Развитие логического мышления школьников на уроках математики

 

Конечно, нельзя приучать учащихся решать только те задачи, которые вызывают у них интерес. Но нельзя и забывать, что такие задачи учащийся решает легче и свой интерес к решению  одной или нескольких задач он может в дальнейшем перенести  и на «скучные» разделы, неизбежные при изучении любого предмета, в  том числе и математики. Таким  образом, учитель, желающий научить  школьников решать задачи, должен вызвать  у них интерес к задаче, убедить, что от решения математической задачи можно получить такое же удовольствие, как от разгадывания кроссворда или  ребуса.

 

Задачи не должны быть слишком  легкими, но и не должны быть слишком  трудными, так как учащиеся, не решив  задачу или не разобравшись в решении, предложенном учителем, могут потерять веру в свои силы. Не следует предлагать учащимся задачу, если нет уверенности, что они смогут ее решить. Ну а  как же помочь учащемуся научиться  решать задачи, если интерес к решению  задач у него есть и трудности решения его не пугают? В чем должна заключаться помощь учителя ученику, не сумевшего решить интересную для него задачу? Как эффективным образом направить усилия ученика, затрудняющегося самостоятельно начать или продолжить решение задачи?

 

Не следует идти по самому легкому в этом случае пути - знакомить  ученика с готовым решением. Не следует и подсказывать, к какому разделу школьного курса математики относится предложенная задача, какие известные учащимся свойства и теоремы нужно применить при решении. Решение нестандартной задачи - очень сложный процесс, для успешного осуществления которого учащийся должен уметь думать, догадываться.

 

Необходимо также хорошее  знание фактического материала, владение общими подходами к решению задач, опыт в решении нестандартных  задач. В процессе решения каждой задачи и ученику, решающему задачу, и учителю, обучающему решению задач, целесообразно четко разделять  четыре ступени: 1) изучение условия  задачи; 2) поиск плана решения  и его составление; 3) осуществление  плана, то есть оформление найденного решения; 4) изучение полученного решения - критический анализ результата решения  и отбор полезной информации. Даже при решении несложной задачи учащиеся много времени тратят на рассуждения о том, за что взяться, с чего начать. Чтобы помочь учащимся найти путь к решению задач, учитель  должен уметь поставить себя на место  решающего задачу, попытаться увидеть  и понять источник его возможных  затруднений, направить его усилия в наиболее естественное русло. Умелая помощь ученику, оставляющая ему разумную долю самостоятельной работы, позволит учащемуся развить математические способности, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить путь к решению новых задач. «Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею... Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и ранее приобретенные знания... Часто оказывается уместным начать работу с вопроса: «Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?» (Пойа Д.). Таким образом, хорошим средством обучения решению задач, средством для нахождения плана решения являются вспомогательные задачи. Умело поставленные вспомогательные вопросы, вспомогательная задача или система вспомогательных задач помогут понять идею решения. Необходимо стремиться к тому, чтобы учащийся испытал радость от решения трудной для него задачи, полученного с помощью вспомогательных задач или наводящих вопросов, предложенных учителем.

 

мышление учащийся математика логический

 

Глава 2. Развитие логического  мышления учащихся 5-х классов с  помощью системы развивающих  заданий

 

 

Для осуществления формирования логического мышления учащихся 5 классов  можно составить систему развивающих  заданий по темам:

 

·аналогия;

 

·исключение лишнего;

 

·классификация;

 

·логические задачи;

 

·перебор;

 

·задачи с геометрическим содержанием;

 

·задачи «на переливание»;

 

·задачи-шутки;

 

·ребусы;

 

·занимательные задания.

 

Эти задачи можно разделить  на группы, учитывая их воздействие  на мыслительную деятельность учащихся.

 

Формирование гибкости ума, освобождение мышления от шаблонов происходит при решении задач-шуток, занимательных  заданий, задач на перебор вариантов, так как в большинстве случаев  эти задачи не привязаны к темам  и не требует особой теоретической  подготовки.

 

 

Логические задачи, ребусы, задачи «на переливание», задачи на классификацию учат школьников умению рассуждать, формируют математический стиль мышления, развивают логико-лингвистические  способности детей, которые приводят к умению четко мыслить, полноценно логически рассуждать и ясно излагать свои мысли.

 

Задачи на аналогию и исключение лишнего используется для формирования умений поиска решения задач, интуиции, требуют знания теории и нешаблонного подхода к решению.

 

Задачи с геометрическим содержанием нацелены на знание геометрических фигур и их свойств как основы для формирования пространственных и изобразительных умений школьников, на расширение кругозора.

 

Учитель, преподающий в 5-6 классах, может развивать логическое мышление учащихся с помощью созданной  системы заданий. Для этого необходимо учитывать следующее:

 

. выбранные задания должны  быть посильными для детей;

 

. задания, отобранные для  одного урока, должны быть разнообразными  для воздействия на различные  компоненты мышления;

 

. если ученики не справляются  с заданием, то целесообразно  оставить его на обдумывание  до следующего урока;

 

. ученикам можно дать  необязательное домашнее задание  по составлению аналогичных задач;

 

. если на уроке время  ограничено, то эти задания можно  применять на занятиях математического  кружка.

 

Учащиеся хорошо воспринимают эти задания. Ребята видят в них  отдых от утомительной, иногда однообразной часто арифметической тренировки. Это  ненавязчивое средство обучения логическим приемам, которые применяются в  каждом математическом рассуждении.

 

Система развивающих заданий

 

Аналогия

 

Аналогия - это сходство между  объектами в некотором отношении. Использование аналогии в математике является одной из основ поиска решения  задач. Задачи этой серии направлены на отработку таких познавательных приемов, как проведение словесных  аналогий и нахождение аналогии между  фигурами.

 

Например:

 

. Уменьшаемое - разность, множитель - ….?

 

. Продолжите ряд:

 

а) 1, 5, 13, 29,….б) 1, 4, 9, 16,….

 

в) 7, 19, 37, 61,…г) 1, 8, 27….

 

. Найдите правило нахождения  числа, стоящего в средней клетке  первой строки. И по этому правилу  вставьте в пустую клетку пропущенное число.

 

 

 

 

Исключение лишнего

 

В каждой задаче этой серии  указаны четыре объекта, из которых  три в значительной мере сходны друг с другом, и только один отличается от всех остальных.

 

Например,

 

. Сумма, разность, множитель,  частное

 

. См, дм, м2, км

 

. 1, 9, 27, 64

 

Можно предложить детям сначала  решить анаграммы, затем исключить  лишнее слово.

 

Например, МАПРЯЯ, ЧУЛ, РЕЗОТОК, РИПЕТРЕМ (лишнее слово - периметр)

 

Классификация

 

Классификация - это общепознавательный прием мышления, суть которого заключается в разбиении данного множества объектов на попарно непересекающиеся подмножества (классы). Число таких подмножеств, а также их состав зависит от основания классификации (т.е. признака, существенного для данных объектов), которое может применять различные значения.

 

Например,

 

. Что объединяет слова  длина, площадь, масса? Какое  слово к ним подходит: секунда,  центнер, величина, метр?

 

. Разбейте данные слова  на два столбика и озаглавьте  каждый столбик.

 

Слагаемое, вычитаемое, сумма, частное, множитель, уменьшаемое, делитель, произведение, разность.

 

. В каждом задании даны  пять слов. Под этим списком  должны стоять еще четыре слова,  разбитые на две пары. Из них  даны только три. Выберите из  списка одно слово, которое  нужно поставить вместо знака  вопроса, чтобы найденное четвертое  слово находилось с третьим  в таком же отношении, что  и первое со вторым.

 

а) Величина, количество, цифра, счет, номер

 

Слово - буква

 

Натуральное число - ?

 

б) Координата, начало, единичный  отрезок, направление, шкала.

 

Мороженое - порция

 

Координатный луч - ?

 

в) Разность, умножение, произведение, деление, частное.

 

Слагаемое - сумма

 

Множитель - ?

 

Перебор

 

Сущность этого приема заключается в проведении организованного  разбора и анализа всех случаев, которые потенциально возможны в  ситуации, описанной в задаче.

 

Например:

 

. Сколько имеется двузначных  чисел, у которых среди цифр  есть хотя бы одна пятерка?

 

. В числе 48352 зачеркните  такие две цифры, чтобы число,  образованное оставшимися цифрами  в том же порядке было наибольшим (наименьшим).

 

Задачи на переливание

 

. В первый сосуд входит 10 литров воды. Как, используя  еще два пустых сосуда по 5 и  7 литров, разделить воду на две  части.

 

. Восьмилитровый бидон  наполнен водой. Как с помощью  трехлитровой и пятилитровой  банок отлить 1 л воды?

 

Задачи-шутки

 

. Гусь стоит 20 рублей  и еще половину того, сколько  он на самом деле стоит. Сколько  стоит гусь?

 

. Сколько концов у двух  палок; у трех палок, у пяти  с половиной палок?

 

. Крышка стола имеет  4 угла. Один угол отпилили. Сколько  углов осталось?

 

. Какой математический  знак нужно поставить между  5 и 6, чтобы полученное число  было больше 5, но меньше 6.

 

. Один поезд отправляется  из Москвы в Пермь, одновременно  с ним выходит поезд из Перми  в Москву, скорость которого в  2 раза больше. Какой из поездов  в момент встречи будет находиться  дальше от Москвы?

 

Занимательные задачи.

 

. Чему равно произведение -15 × (-14) × (-13) × ……× 13 × 14 × 15

 

. Какой цифрой оканчивается  произведение всех чисел от 7 до 12.

 

. Вдоль всей траектории  забега поставили 15 столбов. После  начала забега спортсмен был  у третьего столба через три  минуты. За сколько минут он  пробежит весь путь?

 

Логические задачи

 

Логические задачи - это  задачи, требующие умения проводить  доказательные рассуждения, анализировать. Логические упражнения прямо и непосредственно  ориентированы на развитие логического  мышления учеников. Логические упражнения представляют собой задания творческого  характера. Они позволяют организовать на уроках интересные деятельностные ситуации, которые способствуют лучшему усвоению программного материала и развитию логического мышления педагогическая практика показывает, что у основной массы учащихся здравый смысл опережает математическую подготовку. Это обуславливает высокий интерес школьников к решению таких задач. От обычных они отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача - это особая информация, которую не только нужно отработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать.

 

Логические задачи достаточно интересны и очень полезны  для развития математических способностей. Они вырабатывают умение устанавливать  связи между объектами, наблюдательность, настойчивость. Однако при решении таких задач ученики много тратят времени на рассуждения о том, с чего начать.

 

В следующей серии задач  многочисленные факты, содержащиеся в  условии, ученики легко воспринимают с помощью схем или «графов». Язык графов прост, понятен и нагляден. Графовые задачи допускают изложение в занимательной, игровой форме. Для их решения часто не требуется глубоких знаний, а следует применить смекалку. Поэтому графовые задачи можно использовать для развития соображения и улучшения логического мышления детей, начиная с детского сада и заканчивая старшими классами средней школы.

 

Принцип их построения доступен каждому: объекты изображаем точками, а отношения между ними - отрезками; точки соединяем сплошной линией, если точки одного множества соответствуют  точкам другого множества, или штриховой, если они не соответствуют. С помощью  такого наглядного приема можно научить  пятиклассников решать достаточно сложные  задачи. Графовый язык переводит решение задачи из абстрактно-словесного плана в конкретно-наглядный. Обращение к графу дает толчок к поиску и подсказывает направление этого поиска.

 

Рассмотрим несколько  задач этой серии.

 

. Встретились Белов, Чернов  и Рыжов. Один из них был  блондин, другой - брюнет, третий - рыжий.  Брюнет сказал Белову: «Ни у  одного из нас цвет волос  не соответствует фамилии». Какой  цвет волос у каждого из  них, если брюнеты всегда говорят  правду?

 

Решение:

 

Белов……………блондин

 

Чернов…………..брюнет

 

Рыжов……………рыжий

 

) Эдик, Вася, Андрей и Миша  заняли первые четыре места  в соревнованиях, причем ни  на одно призовое место не  было двух претендентов. На вопрос, какие они заняли места, мальчики честно ответили:

 

) Андрей - «Я не был последним»;

 

) Вася - «Я занял второе  место»;

 

) Эдик - «Я занял ни первое, ни третье место».

 

Какие места заняли мальчики?

 

Решение

 

Эдик мог занять только 4-е место, Андрей - 1-е или 3-е, тогда  Миша - 3-е или 1-е.

 

Э…………..1

 

В…………..2

 

А…………..3

 

М………….4

 

) Три клоуна Бим, Бом  и Бам вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же трех цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, но в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

 

Решение

 

Бим…………красные туфли

 

Бом…………зеленые туфли

 

Бам…………синие туфли

 

красная рубашка зеленая  рубашка синяя рубашка

 

Бом может быть только в  синих туфлях, тогда Бим в красных  туфлях и в красной рубашке. Теперь Бам может быть только в синей рубашке, тогда Бом в зеленой.

 

Рассмотрим еще одну серию  задач, достаточно сложных для пятиклассников, которые часто встречаются на олимпиадах. Чтобы научить решать школьников эти задачи, нужно начать с такой вспомогательной задачи.