Окружность, вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника

 

2. Окружность, вписанная в четырехугольник.

Если окружность вписана  в четырехугольник, то четырехугольник называется описанным около окружности. Он обладает следующим важным свойством: суммы длин противолежащих сторон равны.

.

                        Рис.17.

Отсюда, например, следует, что

1. параллелограмм, описанный около окружности, является ромбом (почему?);
2. средняя линия трапеции, описанной около окружности, равна полусумме боковых сторон.

Поскольку центр вписанной  окружности лежит на биссектрисах углов четырехугольника, то

3) центр окружности, вписанной  ромб, является точкой пересечения его диагоналей;

4) в трапеции (почему?).

Следует помнить, что центр  окружности, вписанной в трапецию, не совпадает с точкой пересечения  диагоналей трапеции.

И еще одно важное свойство ромба и трапеции, описанных около окружности:

5. диаметр окружности является высотой ромба (трапеции).

Задача 1. Площадь круга, вписанного в трапецию, равна , а сумма боковых сторон трапеции равна 20. Найдите площадь трапеции.

Решение.

 По условию задачи

 

Следовательно, Тогда диаметр круга, а значит, и высота трапеции, равна 6. Средняя линия трапеции, описанной около круга, равна полусумме ее боковых сторон, т.е. равна 10. Итак,

 

Ответ: 60.

Задача 2. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Расстояния от центра окружности до концов боковой стороны трапеции равны 6 и 8. Найдите площадь трапеции.

Решение.

 В треугольнике ° (свойство 4), поэтому

 

Пусть точка  — точка касания окружности и стороны . Тогда

 и .

В прямоугольном треугольнике

 

Значит,

Высота прямоугольной  трапеции равна ее меньшей боковой стороне, т.е. диаметру вписанной окружности.

Следовательно, 

Тогда

Ответ: 94,08.

У рассмотренной задачи есть еще одно наглядное решение.

Данную трапецию можно  разбить на два квадрата со стороной, равной радиусу вписанной окружности, и две пары равных треугольников.

Следовательно,

Задача 3. Около окружности радиуса 3 описана равнобедренная трапеция, меньшее основание которой равно 8. Найдите площадь трапеции.

Решение.

 Соединим центр вписанной окружности с вершинами , и трапеции и проведем радиусы и в точки касания окружности с меньшим основанием и боковой стороной.

 Треугольники и равны (почему?), следовательно,

В прямоугольном треугольнике   

 

Треугольники  и подобны (почему?), следовательно,

.

Поэтому .

По условию , следовательно, средняя линия данной трапеции равна стороне , т.е. равна 6,25. Поэтому

.

Ответ: 37,5.

Задача 4. В ромб вписана окружность. Точка касания окружности и стороны ромба делит сторону в отношении 1:5. Площадь ромба равна . Найдите радиус окружности.

Решение.

 Проведем радиус  в точку касания . Пусть , тогда по условию .

Следовательно, в прямоугольном треугольнике

 

т.е.

Отсюда получаем:

Следовательно, .

Ответ: 5.

 

Задания для самостоятельной  работы

1. В ромб вписана окружность Точка касания делит сторону в отношении 1:3, площадь ромба равна .  Найдите радиус окружности.
2. Окружность, вписанная в ромб касается сторон и в точках и , , радиус окружности равен 1,6. Найдите периметр ромба.
3. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания окружности с боковой стороной делит эту сторону на отрезки длиной 1 и 4. Найдите периметр трапеции.
4. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания окружности с боковой стороной делит эту сторону на отрезки длиной 4 и 9. Найдите площадь трапеции.
5. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Один из углов трапеции равен 60°, а ее площадь равна Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.
6. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Боковая сторона трапеции равна 13, а одно из оснований равно 8. Найдите площадь трапеции.
7. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Средняя линия трапеции равна 13, а синус угла равен . Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.
8. В трапецию, боковые стороны которой равны 6 и 8, вписана окружность. Найдите сумму квадратов расстояний от центра окружности до вершин трапеции.
9. В трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки 2 и 8. Найдите радиус окружности.
10. Основания равнобедренной трапеции, описанной около круга, равны 3 и 12. Найдите высоту трапеции.
11. В четырехугольник вписана окружность радиуса 1,6, а две его противолежащие стороны равны 3 и 5. Найдите площадь четырехугольника.
12. В ромб вписана окружность. Найдите градусную меру большей из дуг, на которые окружность делится точками касания сторон, если угол ромба равен 37°.
13. Около окружности описана равнобедренная трапеция с углом 30°. Средняя линия трапеции равна 4. Найдите радиус окружности.
14. Расстояния от центра вписанной в прямоугольную трапецию окружности до концов большей боковой стороны равны 6 и 8. Найдите площадь трапеции.
15. Диагонали ромба равны 3 и 4. Найдите радиус вписанного в ромб круга.
16. Отношение оснований равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равно 3. Найдите градусную меру меньшего угла трапеции.
17. Высота равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна половине боковой стороны, площадь трапеции равна 32. Найдите радиус круга.
18. Стороны параллелограмма равны 3 и 2. Прямая, перпендикулярная стороне параллелограмма, делит его на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найдите градусную меру острого угла параллелограмма.

 

3. Окружности, описанные около треугольника и четырехугольника.

При решении задач об окружностях, описанных около треугольника или  четырехугольника, используются следующие факты:

1. Центр описанной окружности  является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (четырехугольника). Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, лежит внутри него, прямоугольного — на гипотенузе (ее середина), тупоугольного — вне треугольника.

2. Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке , то

.

                Рис.22.                                   Рис.23.

3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности равны:

 

Их градусная мера равна  половине градусной меры дуги, на которую  они опираются.

4. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым:

 

                            Рис.24.                                          Рис.25..

5. Теорема синусов:

 

Из свойства 5 легко  получается следующее свойство:

6. Три стороны и площадь  треугольника  связаны с радиусом описанной около него окружности формулой

Действительно, из формулы  получаем:

Умножив обе части последнего равенства на получаем:

 

7. Параллелограмм, вписанный  в окружность, является прямоугольником,  вписанная трапеция является  равнобедренной.

Задача 1. Диагонали четырехугольника , вписанного в окружность, пересекаются в точке , , , , Найдите площадь четырехугольника .

Решение.

  В соответствии с первым из указанных выше свойств имеем:

Тогда , . По формуле

получаем:

 

Ответ: 39.

Задача 2. Треугольник вписан в окружность. Прямая, содержащая медиану , пересекает окружность в точке , , , . Найдите .

Решение.

Так как  — медиана треугольника используя свойство хорд окружности, получаем:

.

Вписанные углы и опираются на одну и ту же дугу, следовательно, равны. Аналогично . Следовательно, треугольники и подобны (почему?).

Из подобия треугольников  следует, что

.

Отсюда получаем:

 

Ответ: 4,8.

Задача 3. В треугольнике . На основании как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны и в точках и соответственно. Найдите .

Решение.

Вписанные углы и опираются на дуги окружности, сумма мер которых равна , следовательно,

. Поскольку и

,

получаем: .

Следовательно, (по двум углам). Из подобия треугольников получаем:

 

Следовательно,

Вписанный угол опирается на диаметр, следовательно,

Тогда и .

В прямоугольном треугольнике , поэтому

 

Следовательно, .

Ответ: 4.

Задача 4. Основание равнобедренного остроугольного треугольника равно 48, а радиус описанной около него окружности равен 25. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.

Решение.

 Пусть треугольник  — данный остроугольный равнобедренный с основанием . Центр описанной окружности (точка лежит на серединном перпендикуляре к основанию , содержащем высоту треугольника. По условию треугольник остроугольный, значит, точка лежит внутри треугольника, т.е. на высоте . При этом — радиусы описанной окружности. В прямоугольном треугольнике

Следовательно,

Радиус вписанной окружности найдем, используя полупериметр и площадь треугольника :

.

 

Центр вписанной окружности (точка ) также лежит на высоте , значит, , поэтому точка лежит на отрезке . Следовательно,

.

Ответ: 5.

Задача 5. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, и катета делит этот катет на отрезки длины 3 и 5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Решение.

Пусть окружность касается сторон треугольника в точках , , , и .

Радиус окружности, вписанной  в данный треугольник, равен 3 (почему?).

Тогда , , .

По теореме Пифагора получаем:

.

Значит, . Итак, .

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности является серединой гипотенузы, следовательно, .

Ответ: 8,5.

Задача 6. Около тупоугольного равнобедренного треугольника описана окружность радиусом 25. Расстояние от ее центра до основания треугольника равно 7. Найдите расстояние от центра окружности до боковой стороны треугольника.

Решение.

Искомое расстояние — длина перпендикуляра , проведенного из точки к стороне Пусть — высота треугольника . Тогда прямо- , угольные треугольники и подобны (почему?), следовательно,

 

Найдем отрезки  и .

Центр окружности, описанной около тупоугольного равнобедренного треугольника , лежит вне его на прямой , содержащей высоту треугольника. Поэтому

.

В прямоугольном треугольнике

 

 Тогда в треугольнике

.

Итак,

 

Ответ: 20.

Замечание. Поскольку (почему?), отрезок можно было найти по теореме Пифагора как катет треугольника .

Задача 7. Около трапеции описана окружность, центр которой лежит внутри трапеции. Высота трапеции равна 27, а основания равны 48 и 30. Найдите радиус окружности.

Решение.

 Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной. Центр окружности — точка — лежит внутри трапеции на серединном перпендикуляре к ее основаниям.

Пусть , тогда .

Из прямоугольных треугольников  и получаем:

,

.

Отсюда

Следовательно,

Ответ: 25.

 

Задания для самостоятельной  работы

1. Около равнобедренного треугольника с основанием и углом при основании, равным 75°, описана окружность с центром . Площадь треугольника равна 16. Найдите радиус окружности.
2. Около остроугольного треугольника описана окружность с центром . Высоты и треугольника пересекаются в точке , . Найдите угол .
3. Угол треугольника равен 30°. Около треугольника описана окружность радиусом 12. Хорда проходит через середину стороны , . Найдите .
4. Радиусы окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, и окружности, описанной около него, равны 2 и 5. Найдите периметр треугольника.
5. Диагонали трапеции, вписанной в окружность, взаимно перпендикулярны, а средняя линия равна 6. Найдите площадь трапеции.
6. В треугольнике , . Около треугольника описана окружность радиуса , и в него же вписана окружность с центром . Луч пересекает сторону в точке . Найдите .
7. Большее основание трапеции равно 15, синус угла равен . Найдите радиус описанной около трапеции окружности.
8. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 15, а основания равны 7 и 25. Найдите диаметр описанной около трапеции окружности.
9. Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на ее большем основании. Боковая сторона трапеции равна 15, радиус окружности равен 12,5. Найдите площадь трапеции.
10. В равнобедренную трапецию, основания которой равны 4 и 16, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.
11. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно , точка пересечения диагоналей делит высоту трапеции в отношении 1 : 3, а центр описанной окружности лежит на большем основании. Найдите высоту трапеции.
12. В правильный шестиугольник со стороной, равной 12, вписана окружность, в которую вписан правильный треугольник. Найдите сторону этого треугольника.
13. Основание трапеции, вписанной в окружность, является диаметром этой окружности. Средняя линия трапеции равна 5, а диаметр окружности равен 9. Найдите боковую сторону трапеции.
14. Равнобедренный треугольник вписан в окружность. Радиус окружности равен 9, а основание треугольника равно Найдите расстояние от центра окружности до боковой стороны треугольника.
15. Четырехугольник вписан в окружность. Диагональ является биссектрисой угла и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если и .
16. В трапеции с основанием диагональ делит угол пополам, . Найдите площадь трапеции, если радиус описанной около нее окружности равен .