Окружность, вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника

В 2009 году при введении ЕГЭ в штатный режим в нормативные документы, регламентирующие разработку содержания и проведение экзамена, внесены определенные изменения. Познакомиться с документами, регламентирующими разработку ЕГЭ 2009 г. по математике, можно на портале информационной поддержки проекта «Единый Государственный Экзамен» http://ege.edu.ru. Рассмотрим задачи [19].

2009. В11.

1. Основание равнобедренного  треугольника равно 24 см, а его  площадь равна . Найдите расстояние между центром описанной около треугольника окружности и центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение:

            Рис. 4.

Пусть в треугольнике , . Поскольку площадь треугольника равна 108, то высота B прямоугольном треугольнике , , следовательно, и .

 По следствию из  теоремы синусов  , где — радиус окружности, описанной около треугольника . Получаем: .

Радиус г окружности, вписанной  в треугольник , равен , где — полупериметр этого треугольника. Поскольку и' , то . Расстояние между центрами рассматриваемых окружностей , где , и . получаем .

Ответ: 7,5.

2. Основание равнобедренного треугольника равно 16 см, а высота, проведенная к основанию, равна 6. Найдите расстояние между центром описанной около треугольника окружности и центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Ответ: 5.

3. Из точки  к окружности, радиус которой равен 4 см, проведены касательная, касающаяся окружности в точке , и секущая, проходящая через центр окружности и пересекающая ее в точках и так, что . Точка - середина дуги окружности. Найдите площадь треугольника .

Ответ: 8.

4. Из точки  к окружности, радиус которой равен 6 см, проведены касательная, касающаяся окружности и пересекающая ее в точках и так, что и см. Точка делит дугу окружности в отношении . Найдите площадь треугольника .

Ответ: 9.

5. Равнобедренная трапеция  описана около окружности. Боковая сторона трапеции равна , а основания относятся как . Найдите площадь трапеции.

Ответ: 80.

6. Диагональ равнобедренная  трапеция  равна , а средняя линия трапеции равна 2. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 8.

7. В ромбе  угол – острый, причем . Высота , проведенная к стороне пересекает диагональ в точке . Найдите , если площадь ромба равна 80.

Ответ: 5.

8. Длины боковых сторон  трапеции равны 6 и 10. Известно, что в трапецию можно вписать  окружность, а средняя линия делит  ее на части, площади которых  относятся как 5:11. Найдите длину  большего основания трапеции.

Ответ: 14.

9.  Площадь равнобедренной  трапеции, описанной около окружности, равна 15. Найдите среднюю линию  трапеции, если косинус острого  угла при ее основании равен .

Ответ: 5.

10. В треугольнике  проведены медианы и . Точки принадлежат, соответственно сторонам , , , причем , и . Найдите площадь треугольника , если площадь треугольника равна 32.

Ответ: 6.

 

По сравнению с ЕГЭ 2009 года общее число заданий экзаменационной  работы 2010 года уменьшено, в то же время число заданий с кратким ответом и с развернутым ответом увеличено. Задания с выбором ответа отсутствуют. Экзаменационный вариант состоит из двух частей. Задание С4 - планиметрическая задача, Рассмотрим примеры [26].

2010. С4.

1. Точки и — основания высот непрямоугольного треугольника , проведенных из вершин и соответственно. Известно, что . Найдите сторону .

Решение:

Из точек и торона видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром . Обозначим .

1. Если треугольник остроугольный (рис. 5), то основания высот и лежат на сторонах треугольника. Тогда четырехугольник — вписанный, поэтому.

         Рис. 5.

Треугольники и подобны (по двум углам) с коэффициентом

т.е. . Тогда по теореме косинусов

2. Пусть теперь треугольник тупоугольный и, например, тупой (рис.6).

Тогда четырехугольник вписанный, и аналогично предыдущему получаем: и

              Рис. 6.

3. Аналогичный ответ получаем в случае, когда тупой.

Пусть теперь (рис. 3). Тогда основания высот и лежат на продолжениях сторон и . Вписанные углы и опираются на одну и ту же дугу, поэтому

 

Треугольники и подобны (по двум углам) с коэффициентом

 

т.е. . Тогда ^.

 Ответ:

2. В параллелограмме известны стороны , и . Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников и .

Ответ:

3.  Высоты треугольника  пересекаются в точке . Известно, что отрезок равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол .

Ответ: 60⁰ или 120⁰.

4. В треугольнике  проведены высоты и , – центр окружности, касающийся стороны и продолжений сторон и . Известно, что , . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника .

Ответ: или 12.

 

В 2011 году на выполнение всей экзаменационной работы из 18 заданий отводится (как и в прошлые годы) 4 часа (240 минут). Рассмотрим демонстрационный вариант 2011 года.

2011. С4.

На стороне  угла , равного 30˚ , взята такая точка что и . Найдите радиус окружности, проходящей через точки , и касающейся прямой C.

Решение.

Центр искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку . Обозначим середину отрезка , – основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую , – точку

пересечения серединного  перпендикуляра с прямой (см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой следует, что отрезки , и равны радиусу окружности. Заметим, что точка не может лежать по ту же сторону от прямой , что и точка , так как в этом случае расстояние от точки до прямой меньше, чем расстояние от нее до точки . Из прямоугольного треугольника с катетом и находим, что . Так как и , получаем и, следовательно,

Из прямоугольного треугольника в котором , находим: точку перпендикулярно , пересекает прямую в точке , а окружность вторично – в точке . Тогда

,

 

Если  – радиус окружности, то . По теореме о двух секущих

, то есть , откуда находим, что

Рис. 7.

 

Рассмотрим демоверсию 2012 года ЕГЭ.

2012. С4.

Четырехугольник описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямые и пересекаются в точке . Найдите периметр треугольника , если известно, что и .

Решение.

Возможны два случая (см. рис. 8.).

1 случай. Четырехугольник  описан около окружности, следовательно,

Четырехугольник вписан в  окружность, значит, Но откуда следовательно, с коэффициентом подобия

Обозначим через  периметр треугольника, тогда периметр треугольника равен

 

Поскольку , далее получаем: откуда

                       Рис. 8.

2. случай.  Аналогично случаю 1 имеем:

  откуда

Ответ: или