Окружность, вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника

 

4. Окружность, вписанная в многоугольник  и описанная около многоугольника.

Задача 1. Два  угольника вписаны в одну окружность, причем наборы длин их сторон одинаковы, но не обязательно равны соответственные стороны. Докажите, что площади этих многоугольников равны.

Решение. Пусть многоугольник  _{вписан в окружность. Рассмотрим точку ^”}, симметричную точке _{относительно серединного перпендикуляра к отрезку} . Тогда многоугольник _{вписанный и его площадь равна площади многоугольника . Таким образом можно поменять местами любые две соседние стороны, а значит, можно поменять местами любые две стороны. Поэтому к любой стороне можно «подогнать» любую другую сторону, а к ней - любую из оставшихся и т. д. Следовательно, площадь n-угольника, вписанного в данную окружность, зависит только от набора длин сторон, но не от их порядка.}

Задача 2. В окружность вписан выпуклый 7-угольник. Известно, что какие-то три его угла равны 120. Доказать, что найдутся две его стороны, имеющие одинаковую длину.

Решение: Если точки  , лежат на окружности и Ð то отрезок BC виден из центра окружности под углом 120. Поэтому ситуация, когда углы, под которыми видны три диагонали 7-угольника, соответствующие углам 120, не пересекаются, невозможна (помимо этих трёх углов есть ещё угол, под которым видна одна из сторон). Таким образом, два угла 120примыкают к одной стороне. Но тогда соседние с ней стороны равны.

 

Задания для самостоятельной работы

1. Около правильного многоугольника описана окружность и в него вписана окружность. Площадь получившегося кольца равна 64π см². Найти сторону многоугольника.
2. В выпуклом пятиугольника два внутренних угла прямые, остальные относятся между собой как 2:3:4. Найти больший угол.
3. Один правильный шестиугольник вписан в окружность, другой описан около неё. Разность периметров этих шестиугольников равна 12 см. Найти радиус окружности.
4. В правильном шестиугольнике со стороной 10 см на одной из сторон взята точка на расстояние 2 см от ближайшей вершины шестиугольника. Найти расстояние от этой точки до центра шестиугольника.
5. В окружность вписаны правильные треугольник и шестиугольник. Найти отношение площади шестиугольника к площади треугольника.
6. В трапеции биссектриса угла пересекает основание (или его продолжение) в точке . В треугольник вписана окружность, касающаяся стороны в точке и стороны в точке . Найти угол , если известно, что .
7. В окружность вписан четырехугольник , диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке . Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к , пересекает в точке . Найти , если см, см и Ð

 

 

 

 

5. Комбинация окружностей.

Задача 1. Окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом, лежат по одну сторону от некоторой прямой и касаются этой прямой. Найдите радиус окружности, касающейся каждой из двух данных и той же прямой.

Решение.

Перебор вариантов в задаче зависит от расположения точки касания  третьей окружности с прямой относительно точек касания первых двух окружностей  с этой прямой. Рассмотрим первый случай касания искомой окружности с  центром O₃ , радиуса и двух данных окружностей (см. рис. 6). Тогда MP = MK++ KP. Так как отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов r и R равен , то имеем

Второй случай  рассмотрите  самостоятельно.

Ответ: 1,44 или 36.

Задача 2. Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей раины 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34.

Решение.

Пусть центры окружностей  — точки  и , а и — точки касания. Проведем через точку прямую, параллельную . Точку пересечения этой прямой с обозначим . Треугольник — прямоугольный.

Возможны два случая расположения окружностей и общей касательной.

Случай 1. Окружности лежат  по одну сторону от касательной.

                          Рис. 33

Случай 2. Окружности лежат  по разные стороны от касательной.

                          Рис. 34.

Обозначим радиусы окружностей  и , расстояние между центрами окружностей . В первом случае  во втором случае . Из прямоугольного треугольника   находим:

в первом случае

 

во втором случае

 

Ответ: 30 или 16.

Задача 3. Две окружности радиусов и имеют внешнее касание. Найти радиус окружности, касающейся первых двух окружностей и третьей окружности, имеющей с первыми двумя общий диаметр и касающийся их.

Решение.

                 Рис. 35.

Радиус третьей окружности с центром в точке  равен а радиус четвертой окружности с центром в точке обозначим через . Если положить , то по теореме косинусов из треугольника получаем

 

А из треугольника находим

 

Из этих отношений следует 

 

 

 

Задания для самостоятельной работы.

1. Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках и . Найдите расстояние между центрами окружностей, если .

Ответ: 21 или 9.

2. Окружности  с центрами  и касаются внешним образом в точке . Прямая касается этих окружностей в различных точках и соответственно. Найдите угол , если известно, что .

Ответ: 45˚.

3. Две окружности радиусов корень из 5 и корень из 17 имеют общую хорду , длина которой равна 2. Через точку проведён диаметр большей окружности, причём прямаявторично пересекает меньшую окружность в точке . Найдите площадь треугольника .

Ответ: , .

 

 

 

Приложение 2.

 

Экзаменационная модель ЕГЭ  по математике отрабатывалась в течение  первых пяти лет эксперимента. Так, в 2002 году работа по математике состояла из трех частей и содержала 25 заданий, на выполнение которых отводилось 3,5 ч (210 минут).  Часть 1 включала 13 заданий  базового уровня, часть 2 – 9 заданий  повышенного уровня,  часть 3 состояла из 3 заданий высокого уровня сложности. В работу было включено 23 алгебраических и 2 геометрических задания (планиметрическое и стереометрическое). Рассмотрим пример из демонстрационного варианта ЕГЭ [10].

2002. В8.

1. Найдите площадь прямоугольного  треугольника, если радиусы вписанной  в него и описанной около  него окружностей равны соответственно 2 м и 5 м.

1) Так как центр описанной окружности совпадает с половиной гипотенузы, а радиус равен

  м.

            Рис. 1.

2) В силу формулы , имеем:

.

3) По теореме Пифагора:

.

4) Решим систему:

5) таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна:

.

Ответ: 24.

 

В 2003 г.  число заданий в работе было увеличено до 30, а время выполнения – до 4 часов. Задач на тему «Окружность, вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника» в демонстрационных вариантах ЕГЭ не встречалось [10]. ЕГЭ состоял из 26 заданий 3 из которых геометрические (одно – планиметрическое, два – стереометрических).

 

Уменьшилось число  заданий в вариантах КИМ 2004 г. до 27 одно из которых планиметрическое. Рассмотрим примеры из различных вариантов ЕГЭ [20].

2004.  В9.

1. В четырехугольнике  серединные перпендикуляры к сторонам и пересекаются в точке , являющейся серединой стороны . Найдите длину стороны , если см, а угол равен .

                    Рис. 2.

Решение:

 Точка  равноудалена от всех вершин четырехугольника (по свойству серединного перпендикуляра к отрезку и так как она – середина стороны ). Поэтому вокруг можно описать окружность, центр которой будет лежать в точке то есть – диаметр этой окружности. Проведем диагонали и . Так как угол опирается на диаметр, то он равен . Следовательно, угол равен . Углы и – вписанные, опирающиеся на одну дугу. Значит, они равны. Треугольник – прямоугольный, а катет противолежит углу, равному . Следовательно, см.

Ответ: 10.

2. В треугольнике  проведены высоты и , пересекающиеся в точке Вокруг треугольника описана окружность. Мера дуги равна 60⁰. Найдите меру угла треугольника .

Ответ: 30.

3. В треугольнике  проведены высоты и , пересекающиеся в точке . Вокруг треугольника ВН описана окружность. Мера дуги  равна . Найдите меру угла треугольника .

Ответ: 60.

4. В треугольнике  проведены высоты и , пересекающиеся в точке Вокруг треугольника описана окружность. Мера дуги  равна . Найдите меру угла треугольника .

Ответ: 60.

5. В треугольнике  проведены высоты и , пересекающиеся в точке Вокруг треугольника ВН описана окружность. Мера дуги  равна . Найдите меру угла треугольника

Ответ: 30.

6. В треугольнике  на стороне как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны и в точках и соответственно. Угол треугольника равен . Найдите угол .

Ответ: 40.

7. В треугольнике  на стороне как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны и в точках и соответственно. Угол треугольника равен . Найдите угол .

Ответ: 40.

8. В треугольнике  на стороне как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны и в точках и соответственно. Угол треугольника равен . Найдите радиус окружности, описанной возле треугольника  , если радиус окружности, описанной возле треугольника , равен см.

Ответ: 4.

9. В треугольнике  на стороне как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны и в точках и соответственно. Угол треугольника равен . Найдите длину , если длина равна см.

Ответ: 4.

10. В треугольнике  на стороне как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны и в точках и соответственно. Угол треугольника равен . Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника  равна 4.

Ответ: 8.

 

В КИМах 2005, 2006 годах задания уменьшились до 26: 10 заданий в части А (геометрическое задание отсутствует), 11 заданий в части В (одно из заданий стереометрическое, а второе – планиметрическое) и 5 заданий в части С (одно из них стереометрическое). Для решения планиметрической задачи не нужно применять знаний по теме «Окружность, вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника».

 

В демонстрационной версии 2007 года ЕГЭ из 24 заданий (в части А 10 заданий, в части В – 9) всего одно задание геометрическое (стереометрическое), оно одно из 5 заданий части С.

 

Структура вариантов КИМ была сохранена в 2008 году: не изменилось число заданий в работе (26) и распределение их по трем частям, назначение и уровень сложности, а также время выполнения работы (4 ч).

2008. В11. [13].

1. Четырехугольник  вписан в окружность. Лучи и пересекаются в точке , а лучи и – в точке . Найдите угол , если .

Решение:

             Рис. 3.

Обозначим , тогда по свойству противолежащих углов вписанного четырехугольника .

Поскольку - внешний угол треугольника , то  . Аналогично - внешний угол треугольника CDK, поэтому

Отметим, что углы равны, как вертикальные.

Поэтому, вычитая из второго  равенства первое получим

.

Но по условию .

Следовательно, .

Ответ: 60.  

2. Четырехугольник  вписан в окружность. Лучи и пересекаются в точке , а лучи и – в точке . Найдите угол , если .

Ответ: 60.

3. Отрезок  – общая хорда двух окружностей. Хорда первой окружности лежит на касательной ко второй окружности, а хорда второй окружности лежит на касательной к первой окружности. Найдите длину хорды , если

Ответ: 6.

4. Отрезок  – общая хорда двух окружностей. Хорда первой окружности лежит на касательной ко второй окружности, а хорда второй окружности лежит на касательной к первой окружности. Найдите длину хорды , если

Ответ: 6.

5. В треугольнике  проведены медианы и . Точки принадлежат, соответственно сторонам , , , причем , и . Найдите площадь треугольника , если площадь треугольника равна 16.

Ответ: 2,25.

6. В треугольнике  проведены медианы и . Точки принадлежат, соответственно сторонам , , , причем , и . Найдите площадь треугольника , если площадь треугольника равна 32.

Ответ: 6.

7. В трапеции  с основаниями и точки принадлежат, соответственно сторонам , , , причем . Четырехугольник – параллелограмм, стороны которого параллельны диагоналям трапеции. Найдите отношение площади параллелограмма , к площади трапеции .

Ответ: 0,375.

8. В квадрате  точка – середина стороны . Из вершины на отрезок проведен перпендикуляр . Найдите длину отрезка если сторона квадрата равна 10.

Ответ: 10.

9. Найдите периметр равнобедренного  треугольника, если радиус вписанной  в него окружности равен 3, а  высота, проведенная к основанию,  равна 8.

Ответ: 32.

10. В равнобедренном треугольнике, периметр которого равен 12, высота, проведенная к основанию, равна  3. Найдите радиус окружности, вписанной  в данный треугольник.

Ответ: 1,125.