Развитие логического мышления школьников на уроках математики

 

Итак, весь процесс решения  задачи можно разделить на восемь этапов:

 

1 этап – анализ условия  задачи. Получив задачу, первое, что  нужно сделать, это разобраться  в том, что это за задача, каковы ее условия, в чем  состоят ее требования, т.е. провести  анализ задачи. Этот анализ и  составляет первый этап процесса  решения задачи.

 

 

2 этап – схематическая  запись задачи. Анализ задачи  следует как-то оформить, записать, для этого используются разного  рода схематические записи задач,  построение которых составляет  второй этап процесса решения.

 

3 этап – поиск способа  решения задачи. Анализ задачи  и построение ее схематической  записи необходимы главным образом  для того, чтобы найти способ  решения данной задачи. Поиск  этого способа является третьим  этапом процесса решения.

 

4 этап – осуществление  решения задачи. Когда способ  решения задачи найден, его нужно  осуществить.

 

5 этап – проверка решения  задачи. После этого как решение  осуществлено и изложено (письменно  или устно), необходимо убедиться,  что это решение правильное, что  оно удовлетворяет всем требованиям  задачи. Для этого производят  проверку решения, что составляет  пятый этап процесса решения.

 

6 этап – исследование  задачи. При решении многих задач,  кроме проверки, необходимо еще  раз произвести исследование  задачи, а именно установить, при  каких условиях задача имеет  решение и притом, сколько различных  решений в каждом отдельном  случае; при каких условиях задача  вообще не имеет решения и  т.д. Все это составляет шестой  этап процесса решения.

 

7 этап – формирование  ответа задачи. Убедившись в правильности  решения и, если нужно, производя  исследование задачи, необходимо  четко сформулировать ответ задачи  – это буде седьмой этап  процесса решения.

 

8 этап – анализ решения  задачи. Наконец в учебных и  познавательных целях полезно  также произвести анализ выполненного  решения, в частности установить, нет ли другого, более рационального  способа решения, нельзя ли  задачу обобщить, какие выводы  можно сделать из этого решения и т.д. Все это составляет последний, конечно не обязательный, восьмой этап решения.

 

Данная схема дает общее  представление о процессе решения  задач, как о сложном и многоплановом  процессе [10, с. 93].

 

В некоторых задачах трудно выделить отдельные этапы. Таким  образом, структура процесса решения  задачи зависит в первую очередь  от характера задачи и конечно, от того, какими знаниями и умениями обладает решающий задачу.

 

Приведенная схема процесса решения задач является лишь примерной. При фактическом решении указанные  этапы обычно не отделены друг от друга, а переплетаются между собой. Так, в процессе анализа задачи обычно производится и поиск решения [25, с. 201]. При этом полный план решения  устанавливается не до осуществления  решения, а в его процессе. Тогда  поиск решения ограничивается лишь нахождением идеи решения. Порядок  этапов так же иногда может меняться. Из указанных восьми этапов пять являются обязательными, и они имеются  в процессе решения любой задачи, это этапы анализа задачи, поиска способа ее решения, проверки решения  и формирование ответа. Остальные  три этапа являются необязательными  и в процессе решения многих задач  не имеются [27, с. 110].

 

Анализ задачи, т.е. выяснение  характера задачи, ее вида, установление ее условий и требований, производится в процессе решения любой, даже самой  простейшей задачи. Для других, более  сложных задач, понадобится и  более развернутый, более многоплановый  и сложный анализ. Точно так  же поиск способа решения производится в процессе решения любой задачи.

 

При решении более сложных  задач поиск способа решения  является самым трудным и основным этапом решения. Он может занимать и  по времени самое большое место  в общем процессе решения.

 

Что касается этапа осуществления  решения, то понятно, что без него и нет самого решения. Она производится по мере осуществления решения, и как правило, она проходит устно, в этом случае эта проверка является формой самоконтроля за своими действиями. Схематическая запись является не обязательной, но лучше ей не пренебрегать, так как она служит очень хорошей формой, организующей и глубокий и планомерный анализ задачи, следовательно, этот этап сливается с анализом задачи. Схематическая запись облегчает само решение, так как, опираясь на эту запись легче и проще оформить решение [5, с. 49-52].

 

В методике работы по решению  каждой из задач просматриваются, как  и ранее, определенные этапы. Сначала  идет подготовка к введению задач  нового вида, которая сводится к  выполнению специальных упражнений, предусмотренных в учебнике или  составленные учителем. Далее идет ознакомление с решением задач нового вида: под руководством учителя, с большей или меньшей долей самостоятельности, ученики решают задачу или несколько задач. В дальнейшем ведется работа по совершенствованию умения решать задачи рассмотренного вида. Как правило, на этом этапе ученики решают задачи самостоятельно устно или с записью решения, при этом используют различные формы записи: отдельными действиями с пояснением в утвердительной или вопросительной форме, а также без пояснений, в виде выражения. Здесь также эффективны различные упражнения текстового характера. Очень важно научить детей выполнять проверку решения задач новых видов и чаще побуждать их проверять решения [8, с. 8]. Сообразуясь с целями работы, следует каждый раз подбирать соответствующую форму организации занятий: продумать, будут ли дети решать задачи индивидуально или объединяться группами (парами, тройками или по-другому).

 

Также большое значение в  решении текстовых задач имеет  моделирование.

 

Принципы обучения моделированию  при решении текстовых задач.

 

Уровень овладения моделированием должен занимать особое и главное  место в формировании умения решать задачи. Обучение моделированию необходимо вести целенаправленно, соблюдая ряд  условий.

 

Во-первых, все математические понятия, используемые при решении  задач должны изучаться с помощью  моделей. Во-вторых, должна вестись  работа по усвоению знаково-символического языка, на котором строится модель [23, с. 101]. При этом ученик осознает значение каждого элемента модели, осуществляя  переход от реальности (предметной ситуации) к модели, и, наоборот, от модели к реальности. В-третьих, необходимый  этап обучения – освоение моделей  тех отношений, которые рассматриваются  в задачах. Только освоив модель отношений (т.е. осознав суть этого отношения), учащийся научится использовать её как  средство выделения сущности любой  задачи, содержащей это отношение [23, с. 102].

 

Чтобы самостоятельно решать задачи, ученик должен освоить различные  виды моделей, научиться выбирать модель, соответствующую предложенной задаче, и переходить от одной модели к  другой. При решении простых и  составных задач используется схематический  чертеж.

 

Схематический чертеж прост  для восприятия, так как:

 

·  наглядно отражает каждый элемент отношения, что позволяет  ему оставаться и при любых  преобразованиях данного отношения;

 

·  обеспечивает целостность  восприятия задачи;

 

·  позволяет увидеть  сущность объекта в "чистом" виде без отвлечения на частные конкретные характеристики (числовые значения величин, яркие изображения и др.), что  трудно сделать, используя другие графические  модели;

 

·  обладая свойствами предметной наглядности, конкретизирует абстрактные отношения, что нельзя увидеть, например, выполнив краткую  запись задачи;

 

·  обеспечивает поиск  плана решения, что позволяет  постоянно соотносить физическое (или  графическое) и математическое действия.

 

Использование графической  модели при решении текстовых  задач обеспечивает качественный анализ задачи, осознанный поиск ее решения, обоснованный выбор арифметического  действия, рациональный способ решения  и предупреждает многие ошибки в  решении задач учащимися [12, с. 5].

 

Таким образом, важно научить  детей составлять модели и подбирать  нужную для определенной задачи, искать несколько способов решения и  для каждого подбирать свою модель.

 

Способы решения текстовых  задач

 

Решить задачу – это  значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами, отношениями выполнить  требование задачи (ответить на ее вопрос) [17, с. 32].

 

Иногда на уроках, как правило, рассматривается лишь один из способов решения задачи, причем не всегда наиболее рациональный. Приводимая в таких случаях аргументация в виде отсутствия достаточного количества времени на решение одной задачи различными способами не имеет под собой основы: для математического развития учащихся, для развития их творческого мышления гораздо полезнее одну задачу решить несколькими способами (если это возможно) и не жалеть на это времени, чем несколько однотипных задач одним способом. Из различных способов решения одной и той же задачи надо предложить учащимся выбрать наиболее рациональный, красивый [30, с. 27].

 

При отыскании различных  способов решения задач у школьников формируется познавательный интерес, развиваются творческие способности, вырабатываются исследовательские  навыки. После нахождения очередного метода решения задачи учащийся, как  правило, получает большое моральное  удовлетворение. Учителю важно поощрять поиск различных способов решения  задач, а не стремиться навязывать свое решение. Общие методы решения задач  должны стать прочным достоянием учащихся, но наряду с этим необходимо воспитывать у них умение использовать индивидуальные особенности каждой задачи, позволяющие решить ее проще. Именно отход от шаблона, конкретный анализ условий задачи являются залогом  успешного ее решения. [25, с. 58].

 

В качестве основных в математике различают арифметические и алгебраические способы решения задач. При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится  в результате выполнения арифметических действий над числами.

 

Различные арифметические способы  решения одной и той же задачи отличаются отношения между данными, данными и неизвестными, данными  и искомым, положенными в основу выбора арифметических действий, или  последовательностью использования  этих отношений при выборе действий.

 

Решение текстовой задачи арифметическим способом – это сложная  деятельность, содержание которой зависит  как от конкретной задачи, так и  от умений решающего [30, с. 28].

 

Учащиеся с первых дней учатся решать текстовые арифметические задачи. Они усваивают общее умение решать арифметические задачи: умеют  анализировать задачу, выделяя данные и искомое, устанавливать соответствующие  связи, на основе которых выбирают арифметические действия, выполнять решение и  проверять его, умеют по-разному  оформлять решение. Это позволяет  в большей мере, чем прежде, привлекать детей к самостоятельному решению  не только задач знакомой структуры, но и новой, а, следовательно, и закреплять это общее умение. Для закрепления  умения решать эти задачи их надо предлагать в течение года для самостоятельного решения устно или с записью. При этом для развития учащихся весьма полезны упражнения творческого  характера: составление задач и  их решение, преобразование данных задач  и их решений, сравнение задач, сравнение  решений задач и т.п. Включая  такие упражнения, важно соблюдать  дифференцированный подход, учитывая разную степень готовности учащихся к их выполнению [3, с. 59-60].

 

При решении любой задачи алгебраическим способом после анализа  содержания задачи выбирается неизвестное, обозначается буквой, вводится в текст  задачи, а затем на основе выделенных в содержании задачи зависимостей составляются два выражения, связанные отношением равенства, что позволяет записать соответствующее уравнение. Найденные в результате решения уравнения корни осмысливаются с точки зрения содержания задачи, а корни не соответствующие условию задачи отбрасываются. Если буквой обозначено искомое, оставшиеся корни могут сразу дать ответ на вопрос задачи. Если буквой обозначено неизвестное, не являющееся искомым, то искомое находится на основе взаимосвязей его с тем неизвестным, которое было обозначено буквой [6, с. 12].

 

Также дети знакомятся с графическим  способом. Опираясь только на чертеж легко  дать ответ на вопрос задачи. Иногда решение задачи графическим способом связано не только с построением  отрезков, но и с измерением их длин. Рисование графической схемы, во-первых, заставляет ученика внимательно  читать текст задачи, во-вторых, позволяет  перенести часть умственных действий в действия практические и закрепить  результат в виде материального  объекта, в-третьих, дает возможность  искать решение самостоятельно[14, с. 160].

 

При обучении решению текстовых  задач необходимо достигнуть двух взаимосвязанных  целей — обучить:

 

1) решению определенных  видов задач;

 

2) приемам поиска решения  любой задачи.

 

Первая из них важна  потому, что дает необходимый опыт и возможность выделить в решаемой задаче те подзадачи, решение которых  известно. Кроме того, при решении  каждой новой задачи можно использовать те способы и приемы, которые давали прежде положительные результаты. Но на практике приходится встречаться  с задачами, при поиске решения  которых никакой прежний опыт не помогает и требуется догадка, «открытие». Можно ли помочь ученику  прийти к такой догадке, дать ему  некоторое средство, помогающее «открытию?»  При реализации идей развивающего обучения такая цель представляется даже более  важной, так как помогает развитию таких когнитивных способностей, как умение проанализировать новую  ситуацию, на основе проведенного анализа  принять правильное решение, выработать план действий и суметь осуществить  его [11, с. 134].

 

Таким образом, анализ учебно-методической литературы позволил более детально разобраться с методикой работы над задачами и перенести полученные знания на практику.

 

 

 

 

Глава 2. Работа учителя по развитию логического мышления на уроках математики

 

 

 

2.1 Опытно-экспериментальная  работа и анализ ее результатов