполнен   соком. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить сок в два сосуда по 5 литров каждый?

5.    Имеются два сосуда. Емкость одного из них 9л, а другого 4л. Как с помощью этих сосудов набрать из бака 6 литров  некоторой жидкости? (Жидкость можно сливать обратно в бак).

 

       Анализ  предложенных текстовых задач  показывает, что решение их не  укладывается в рамки той или  иной системы типовых задач. Такие  задачи называют нетиповыми (И. К. Андронов, А. С. Пчелко и др.) или нестандартными (Ю. М. Колягин, К. И. Нешков, Д. Пойа и др.)

     Обобщая  различные подходы методистов  в понимании стандартных и  нестандартных задач (Д. Пойа, Я. М. Фридман  и др.), под нестандартной задачей понимаем такую задачу, алгоритм которой не знаком учащемуся и в дальнейшем не формируется как программное требование.

   Анализ учебников  и учебных пособий по математике  показывает, что каждая текстовая  задача в определенных условиях  может быть нестандартной, а в  других – обычной, стандартной. Стандартная задача одного курса математики может быть нестандартной в другом курсе.

Например. «На аэродроме было 57 самолетов и 79 вертолетов, 60 машин поднялось в воздух. Можно ли утверждать, что в воздухе находится: а) хотя бы 1 самолет; б) хотя бы 1 вертолет?»

Такие задачи были необязательными для всех учащихся, они предназначались для наиболее способных к математике.

     «Если хотите  научиться решать задачи, то решайте  их!» - советует Д. Пойа.

 Главное при этом – сформировать такой общий подход к решению задач, когда задача рассматривается как объект  для исследования, а ее решение – как конструирование и изобретение способа решения.

     Естественно, что такой подход требует не  бездумного решения огромного  числа задач, а неторопливого, внимательного  и обстоятельного решения значительно  меньшего числа задач, но с  последующим анализом проведенного решения.

Итак, общих правил решения нестандартных задач нет (поэтому – то эти задачи и называются нестандартными). Однако выдающиеся математики и педагоги   (С.А. Яновская, Л.М. Фридман,

Э.Н. Балаян)  нашли ряд общих указаний и рекомендаций, которыми можно  руководствоваться при решении нестандартных задач. Эти указания обычно называют эвристическими правилами или, просто, эвристиками. Слово «эвристика» греческого происхождения и означает «искусство нахождения истины».

   В отличие от  математических правил эвристики носят характер необязательных рекомендаций, советов, следование которым может привести (а может и не привести) к решению задачи.

  Процесс решения любой нестандартной задачи (по мнению

С.А. Яновской) состоит в последовательном применении двух операций:

1.    сведение путем преобразований нестандартной задачи к другой, ей сходной, но уже стандартной задаче;

2.          разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных подзадач.

Для сведения  нестандартной задачи к стандартной не существует определенных правил. Однако если внимательно, вдумчиво анализировать, решать каждую задачу, фиксируя в своей памяти все приемы, с помощью которых были найдены решения, какими методами были решены задачи, то  вырабатывается умение  в таком сведении.

Рассмотрим на примере задачи:

По тропинке, вдоль кустов, шел десяточек хвостов,

Сосчитать я также смог, что шагало тридцать ног.

Это вместе шли куда – то петухи и поросята.

 Ну а мой вопрос  таков – сколько было петухов?

И узнать я был бы рад  - сколько было поросят?

Если не удается решить  данную задачу, попытаемся свести ее к   сходной.

Переформулируем:

1.Придумаем и решим  похожую, но более простую.

2. Используем её решение  для решения данной.

Трудность в том, что в задаче два типа зверей. Пусть все будут поросятами, тогда ног будет 40.

Составим похожую задачу:

 По тропинке, вдоль кустов, шел десяточек хвостов.

 Сосчитать я также смог, что шагало сорок ног.

 Это вместе шли куда – то петухи и поросята.

 Ну а мой вопрос  таков  - сколько было петухов?

И узнать я был бы рад – сколько было поросят?

Ясно, что если ног в 4 раза больше, чем хвостов, то все животные – поросята.

В похожей задаче взяли 40 ног, а в основной их было 30. Как уменьшить число ног? Заменить поросенка петушком.

Решение основной задачи: если бы все животные были поросятами, то у них было 40 ног. Когда заменяем поросенка петушком, число ног уменьшается на два. Всего надо сделать пять замен, чтобы получить 30 ног. Значит, шагало 5 петушков  и 5 поросят.

Как придумать «похожую» задачу?

 

2 способ решения задачи.

В данной задаче можно применить принцип уравнивания.

 Пусть все поросята  встанут на задние ноги.

10*2 =20 столько ног шагает  по тропинке

30 – 20 =10 столько передних  ног у поросят

10:2 = 5 поросенка шло  по тропинке

Ну а петушков 10 -5 =5.

      Сформулируем несколько правил решения нестандартных задач.

1. «Простое» правило: не пропустите самую простую задачу.

Обычно простую задачу не замечают. А начинать надо именно с неё.

 

2. «Очередное» правило: условия по возможности надо менять по очереди. Количество условий - конечное число, так что до всех рано или поздно дойдет очередь.
3. «Неизвестное» правило:  изменив одно условие, другое,                  связанное с ним обозначьте х, а потом подберите его                 так, чтобы  вспомогательная задача решалась при данном                 значении и не решалась при увеличении х на единицу.
4. «Интересное» правило: делайте условия задачи более интересными.
5. «Временное»  правило: если в задаче идет какой-то процесс и конечное состояние более определенно, чем начальное, стоит запустить время в обратную сторону: рассмотреть последний шаг процесса, потом предпоследний и т.д.

  Рассмотрим применение этих правил.

Задача№1. Пять мальчиков нашли девять грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.

1шаг. Мальчиков  очень много. Пусть их будет на 2 меньше в следующей задаче.

«Трое мальчиков нашли х грибов.  Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну».

Для доказательства установим, при каких х  задача имеет решение.

При х=0, х=1, х=2 задача имеет решение, при х=3 задача не имеет решение.

Сформулируем похожую задачу.

Трое мальчиков нашли 2 гриба. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.

Пусть все трое мальчиков нашли разное число грибов. Тогда минимальное число грибов равно 3, поскольку 3=0+1+2. Но по условию число грибов меньше 3, поэтому два мальчика из трех нашли одинаковое число грибов.

При решении исходной задачи рассуждения точно такие же. Пусть все, пять мальчиков, нашли разное число грибов. Минимальное число грибов тогда должно равняться 10. (10 =0+1+2+3+4). Но по условию число грибов меньше 10, поэтому двое мальчиков нашли одинаковое число грибов.

При решении использовали «неизвестное» правило.

Задача№2. Над озерами летели лебеди. На каждом садилась половина лебедей и еще пол-лебедя, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько было лебедей?

1шаг. Идет процесс, начальное  состояние не определено, конечное – нулевое, т.е. не стало летящих лебедей.

Запускаем время в обратную сторону, придумав такую задачу:

Над озерами летели лебеди. На каждом взлетало пол-лебедя и еще столько, сколько теперь летело. Все взлетали с семи озер. Сколько было лебедей?

2шаг. Начинаем с нуля:                                                        

(((((((0+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2=127.

Задача №3.

У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил:

- Я могу помочь тебе. Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз, перейдя  мост, ты должен будешь отдать мне 24 копейки. Три раза переходил мост лодырь, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько денег было у лодыря?

(((0+24):2+24):2+24):2= 21

При решении задач № 2и № 3  использовали «временное» правило.

Задача №4. Кузнец подковывает одно копыто за 15 минут. Сколько времени потребуется 8 кузнецам, чтобы подковать 10 лошадей. (Лошадь не умеет стоять на двух ногах).

1шаг. Лошадей и кузнецов  слишком много, уменьшим пропорционально их количество, составив задачу.

Кузнец подковывает одно копыто за пять минут. Сколько времени потребуется четверым кузнецам, чтобы подковать пять лошадей?

Ясно, что минимально возможное время 25 минут, но может ли оно быть достигнуто? Необходимо организовать работу кузнецов без простоев. Будем действовать, не нарушая симметрии. Расположим пять лошадей по кругу. После того как четверо кузнецов подкуют каждый одно копыто лошади, кузнецы сдвинутся на одну лошадь по кругу. Чтобы обойти полный круг, потребуется пять тактов работы по пять минут. Во время 4 тактов каждая лошадь  будет подковываться, а один такт отдыхать. В итоге все лошади будут подкованы за 25 минут.

2 шаг. Возвращаясь к  исходной задаче, заметим, что 8=2* 4, а 10=2*5. Тогда 8 кузнецов нужно разбить на две бригады по 4 человека в каждой, а лошадей – на два табуна по 5 лошадей в каждом. За 25 минут первая бригада кузнецов подкует первый табун, а вторая – второй.

При решении использовалось «очередное» правило.

Конечно, может встретиться задача, к которой не удастся применить ни одного из перечисленных правил. Тогда нужно изобрести особый метод   решения этой задачи.

  Необходимо помнить, что решение нестандартных задач есть искусство, которым можно овладеть лишь в результате постоянного самоанализа действий по решению задач.

    

 

Глава 2.  Образовательные функции нестандартных задач.

 

 

2.1 Роль нестандартных задач в формировании  логического мышления.

    

 

На современном этапе обучения наметилась тенденция использования задач как необходимого компонента обучения  учащихся математике. Объясняется это, прежде всего, возрастающими требованиями, направленными на усиление развивающих функций обучений.

     Понятие  «нестандартная задача» используется многими методистами. Так, Ю. М. Колягин раскрывает это понятие следующим образом: «Под нестандартной понимается задача, при предъявлении которой учащиеся не знают заранее ни способа ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение».

     Опираясь  на анализ теории и практики  использования нестандартных задач  в обучении математике, установлена  их общая и специфическая роль.

   

     Нестандартные задачи:

- учат детей использовать  не только готовые алгоритмы, но и самостоятельно находить новые способы решения задач, т.е. способствуют умению находить оригинальные способы решения задач;

- оказывают влияние  на развитие смекалки, сообразительности  учащихся;

препятствуют выработке вредных штампов при решении задач, разрушают неправильные ассоциации в знаниях и умениях учащихся, предполагают не столько усвоение алгоритмических приемов, сколько  нахождение новых связей в знаниях, к переносу знаний в новые условия, к овладению разнообразными приемами    умственной деятельности;

 

 

  - создают благоприятные  условия для повышения прочности  и глубины знаний учащихся, обеспечивают  сознательное усвоение математических  понятий.

 

     Нестандартные задачи:

- не должны иметь  уже готовых, заученных детьми  алгоритмов;