Окружность, вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника

3. Содержательная  часть

· Последовательный перечень тем с их кратким содержанием, указанием времени, необходимого на их изучение.

· Список демонстраций, практических и лабораторных работ, экскурсий.

4. Методическая  часть

· Методические рекомендации.

· Требования к уровню знаний, умений и навыков, полученных в результате обучения.

· Критерии эффективности  реализации программы.

· Формы и методы контроля.

· Список рекомендуемой литературы.

5. Приложение

· Тематическое планирование.

· Дидактический материал.

6. Экспертиза  программы

Итак, разработка элективного  курса – это трудно, так как  необходимо придерживаться ряда правил, а так же иметь большой запас  знаний и умений.

 

1.5 Формы занятий и контроль знаний на элективных курсах по математике

Введение профильного  обучения, а особенно элективных курсов, в программу старшей школы, несомненно, потребует разнообразия форм и методов  обучения, так как профильное обучение – это не только дифференцирование  содержания образования, но, как правило, и по-другому построенный учебный  процесс.

При выборе форм и приёмов  обучения на элективных курсах необходимо учитывать содержание курса, уровень  развития и подготовки учащихся, их интерес к тем или иным разделам программы.

Одно из главных требований к формам и методам состоит  в активизации мышления учащихся, развитии самостоятельности в различных  формах её проявления.

Выделим возможные формы организации занятий элективного курса – это лекции, беседы, дискуссии, групповые соревнования, игры, индивидуальные консультации, теоретические практикумы по решению задач, практическая и исследовательская работа в группах и индивидуально, дистанционное обучение и создание проектов. При этом дифференцированный подход к обучению учащихся осуществляется за счет выбора задач, различных уровней сложности.

В конце изучения каждой темы может быть проведено зачетное занятие в форме игры или мини-олимпиады. Контроль по изучению всего материала может быть осуществлен через творческое задание по составлению задач и проверочные тесты.

Итогом освоения программы  элективного курса может также  являться констатация личных достижений по освоению содержания, представление  индивидуальной творческой работы по выбору учащихся или создание проектов, как каждым учащимся, так и группой учащихся. При этом может быть организован круглый стол – как презентация творческих работ, проектов и подведение итогов.

Таким образом, из всего вышесказанного можно сделать вывод, что каждое занятие элективного курса –  это тот же самый урок, требуемый  подготовки, отличных знаний изучаемого материала, поиск дополнительных интересных сведений и фактов и др.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Разработка элективного курса «Окружность, вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника».

 

2.1 Анализ учебной литературы.

Особенности изложения  темы в учебнике Л.С.Атанасяна и  др. [4 ].

Тема «Вписанные и описанные  окружности» рассматривается в  двух пунктах в конце 8 класса в  главе «Окружность».  Первой изучается  «Вписанная окружность». Авторы сразу  же дают определение окружности, вписанной  в многоугольник, и многоугольника, описанного около окружности. Приводят примеры. Доказывается теорема: В любой треугольник можно вписать окружность (стр.182). После этого авторы  делают  два важных замечания:

1. В треугольник можно вписать только одну окружность.
2. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Если же в четырехугольник  можно вписать окружность, то его  стороны обладают следующим замечательным  свойством: В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Доказывают это свойство. Оказывается, верно и обратное утверждение, доказательство которого приводится в задаче 724 (стр. 184-185).

При рассмотрении описанной  окружности дается определение окружности, описанного около многоугольника и  многоугольника, вписанного в эту  окружность. Доказывается теорема: Около любого треугольника можно описать окружность. Замечания:

1. Около треугольника можно описать только одну окружность.
2. Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Первое замечание автор  доказывает методом от противного, второе – предлагается доказать учащимся.

Свойство «В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180˚» доказывается, так же доказывается обратное ему в задаче 729 (стр. 190-191).

Авторы предлагают учащимся решить 22 задачи (№ 689-711 стр. 185-187), а также даются дополнительные 26 задач (№ 712-737 стр. 188-191).

В главе «Длина окружности  и площадь круга» в параграфе  «Правильные многоугольники», который  изучается в 9 классе рассматриваются  еще два пункта «Окружность, описанная  около правильного многоугольника»  и «Окружность, вписанная в правильный многоугольник». В первом пункте авторы напоминают определение описанной  около многоугольника окружности и  доказывается теорема (стр. 275-276): Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Во втором пункте авторы так же напоминают определение окружности, вписанной в правильный многоугольник  и доказывают теорему (стр. 276-277):

В любой правильный многоугольник  можно вписать окружность, и притом только одну. Следующие два следствия даны без доказательства:

1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
2. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

В следующем пункте Л.С.Атанасян и др. выводят формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной  окружности (стр. 278-279). Дальше авторы описывают  на двух примерах построение правильных многоугольников с помощью циркуля  и линейки, в частности, строят правильный шестиугольник, если известна сторона, и правильный 2n-угольник, если дан n-угольник. В замечании предлагается учащимся самим построить правильный

семнадцатиугольник с  помощью циркуля и линейки, но при этом учесть, что правильный семиугольник нельзя поострить с  помощью этих инструментов.

Для решения предложено 22 задачи и 18 дополнительных задач, 4 из которых задачи на построение.

Данный учебник рекомендован Министерством Образования РФ, занял  первое место на Всесоюзном конкурсе учебников по математике для средней  общеобразовательной школы в 1988г. По моему мнению, он является незаменимым  для учителей общеобразовательных  и специализированных школ, лицеев, абитуриентов и студентов колледжей  и вузов, репетиторов.

 

  Особенности  изложения темы в учебнике  А.В.Погорелова [5].

Впервые тема «Вписанные и  описанные окружности» рассматривается  в конце 7 класса, в параграфе «Геометрические  построения».  В пункте «Окружность, описанная около треугольника»  автор дает определение описанной  окружности, рассматривает теорему: Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон. После доказательства данной теоремы, автор делает замечание, в котором дается определение серединного перпендикуляра. В задаче 6 (стр. 56) идет доказательство утверждения: Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются.

В пункте «Окружность, вписанная  в треугольник» аналогично даются определение  окружности, вписанной в треугольник  и доказывается теорема (стр. 57): Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

 Для окружности, описанной  около треугольника Погорелов  А.В. предлагает учащимся решить  одну, при чем ту же задачу, которую он доказал выше, т.е. задачу 6:  Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются. Для окружности, вписанной в треугольник предложена так же одна задача: Окружность, вписанная в треугольник , касается его сторон в точках . Докажите, что .

Вторая задача дана в виде комбинации окружности, вписанной в  треугольник и описанной около  треугольника: Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают.

В параграфе «Многоугольники», который изучается в 9 классе, в  пункте «Правильные многоугольники»  даются определения правильного  многоугольника, многоугольников, вписанных  в окружность и описанных около  окружности. Доказывается теорема(стр. 171-172): Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.

Для решения дает всего 4 задачи двух типов: на вычисление и доказательство.

В следующем пункте выводятся  формулы для радиусов вписанных  и описанных окружностей правильных многоугольников. Далее подробно описано  как построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, коротко  написано о построении правильных треугольника, квадрата, вписанных в окружность и правильных многоугольников и 2n-угольник, описанных около окружности.

Учебник рекомендован Министерством  образования РФ и занял призовое место на Всесоюзном конкурсе учебников  по математике для средней общеобразовательной  школы в 1988 г.

 

Особенности изложения  темы в учебнике И.Ф.Шарыгина [6].

В параграфе «Задачи и  теоремы геометрии», который изучается  в конце 8 класса даются определения  вписанных и описанных четырехугольников. Приводятся и доказываются теоремы (стр. 214-217):

• Для того, чтобы четырехугольник был вписанным, необходимо и достаточно выполнения любого из следующих условий:

1. - выпуклый четырехугольник и ;

2. Сумма двух противоположных углов четырехугольника равна 180˚.

• Для того, чтобы выпуклый четырехугольник являлся описанным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие . (Сумма противоположных сторон равны.)

Далее доказывается теорема, усиливающая утверждение теоремы  выше:

• Пусть в выпуклом четырехугольнике нет параллельных сторон. Обозначим через и точки пересечения прямых и , и соответственно. Будем считать, что точка лежит на стороне , а точка - на отрезке . Для того, чтобы четырехугольник был описанным, необходимо и достаточно выполнения любого из следующих условий:

После чего приводятся 16 задач.

В 9  классе в параграфе  «Длина окружности, площадь круга» в пункте « Правильные многоугольники»  сначала автор дает определение  правильного многоугольника, доказывается утверждение (стр.269): Любой правильный многоугольник является одновременно вписанным и описанным, причем центры описанной и вписанной окружностей совпадают. Рассмотрено свойство периметра правильного вписанного n-угольника (стр. 270-272).

После этого пункта предложено 17 задач.

В данном учебнике, по сравнению  с традиционными учебниками,  уделено больше внимания методам  решения геометрических задач. Система  задач дифференцирована по уровня сложности, кроме того, в теоретической части  есть разделы, предназначенные для  углубленной подготовки. Учебник  входит в Федеральный комплект учебников 1997/98 г.

Проанализировав учебники для  общеобразовательных школ, я пришла к выводу, что в каждом учебнике данная тема рассматривается, но каждый автор излагает по разному. Существенно отличаются учебники по количеству и по уровню сложности задач.

 

2.2 Анализ научно-методической  литературы.

В настоящее время, авторами школьных и вузовских учебников  геометрии, учеными, учителями-практиками разработаны некоторые элективные курсы по геометрии: Геометрические построения на изображениях; Алгебраические поверхности второго порядка (А.Ж. Жафяров); Избранные задачи планиметрии; Треугольники и многоугольники; Геометрия  окружностей; (В.В. Прасолов); Многогранники; Изображение пространственных фигур (И.М. Смирнова, В.А. Смирнов); Математика в архитектуре (H.Л.Стефанова); Векторы  и координаты как аппарат решения  геометрических задач (Е.В. Потоскуев); Геометрическое моделирование окружающего  мира (Е.А. Ермак, P.А. Иванов, В.В. Орлов, И.С. Подходова); Инверсия и её приложение к решению задач (А.В. Дмитриева); Аналитическая геометрия для 10-11 классов (О.Ю. Веслополова и В.Б. Подбельская) [15].

Таким образом, тема «Окружность, вписанная в многоугольник и  описанная около многоугольника»  затронута только В.В. Прасоловым.