Окружность, вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника

Итак, можно констатировать, что ЭК по геометрии востребованы на практике; имеется опыт их проектирования и реализации в условиях профильного  обучения математике, проведены ряд  исследований. Однако, нами не обнаружено конкретных программ элективных курсов по теме «Окружность, вписанная в  многоугольник и описанная около  многоугольника».

 

 

2.3 Пояснительная записка.

Одной из актуальных задач, стоящих перед  обществом и государством является формирование государственной системы  объективного контроля качества образования. С 2001 года на территории РФ проводят Единый Государственный Экзамен.

Однако именно при подготовке к ЕГЭ очень видны проблемы изучения геометрии в школе. Самыми трудными заданиями по математике на экзамене являются геометрические задачи. Это объясняется и нынешней школьной программой по геометрии с малым количеством часов, отведенных геометрии, и, как следствие этого, недостаточным вниманием к планиметрическим задачам со стороны учителей. Согласно планированию, планиметрию в школе заканчивают изучать в 9 классе, поэтому к 10-11 классу ученики ее забывают. Это видно из того, что на ЕГЭ ученики даже не начинают решать планиметрическую задачу, а стереометрическая задача зачастую тоже сводится к решению нескольких планиметрических задач, и, как следствие, ребята теряют баллы.

Цель данного курса: помощь учащимся  в подготовке к ЕГЭ, обобщить и систематизировать знания по теме «Окружность, вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника».

Задачи курса:

1. Систематизировать ранее полученные знания по решению планиметрических задач на окружности, вписанные в многоугольник  и описанные около многоугольник;
2. Углубление содержания базового курса;
3. Получить дополнительную подготовку к ЕГЭ;
4. Развитие устойчивого интереса учащихся к изучению математики;
5. Развитие логического мышления учащихся, обогащение и расширение математического кругозора учащихся.

Форма обучения: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Формы организации  учебных занятий: семинары, практикумы.

Основное внимание уделяется  решению задач разных уровней  сложности.

В заключении курса предполагается самостоятельная работа на решение  задач, предлагаемых в ЕГЭ.

Форма контроля: Самостоятельная работа.

Для элективного курса  «Окружность, вписанная в многоугольник  и описанная около многоугольника»  не существует определенного учебного пособия. Поэтому основными источниками  будут являться задачи из материалов КИМа ЕГЭ.

Планируемые результаты курса: В рамках данного курса учащиеся должны уметь решать задачи на окружности, вписанные в треугольник и описанные около треугольника; на окружности, вписанные в четырехугольник и описанные около четырехугольника; окружности, вписанные в многоугольника и описанные около многоугольника.

 

2.4 Содержательная часть курса.

Тематическое планирование учебного материала.

№ занятия	Содержание материала	Количество часов
1	Окружность.	1
2-3	Окружность, вписанная в  треугольник	2
4-5	Окружность, описанная около  треугольника	2
6-7	Окружность, вписанная в  четырехугольник	2
8-9	Окружность, описанная около  четырехугольника	2
10-11	Комбинация окружностей; окружность вписанная в многоугольник  и описанная около многоугольника.	2
12	Самостоятельная работа	1
13	Итоговое занятие	1

 

 Окружность.

«Поэзию следует  искать не в сочетаниях слов,

а в атмосфере, которую создают сочетания»

(Э.Верхарн)

Первый урок на данном элективном курсе проводится в виде диалога, беседы.  Занятие проводится в форме проверки остаточных базовых знаний. На уроке используются готовые рисунки к утверждениям, можно в виде компьютерной презентации. Рассматриваемые темы: Окружность и его элементы; Свойство биссектрисы угла; Касательная к окружности и его свойства, свойства отрезков касательных, проведенных из одной точки; Свойство центральных и вписанных углов окружности; Свойство отрезков двух пересекающихся хорд. Во время урока класс делится на 2 группы, команды составляют теоретические вопросы по данным темам. Затем одна группа задает другой по их выбору любой вопрос. За правильные ответы ребята получают баллы.

Окружность, вписанная  в треугольник.

«Простота – одно из главных качеств красоты»

(Д.Дидро)

Повторение теории по теме «Окружность, вписанная в треугольник». Ребята вспоминают теорему об окружности, вписанной в треугольник, формулу выражения площади треугольника через радиус вписанной окружности. На перовм занятии следует решить задачи № 1 – 3 п.1, так как эти задачи нарастающей трудности, так же прорешать № 9, 10 (2008.В11). На втором занятии решение задач № 4,5 п.1 и 1 (2010.С4). На домашнюю работу ребятам можно задать решить любые из 25 задач без готового решения.

Окружность, описанная  около треугольника.

«Воображение  творит красоту»

(Б.Паскаль)

Обсуждение решений наиболее трудных задач прошлого занятия  и домашней работы. На первом занятии идет повторение теоретических фактов по теме «Окружность, описанная около треугольника», в частности теоремы об окружности, описанной около треугольника; Следствие из теоремы синусов о радиусе окружности, описанной около треугольника; Формула выражение площади треугольника через радиус описанной окружности. Решение задач  № 2, 3 п.3, 2-5(2004.В9) и № 1,9 (2009.В11). Для самостоятельного решения предлагаются любые из 18 задач без готового решения.

Окружность, вписанная  в четырехугольник.

«Хорошая задача будит не только наш разум, но и  наши эмоции»

(В.Произволов)

Повторение теоретического материала: Свойство и признак описанного четырехугольника; Площадь описанного четырехугольника. Решение задач № 1-4 п.2. и №1, 2 (2008.В11). Дома ребятам предлагается решить любые 3 из 18 задач.

Окружность, описанная  около четырехугольника.

«Быть может, высший класс в математике – когда

Понять задачу может каждый, но никто не в силах  ее одолеть»

(А.Сойфер)

В начале занятия ребята повторят свойство и признак вписанного четырехугольника и его применение при решении задач; формула Герона, для четырехугольника, около которого можно описать окружность. Решение задач № 1, 7 п.3, 1(2004.В9), 1 (2012.С4)

Окружности. Окружность и многоугольник.

«Поэзия – это  разновидность вдохновенной математики».

(Э. Паунд)

На уроках рассматриваются  комбинация окружностей; окружность вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника; формулы вычисления площади вписанного многоугольника и площади описанного многоугольника. Решение задач № 1, 2  п.4, № 1, 2 п.5  а так же любые из 7 задач для самостоятельного решения пункта 4 и №1 п.5.

Самостоятельная работа.

 Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума –

это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так  же

неисчерпаем, как  и вселенная. Окружность – душа геометрии.

Познайте окружность, и вы не только познаете душу

геометрии, но и  возвысите душу свою

(К. Птолемей)

Урок проводится в виде выставки. Учащиеся предлагают вниманию найденные или понравившиеся  на занятиях задачи, самые красивые, на их взгляд. К занятию готовятся  презентации, готовая наглядность. Затем им предлагаются фишки разных цветов, с помощью которых они  «голосуют» за понравившуюся задачу.

 

2.5 Методическая часть курса.

В начале каждого занятия обычно 5-10 мин. идет обсуждение решений наиболее трудных задач прошлого занятия и домашней работы. Последовательность заданий составлена так, что при определенной организации учебного процесса школьники будут приобщаться к исследовательской деятельности и самим выводить новые свойства из уже изученных. Потому полезно выделять время для индивидуальной работы учащихся. Приведем пример одного из занятий.

Тема: Окружность, вписанная в треугольник.

Тип: Комбинированный урок.

Цели: 1. Систематизация знаний учащихся по теме «Окружность, вписанная в треугольник»;

2. Углубление знаний по данной  теме;

3. Отработка навыков решения задач  части «С4» ЕГЭ;

4. Обобщение и закрепление полученных знаний.

Оборудование: линейка, циркуль, карточки, интерактивная  доска.

План  урока.

Организационный момент (3 мин.)

Блиц  – турнир (7 мин.)

Решение задач легкой и средней сложности (8 мин.)

Обобщение теоретических фактов (6 мин.)

Решение задач «С4» ЕГЭ (16 мин.)

Подведение  итогов урока (2 мин.)

Домашнее  задание (3 мин.)

 

Ход урока.

Ход занятия	Деятельность  учителя	Деятельность  учащихся
Организационный момент.	«Здравствуйте, ребята! Сегодня на уроке мы продолжим  повторение темы «Окружность, вписанная  в треугольник».  Сегодня мы углубим  знания по данной теме, ведь значительную долю заданий, включенных в варианты КИМов ЕГЭ, составляют задачи, связанные с окружностью, вписанной в треугольник – произвольный, равнобедренный или прямоугольный. Эпиграфом к нашему сегодняшнему занятию будут  служить слова А. Энштейна «Воображение более важно, чем знание».  Давайте вспомним основные факты, которые нам понадобятся в дальнейшем.	Учащиеся  внимательно слушают учителя. Записывают  в тетрадях число и эпиграф, записанные на доске.
2. Блиц – турнир.	Учитель опрашивает учащихся в виде математического  диктанта. Вопросы блиц - турнира:	Ребята  записывают ответы в своих тетрадях.
	1. Дайте определение понятия треугольник.	1. Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не  лежащих на одной прямой, и  трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.
	2. А что такое окружность?	2. Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости,  равноудаленных от одной, называемой  центром окружности.
	3. Что такое биссектриса?	3. Биссектриса – это луч, который  исходит из вершины угла, проходит  между его сторонами и делит  угол пополам.
	4.  Дайте определение окружности, вписанной  в треугольник?	4. Окружность касается всех сторон  треугольника.
	5.  Где находится  центр окружности, вписанной в треугольник?	5. Центр окружности, вписанной в  треугольник, является точкой  пересечения его биссектрис.
	6. Запишите  формулу нахождения  радиуса окружности, вписанной в  правильный треугольник.	6.  ,
	7. На каком расстоянии находятся точки касания с окружностью до вершины угла?	7. Расстояния  равны.
	«Ребята, а теперь проверим правильность ваших ответов. Я буду читать вопросы, а вы по желанию будете на них отвечать, остальные проверяйте свои ответы».	Проверяют правильность своих ответов.
3. Решение задач легкой и средней сложности.                                                                                 4. Обобщение теоретических  фактов.	«Ребята, решим сначала  легкую задачу.»  Один из учащихся вызывается к доске. Задача 1. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.                 Вторую несложную задачу предлагается решить самостоятельно, но ход решения сначала обсуждается  всем классом. Задача 2. Пусть окружность вписана в треугольник . Тогда расстояние от вершины до точки касания окружности со стороной равно                               Учитель показывает на слайдах иллюстрацию некоторых теоретических фактов. Центр окружности, вписанной в треугольник , есть точка пересечения его биссектрис. Пусть — длины сторон треугольника ; — радиус его вписанной окружности; , , — точки касания окружности со сторонами треугольника и - полупериметр треугольника . Справедливы следующие соотношения, вытекающие из свойств касательных  к окружности, проведенных из одной  точки: а) . б) в треугольниках ,   и образованных отрезками биссектрис треугольника , углы при вершине связаны с углами треугольника следующими соотношениями:	Дети решают задачу в своих  тетрадях и сверяют правильность ее решения на доске. Решение ученика на доске: Ответ: 2.               Обсуждение учащихся: Мы знаем, что центр  вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника, значит . Тогда периметр равен:               Ребята внимательно слушают  теоретические факты, одновременно записывают в тетради.
5. Решение задач «С4» ЕГЭ                                                                                   6.Подведение итогов урока.	«Теперь приступим к решению  задач С4 из ЕГЭ». Учитель раздает карточки с условием задачи и готовым чертежом для экономии времени. «При решении  третьей задачи будем опираться  на уже решенные вторую задачу».  Задача 3. В треугольнике . Точка лежит на прямой причем Окружности, вписанные в каждый из треугольников и касаются стороны в точках и . Найдите длину отрезка . Случай первый: Случай второй:   Чему вы научились? Что нового узнали на этом занятии? Можете ли вы объяснить  решение данных задач однокласснику, пропустившему сегодняшнее занятие?	Ребята получают карточки и предлагают варианты решения, идет обсуждение задачи. Решение: Пусть Тогда       Возможны два случая: 1. Точка D лежит на отрезке  BC. Тогда  2. Точка D лежит вне отрезка BC. Тогда Ответ: или .                     Ребята предлагают свои варианты ответа.
7.Домашнее задание.	Просмотреть конспект занятия, разобрать задачи ещё раз. Решить аналогичные задачи (карточки).  Карточки содержат условие задачи и ответ.  Задачи, вызвавшие затруднение в решении разбираются на следующем занятии вместе с учителем. Задачи в карточке: Задача 1. Чему равен острый вписанный  угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте  в градусах. Ответ: 30. Задача 2. Найдите величину угла . Ответ дайте в градусах. Ответ: 45. Задача 3. В треугольнике  Точка   лежит на прямой так, что Окружности, вписанные в каждый из треугольников и , касаются стороны в точках и	Записывают домашнее задание, забирают карточки домой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

В настоящей работе рассмотрена  важная и актуальная тема, поскольку  в тема «Окружность, вписанная в  многоугольник и описанная около  многоугольника» встречается в вариантах ЕГЭ на уровне С. В результате анализа педагогической, методической, математической литературу мы пришли к выводу, что тема «Окружность, вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника» поверхностно рассматривается на уроках планиметрии в 7-9 классах.

В связи с внедрением в школы элективных курсов, которые способствует систематизации, а, следовательно, углублению знаний, данный курс поможет  учащимся лучше подготовиться к государственному экзамену.

Цель работы достигнута: разработан элективный курс по теме «Окружность, вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника».

В результате были решены следующие  задачи:

1. Проанализирована педагогическая, методическая, математическая литературу  по теме исследования;

2. Уточнены роль, место, цели, функции и требования элективных курсов в профильном обучении;
3. Представлена теоретическая модель проектирования элективных курсов по геометрии и выявлены условия ее успешной реализации на практике;
4. Разработано средство обучения по теме «Окружность, вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника» для элективных курсов в профильном обучении общеобразовательной школы.

 

Я проходила педагогическую практику в МБОУ «Беш – Озекская СОШ» с 16.01.2012 по 18.02.2012  и провела четыре занятия по данному элективному курсу в 11 классе по теме «Окружность, вписанная в треугольник и описанная около треугольника». Перед тем, как проводить опытное преподавание, я изучила соответствующую математическую и методическую литературу.

 

 

Список источников:

1. Адамар, Ж. Элементарная геометрия. Планиметрия. / Ж. Адамар. – М.: Учпедгиз, 1948. Ч.1. – 608 с.
2. Белошистая, А.В. Математика: Тематическое планирование уроков подготовки к экзамену / А.В. Белошистая. – М.: Издательство «Экзамен», 2005. – 256 с. (Серия «ЕГЭ 2005. Поурочное планирование»)
3. Братенкова, Э. М. Курс по выбору  по геометрии для предпропрофильной подготовки в 9 классе «Новые встречи с окружностью» // http://www.it-n.ru
4. Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений /. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.- 11-е изд., доп .- М.: Просвещение, 2001. – 384 с.
5. Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ А.В. Погорелов. – 5-е издание. – М.: Просвещение, 2004. – 224с.
6. Геометрия. Учеб. для  7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ И.Ф. Шарыгин.  – М.: Дрофа, 1997. – 352 с.
7. Глазков, Ю.А. ЕГЭ 2012. Математика. Сборник заданий и методических рекомендаций / Ю.А. Глазков, И.К. Варшавский, М.Я. Ганашвили. – 4-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 367, [1] с. (Серия «ЕГЭ. Задачник»).
8. Гордин, Р.К. ЕГЭ 2012. Математика. Задача С4. Геометрия. Планиметрия. / Под ред. А. Л. Семенова и И.В. Ященко. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2011. – 176 с.
9. Далингер, В.А. курсы по выбору и элективные курсы по математике в системе предпрофильного и профильного обучения / В.А. Далингер // Актуальные проблемы профилизации математического образования в школе и в вузе : сборник научных трудов и методических работ : Арзамас, АГПИ, 2004. – С. 214-222.
10. Демоверсии вариантов ЕГЭ // http://www.alleng.ru/edu/math3.htm
11. Денищева, Л.О. Единый государственный экзамен 2008. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся / Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков, К.А. Краснянская, А.Р. Рязановский, П.В.Семенов // ФИПИ – М.: Интеллект – Центр, 2007. – 240 с.
12. Дмитриева, А.В. «Об элективном курсе «Подготовка к ЕГЭ: Решение текстовых задач»» /  А.В. Дмитриева,  А.Ф. Овчинников // Актуальные проблемы математического образования в школе и педагогическом вузе : Материалы V всероссийской научно-практической конференции 8-10 апреля 2009 г.  / ред. Б.Д. Пайсон.– Барнаул: АлтГПА, 2009. – С. 45–50.
13. ЕГЭ 2008. Математика. Тренировочные задания / Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелова – М.: Эксмо, 2008. – 80 с.
14. ЕГЭ 2012. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2 (С) / И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров, В. С. Паферов, С.Е. Посицельский, А.В. Семенов, А.Л. Семенов, М.А. Семенова, И.Н. Сергеев, В.А. Смирнов, С.А. Шестаков, Д.Э. Шноль, И.В. Ященко; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 215, [1]  с. (Серия «ЕГЭ. Типовые тестовые задания»)
15. Ермолаев, Е.А. Элективные курсы по геометрии в условиях профильного обучения математике в старших классах. // http://www.dissercat.com
16. Жигжитова, О.Б. Элективный курс «Решаем задачи по планиметрии» //  http://www.profistart.ru
17. Звавич, Л.И.  О геометрической составляющей ЕГЭ по математике / Л.И. Звавич,  Е.В. Потоскуев //  Математика в школе. – 2012. – №2. – С. 20-25.
18. Колягин, Ю.М. Профильная дифференциация обучения математике / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федотова // Математика в школе. – 1990. - № 4. – С. 26-28.
19. Корешкова, Т.А. ЕГЭ 2009. Математика. Типовые тестовые задания / Т.А. Корешкова, Ю.А. Глазков, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелова. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. – 78, [2] с. (Серия «ЕГЭ 2009. Типовые тестовые задания»).
20. Корешкова, Т.А. Математика. Тренировачные тесты ЕГЭ 2004 / Т.А. Корешкова, В.В. Мирошкин, Н.В. Шевелова. – М.: изд-во Эксмо, 2004. – 80 с. (Подготовка к ЕГЭ).
21. Корянов, А.Г. Математика. ЕГЭ 2011 (типовые задания С4). Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи). / А.Г. Корянов, А.А. Прокофьев //   http://miet.ru/upload/content/abiturient_ru/EGE/С4.pdf
22. Крысин, Л.П. Толковый словарь иноязычных слов. / Л.П. Крысин. – М.: Эксмо, 2008. — 944 с.
23. Официальный информационный портал Единого Государственного экзамена  //  http://www.ege.edu.ru
24. Перепелкин, Д.Б. Курс элементарной Геометрии. / Д.Б. Перепелкин. – М.: Наука, 1948. – Ч.1. – 343 с.
25. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев : Математика. 5-11 кл. / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – 4-е изд. – М. Дрофа. – 2004. – 320 с.
26. Самое полное изжание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ : 2010 : Маетатика / авт.сост. И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: АСТ: Астрель, 2010. – 91, [5] с. – (федеральный институт педагогических измерений).
27. Скопец, З.А. Геометрические миниатюры. / З.А. Скопец. – М.: Просвещение, 1990. – 223 с.
28. Чаплыгин, В.Ф Подборка задач на «Окружность» / В.Ф. Чаплыгин  // Математика в школе. – 2000. – №7. – С. 37-44.