Развитие логического мышления школьников на уроках математики

 

Индукция – это способ рассуждения от частных суждений к общему суждению, установление общих  законов и правил на основании  изучения отдельных фактов и явлений.

 

Дедукция – это способ рассуждения от общего суждения к  частному суждению, познание отдельных  фактов и явлений на основании  знания общих законов и правил.

 

Мышление человека, и в  частности школьника, наиболее ярко проявляется при решении задач. Любая мыслительная деятельность начинается с вопроса, который ставит перед  собой человек, не имея готового ответа на него. Иногда этот вопрос ставят другие люди, но всегда акт мышления начинается с формулировки вопроса, на который  надо ответить, задачи, которую надо решить, с осознания чего-то неизвестного, что надо понять, уяснить. Человек  может мыслить с разной степенью обобщенности, в большей или меньшей  степени, опираться в процессе мышления на восприятие, представления или  понятия [7, с 21].

 

В зависимости от этого  различают три основных вида мышления:

 

- предметно-действенное;

 

- наглядно-образное;

 

- абстрактное.

 

Предметно-действенное мышление – вид мышления, связанный с  практическими действиями над предметами. В элементарной форме предметно-действенное  мышление свойственно детям раннего  возраста, для которых мыслить  о предметах означает действовать, манипулировать с ними. В развитой форме оно свойственно людям  определенной профессии, которая связана  с практическим анализом, конструированием [7, с 25].

 

Наглядно-образное мышление – это вид мышления, который  опирается на восприятие или представления. Этот вид мышления характерен для  дошкольников и отчасти детей  младшего школьного возраста, а в  развитых формах свойственен людям  тех профессий, которые связанны с ярким и живым представлением тех или иных предметов или  явлений. Когда учитель рассказывает школьникам о прямой или кривой, проделывает с ними практическую работу с ниточкой или объясняет  на картинке, то он имеет дело с наглядно-образным мышлением.

 

Абстрактное мышление, по преимуществу характеризующее старших школьников и взрослых. Мышление представляет собой процессы познания человеком  объектов и явлений окружающего  мира и их связей, решения жизненно важных задач, поиска неизвестного, предвидения  будущего. На стадии конкретных операций (от 7 до 12 лет) ребёнок обнаруживает способность к выполнению гибких и обратимых операций, совершаемых в соответствии с логическими правилами [29, с 216]. Дети, достигшие этого уровня развития, уже могут давать логические объяснения выполняемым действиям, способны переходить с одной точки зрения на другую, становятся более объективными в своих оценках. Они сравнительно легко справляются с задачами на сохранение. Дети приходят к интуитивному пониманию двух важных логических принципов, которые выражаются отношениями: если А=В и В=С, то А=С; А+В=В+А. Другой важнейшей характеристикой этой стадии интеллектуального развития является способность ранжировать объекты по какому-либо измеримому признаку, например по массе или величине. Ребенок также уже понимает, что многие термины, выражающие отношения: меньше, короче, легче, выше и.т.д. – характеризуют не абсолютные, а относительные свойства объектов, т.е. такие их качества, которые появляются у данных объектов лишь в отношении других объектов. Дети этого возраста способны объединить предметы в классы, выделять из них подклассы, обозначая словами выделяемые классы и подклассы [27, с 200]. Вместе с тем дети до 12 лет еще не могут рассуждать, пользуясь абстрактными понятиями, опираться в своих рассуждениях на предположения или воображаемые объекты. Но у детей этого возраста уже довольно хорошо бывает развито логическое мышление.

 

Формирование логического  мышления – важная составная часть  педагогического процесса [16, с 21]. Помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал – одна из основных задач современной школы. Успешная реализация этой задачи во многом зависит от сформированности у учащихся познавательных интересов. Математика даёт реальные предпосылки для развития логического мышления, задача учителя – полнее использовать эти возможности при обучении детей математике. Однако, конкретной программы логических приемов мышления, которые должны быть сформулированы при изучении данного предмета, нет. В результате работа над развитием логического мышления идёт без знания системы необходимых приёмов, без знания их содержания и последовательности формирования.

 

Первоначальные математические знания усваиваются детьми в определённой, приспособленной к их пониманию, системе, в которой отдельные  положения логически связаны  одно с другим, вытекают одно из другого [17, с 68].

 

При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными  операциями мышления в достигнутом  для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные  выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает логическое мышление учащихся.

 

Овладение мыслительными  операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые  знания. Познавая предметы и явления  окружающей действительности, мы можем  мысленно расчленять предмет или явление на составные части и мысленно же соединять части в одно целое [14, с 123].

 

Операция мышления, направленная на расчленение целого на составляющие его части, называется анализом. Операция мышления, направленная на установление связи между предметами или явлениями, называется синтезом. Эти операции мышления взаимно связаны. Ф. Энгельс  отмечает, что «…мышление состоит  столько же в разложении предметов  сознания на их элементы, сколько в  объединении связанных друг с  другом элементов в некоторое  единство. Без анализа нет синтеза»[21, с 35].

 

Анализ и синтез, взаимно  связанные операции мышления, находят  постоянное применение, как при изучении элементов арифметической теории, так  и при решении примеров и задач. Уже на первых шагах обучения при  изучении чисел первого десятка  учащиеся пользуются наглядно-действенным  анализом (разложением) предметных множеств на составляющие их элементы и наглядно-действенным  синтезом (соединением), группируя элементы во множества. Наглядный анализ и  синтез сменяется затем анализом и синтезом по представлению: ребёнок  может выполнить разложение чисел  или их соединение, оперируя со зрительными  образами, которые сохраняются в  его памяти и могут быть воспроизведены в его сознании. Более высокой  ступенью является умственный анализ и синтез, выполняемый мысленно при  помощи внутренней речи. При обучении любому разделу математики приходится опираться на анализ и синтез. Анализ и синтез, как взаимосвязанные  мыслительные операции находят своё применение при решении текстовых  задач. Ученик под руководством учителя, прежде всего, анализирует содержание задачи, расчленяя его на числовые данные, условия и вопрос. При  решении составных арифметических задач требуется применить более  сложный и более тонкий анализ и синтез. Анализ содержания составной  задачи, так же как и простой, сводится к расчленению его на числовые данные, условия и вопрос. Однако сами данные, условие и искомое  должны подвергнутся дополнительно анализу, расчленению на составляющие их элементы [10, с 48]. В процессе обучения математике находит своё применение приём сравнения, т.е. выделение сходных и различных признаков у рассматриваемых чисел, арифметических примеров, арифметических задач. После решения задач учащиеся сравнивают, каким действием решается та или другая задача, а затем сопоставляют способы решения с различиями в условиях задач. Такое сопоставление помогает учащимся лучше осознать смысл выражений «больше на несколько единиц» и «больше в несколько раз» и прочнее установить связь между условием каждой задачи и способом её решения. Сравнение основано на анализе и синтезе: необходимо расчленить каждую задачу на составляющие её элементы, а затем мысленно соединить сходные элементы, выделив при этом существенные различия. При объяснении учащимся новой для них по способам решения задачи с многозначными числами часто используется приём аналогии: учитель предлагает решить аналогичную задачу с небольшими числами, вычисления над которыми можно выполнить устно [11, с 108].

 

Логическое мышление –  мышление, проходящее в рамках формальной логики и отвечающее ее требованиям. Задача развития логического мышления учащихся ставится и, определенным образом, решается в массовой школе. Во всех школьных программах по математике как  одна из целей обучения предмету отмечена – развитие логического мышления. Еще столетие назад Л.Н. Толстой отмечал, что математика имеет своей задачей не счисление, но обучение человеческой мысли при счислении. С осознанием отдельных логических форм человек начинает более четко мыслить и выражать свои мысли в речи. Используя в обучении математике различные методы, учитель применяет их так, чтобы они содействовали активизации мышления учащихся и, тем самым, способствовали его развитию [4, с 132]. Учитель должен владеть методикой работы над текстовой задачей, уметь заинтересовать учеников.

 

 

1.2 Методика работы над  текстовыми задачами

 

В обучении математике велика роль текстовых задач. Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое  значение имеет решение задач  и в воспитании личности учащегося. Поэтому важно, чтобы учитель  имел глубокие представления о текстовой  задаче, о ее структуре, умел решать такие задачи различными способами. Существуют простые и составные  задачи. Задачи, которые решаются в  одно действие называются простыми задачи, решающиеся в два и более –  составные [30, с 27].

 

Никто не подвергал сомнению важность текстовых задач в обучении и никто не считал их просто сложными. Уже в начальной школе учащиеся решают некоторые простые задачи. С годами задачи становятся все сложнее. Умение решать простые текстовые задачи практически совпадает с основами математической грамотности, способствует выработке логического мышления. Простые текстовые задачи более полезны тем, кто никогда не станет профессиональным математиком.

 

Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие  или отсутствие некоторого отношения  между ее компонентами или определить вид этого отношения [28, с 13].

 

Принято считать, что развитию логического мышления учащихся способствует решение нестандартных задач. Действитель но, задачи такого рода вызывают у детей интерес, активизируют мыслительную дея тельность, формируют самостоятельность, нешаблонность мышления. Но ведь почти каждую текстовую задачу можно сделать творческой при определенной методике обу чения решению. Существуют приемы и формы организации работы при обучении школьников решению задач, которые способствуют развитию мышления учащихся, вырабатывают стойкий интерес к решению текстовых задач и которые недостаточно часто применяются в практике работы. На школьном уровне многие нетекстовые задачи – лишь технические упражнения, необходимые, но не слишком интересные. Многие интересные и нестандартные задачи существуют в форме текстовых задач. Это не значит, что все текстовые задачи сложны, но все они требуют некоторого понимания естественного языка и способности переводить один в другой разные виды представления: слова, символы, образы [7, с 21].

 

Математик Жерофски замечал: «Утверждение, что текстовые задачи дают практику в решении проблем реальной жизни, малоубедительны, поскольку истории эти гипотетичны, практической ценности не представляют и, в отличие от реальных ситуаций, дополнительную информацию привлечь нельзя. Тем не менее, они имеют долгую и непрерывную традицию в математическом образовании и эта традиция значима» [26, с 56]. Текстовые задачи имеют несколько целей. Выделяют текстовые задачи как прикладные и как умственные манипуляторы.

 

Текстовые задачи как прикладные: в этом случае задача дает приложение математики к некой ситуации, возможной  в повседневной жизни. Например: «В магазине продаются апельсины по восемь штук за 30 рублей. Покупатель хочет  взять семь. Сколько он должен заплатить?» (30:8=3.75; 30-3.75=26.25)

 

Задачи из реального мира не могут составлять единственную или  даже основную часть задач, используемых в классе.

 

Текстовые задачи как умственные манипуляторы: эти задачи имеют дело с воображаемыми ситуациями, которым  необязательно встречаться в  повседневной жизни [9, с 2-3]. Числовые данные необязательно брать из действительности. То, что требуется узнать, необязательно  неизвестно или нужно в действительности, а то, что дано, не всегда доступно в повседневной жизни. Внутренняя последовательность или интересная математическая структура  важнее, чем соотнесенность или значимость в реальности. Цель этих задач: ввести учеников в основы математики –  такие как теория чисел, теория графов или комбинаторика, но избежать при  этом сложностей профессиональной терминологии.

 

Многие задачи, используемые в школах и входящие в сборник, являются смесью этих типов. Однако многие из лучших и наиболее педагогически  полезных задач явно принадлежат  ко второму типу: они не из «реального мира». Их цель – передать математическую идею, то есть использовать подходящие конкретные объекты для представления  или овеществления абстрактных  математических понятий. Подобно животным в баснях, «реальные объекты» в  этих задачах не следует понимать буквально. Это аллегории, умственные манипуляторы или овеществления, прокладывающие детям дорогу к абстракциям [18, с 22-28].

 

Задачи должны быть математическими  проблемами, представленными в доступной  для детей форме, и их качество зависит, в первую очередь, от качества их внутренней математической структуры, а также от их изящества и доступности. Хорошая задача должна быть эстетически  притягательна, как предмет искусства. Многие из так называемых задач «реального мира» запутаны и небрежны. Реальный мир полон хлама, излишеств, нелепости и скуки – всего того, чего следует избегать на уроках математики. Учитель должен четко подбирать задачи с понятным содержанием, вырабатывать у детей тактику и последовательность работы над задачей [21, с 35].

 

Текстовые задачи часто создают  различные сложности для учащихся любого уровня. Для отстающих –  этих проблем больше, чем для других учащихся после достаточного усвоения материала предыдущих разделов. Прежде, чем приступить к решению текстовых  задач нужно убедить ученика  в необходимости того, что для  решения этих задач у него есть необходимые знания. Задачи бывают разного уровня сложности. Полученные ребенком знания, а также его находчивость достаточно для того, чтобы правильно  решить текстовые задачи любого уровня. Если же ученик недостаточно находчив или пасует перед трудностями, это  не значит, что он не может решить задачу. Вышеуказанные качества развиваются  с помощью определенных навыков, которые приобретаются учеником во время решения каждой задачи. Поэтому чем больше задач вы будете предлагать решить своему ученику, тем  быстрее найдете ключ к решению  очередной задачи. Прежде чем приступить к решению задач, ребенок должен внимательно прочитать условие  задачи и определить количество действий устно, если данная задача на составление  уравнения, то ученик должен устно определить, что «берем за х ». Если после первой попытки нет желаемого результата, значит, ребенок не понял условия  задачи. В таких случаях ему  следует еще раз перечитать условие  задачи для того, чтобы достичь  желаемого результата. Перечитывание условия задачи несколько раз часто приводит к утомлению, и ребенок не может сосредоточиться на задании. В этом случае лучше вернуться к решению данной задачи через некоторое время.

 

Решение задач – это  работа несколько необычная, а именно умственная работа [2, с 119]. Чтобы научиться  какой либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над  которым придется работать, те инструменты, с помощью которых выполняется  эта работа.

 

Значит, для того чтобы  научиться решать задачи, надо разобраться  в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных  частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

 

Любая задача представляет собой  требование или вопрос, на который  надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в  задаче. Поэтому, приступая к решению  какой-либо задачи, надо ее внимательно  изучить, установить, в чем состоят  ее требования, каковы условия, исходя из которых надо решать задачу. Все это называется анализом задачи [17, с. 68].

 

Под процессом решения  задачи понимается процесс, начинающийся с момента получения задачи до момента полного завершения ее решения, то, очевидно, что этот процесс состоит  не только из изложения уже найденного решения, а из ряда этапов, одним  из которых и является изложение  решения.