Формирование логического мышления на уроках математики в начальной школе

Познание совершается  в понятиях, суждениях и умозаключениях, по этому формы логического мышления – это понятия, суждения, умозаключения, индукция и дедукция.

Понятие – форма мышления, отражающая существенные свойства, связи  и отношения предметов и явлений, выраженная словом или группой слов. Понятия являются одной из главных  составляющих любого предмета. В понятии раскрываются существенные стороны явления и их взаимосвязь. Так в курсе окружающего мира учащиеся знакомятся с такими основными понятиями как: «линия горизонта», «живая природа», «неживая природа».

Суждение – является основной формой результатом мыслительного процесса. Суждение – это форма мышления, отражающая связи между предметами или явлениями, это утверждение или отрицание чего-либо. Рассуждение – это работа мыслей над суждением. Система суждений образует умозаключение.

Умозаключение – форма мышления, при которой на основе нескольких суждений, логически связанных высказываний делается определённый вывод.

Индукция и дедукция – это способы производства умозаключения, отражающие направленность мыслей от частного к общему или наоборот. Индукция предполагает вывод частного суждения из общего, а дедукция – вывод общего суждений из частных [34, с.59].

Вывод, который вытекает из всего вышесказанного, заключается  в том, что уже в начальной  школе при построении содержания обучения необходимо предусмотреть всю систему логических приемов мышления, необходимых для работы с планируемыми предметными знаниями, для решения задач, предусмотренных целями обучения. При этом важно отметить, что хотя логические приемы формируются и используются на каком-то конкретном предметном материале, в то же время они не зависят от этого материала, носят общий, универсальный характер. В силу этого логические приемы, будучи усвоены при изучении одного учебного материала, могут в дальнейшем широко применяться при усвоении других учебных предметов как готовые познавательные средства.

Следовательно, при отборе логических приемов, которые должны быть усвоены при изучении какого–то предмета, следует учитывать межпредметные связи. Если какие–то логические приемы мышления были сформированы ранее при изучении предыдущих предметов, то при усвоении данного предмета нет необходимости формировать их заново. Эти приемы просто используются для усвоения данных знаний. Предметом специального усвоения должны быть только такие логические приемы, с которыми учащиеся встречаются впервые.

2.2. Система работы над начальными  приемами  логического мышления  на  уроках математики

Начальное обучение математике предоставляет широкие возможности  для  развития логического  мышления учащихся. Н.Б. Истомина  отмечает, что первоначальные математические знания усваиваются детьми в определенной,  приспособленной к их пониманию, системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого.  При сознательном  усвоении  математических знаний учащиеся пользуются основными операциями мышления в доступном для  них виде: анализом и  синтезом, сравнении, абстрагированием и  конкретизацией, обобщением; ученики делают индивидуальные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает логическое мышление учащихся. Овладение мыслительными  операциями в свою очередь помогает учащимися  успешнее  усваивать  новые  знания.

Познавая  предметы и  явления окружающей действительности, мы  можем мысленно  расчленять предметы или явления на составленные части и  мысленно же соединять  части  в целое.

Многие из приемов  ребенок  может  успешно усвоить  уже  в начальной  школе, если работу вести планомерно и  целенаправленно. Но с чего  начать? В каком  порядке формировать? Естественно, что с любого  логического приема работу начинать  нельзя, так как внутри системы логических приемов мышления существует строго  определенная последовательность, один прием строится  на  другом [28, с.13].

Первое, чему необходимо научить учащихся, это  умение выделять  в предметах свойства. Ученики  обычно выделяют свойства, в то время, как в каждом предмете множество  свойств. Для  этого, чтобы учащиеся смогли увидеть это множество  свойств, полезно показать им прием по выделению свойств в предметах – прием сопоставления предмета с другим предметом, обладающим другими свойствами. Заранее подбирая для сравнения различные  предметы и  последовательно сопоставляя с ними исходный, можно постепенно научить детей видеть в предметах множество таких свойств, которые ранее  были от  них скрыты.

Как  только  дети научаться  выделять  в предметах различные  свойства, можно  переходить  к  следующему  компоненту: формированию понятий об  общих и отличительных  признаках. После этого можно сделать следующий шаг: научить детей отличать  в предметах существенные свойства от  свойств несущественных. При этом использовать, для практических заданий, понятия, доступные пониманию детей. Особенно важно при  этом  показать, что не все общие свойства в предметах являются свойствами  существенными. Следовательно, надо показать, что любое существенное  свойство является общим для данного класса предметов, но далеко не  всякое общее    их свойство является существенным [48, с.52].

Рассмотрим два логических приема: прием сравнения предметов, который дает возможность выделять множество свойств в предметах, и прием изменения свойств, которые позволяет дифференцировать  свойства существенного от свойств несущественных. Эти приемы используются для  ознакомления учащихся с рядом логических понятий: свойства, свойства отличительные, общие и  существенные.

Анализ  учебников  и  программ  показывает, что  действия  сравнения необходимы  учащимся уже  в  начальных классах. Вместе с тем, если его  не  сделать предметом специального усвоения, то оно оказывается не усвоенным большинством  учащихся до  конца учебного  года. Оказалось, что  многие учащиеся не понимают, что  значит сравнивать. Одни просто  отказываются от  ответа, а другие говорят, что сравнивать – это  «сказать, что  больше, а что  меньше».

Наибольшие затруднения  учащиеся испытывают при выборе основания  для сравнения  предметов. Учащиеся часто ориентируются не на общий  признак, а на конкретные количественные или качественные показатели этого  признака.

Начинать работу по формированию приема сравнения надо с выделения  слагающих его действий. Сравнение  будет корректным только  тогда, когда он  используется при  составлении  однородных предметов и  явлений  и  когда  сравнение предполагает умение  выделить  следующие действия:

• выделение признаков  объекта;
• установление  общих признаков;
• выделение  основания  для  сравнения;
• сопоставление объекта по  данному  основанию.

Если учитель уже  научил детей выделять в предметах  общие и  существенные свойства, то  лишь последнее два компонента  будут новыми. Следует подчеркнуть, что сравнение может идти как по качественным характеристикам того или иного свойства (цвет, форма), так и по количественным характеристикам: больше–меньше, выше–ниже и   т.д.

При  количественном  сравнении  необходимо наличие единого  образца, с помощью  которого и  идет  сравнение. Вначале, в качестве  меры, может выступать один из сравниваемых предметов, в котором предварительно выделяются  те  свойства, по которым  эти  предметы  будут сравниваться. На этом основании формируется опосредованное  сравнение  с помощью меры.

В  математике на  основании  сравнения  формируются  такие  понятия  как равенства  и  неравенства. Сравнение  используется для  формирования  представлений  о  геометрических фигурах.

Сравнению, как приему умственной  и учебной  деятельности, ребенка надо  систематически  учить. Н.Ф. Талызина приводит пример работы       Е.Н. Шиловой. Наиболее эффективным оказался метод алгоритмических представлений, т.е. перечень тех действий, которые  ребенок  должен  выполнять, желая сравнить  объект, предлагает следующий план выполнения данной  операции  (на примерах):

• сначала рассмотри оба примера и  все, что знаешь о них, расскажи,
• скажи, чем  примеры  похожи, сходные подчеркни  одной  чертой,
• скажи, чем  примеры  отличаются, разные подчеркни  двумя  чертами,
• подумай и  скажи, чем похожи и  чем  отличаются заданные  примеры [37, с.68].

Я.А. Понамарев отмечает, что значение  сравнения в обучении и развитии младших школьников трудно переоценить. Сравнение – есть  та  мыслительная  деятельность – пишет Н.А. Менчинская – которая непрерывно осуществляется школьниками в процессе  учения. Она предлагает следующий алгоритм сравнения:

• выдели  признак, по  которому  будешь сравнивать,
• обозначать, как этот  признак проявляется  в каждом предмете,
• сравни и сделай вывод: одинаковые или разные предметы по  данному признаку [47, с.22].

Прием сравнения широко используется и при обучении решению  задач.

     Например, учащимся предлагается сравнить задачи на увеличение числа на несколько единиц и задачи на увеличение числа в несколько раз:

Таблица 1

Задачи на сравнение.

После решения каждой задачи учащиеся сравнивают, каким  действием решается та и другая задача: одна – сложением, другая – умножением, а затем сопоставляют способы решения с различиями в условиях задач. Такое сопоставление помогает учащимся лучше осознать смысл выражений «больше на несколько единиц» и «больше в несколько раз» и прочнее установить связь между условием каждой задачи и способом ее решения.

   Подобное сопоставление  применяется по отношению и  к другим примерам и задачам,  имеющим ряд сходных черт и вместе с тем отличающихся чем–то друг от друга.

В объяснительной записке  к программе по математике сказано: «Важнейшее значение придается постоянному использованию сопоставления, сравнения, противопоставления связанных между собой понятий, действий и задач, выяснению сходства и различия в рассматриваемых фактах».

Из приведенных примеров видно, что сравнение основано на анализе и синтезе: необходимо расчленить каждую задачу на составляющие ее элементы, а затем мысленно соединить сходные элементы, выделив при этом существенные различия.

Установление некоторых  сходных черт у предметов и  явлений служит основой для того, чтобы сделать предположение по аналогии о наличии между ними более глубокого и разностороннего сходства. Так, например, после изучения правил сложения и вычитания в пределах 100 учащиеся по аналогии распространяют эти правила и на многозначные числа. Основанием для этого служит сходство выполняемых действий и сходство в десятичном составе слагаемых [38].

При объяснении учащимся новой для них по способам решения  задачи с многозначными числами  часто используется прием аналогии: учитель предлагает решить аналогичную  задачу с небольшими числами, вычисления над которыми можно выполнить устно.

Иногда учащиеся неправильно  пользуются аналогией при отыскании  способа решения задачи, устанавливая сходство между предложенной им задачей  и ранее известной по случайным  внешним признакам. Например, для решения задачи «У школьника было 6 тетрадей – на 2 тетради больше, чем у его сестры. Сколько тетрадей было у сестры школьника?» учащиеся нередко неправильно применяют действие сложения по аналогии с задачей, в которой требуется найти число, на несколько единиц большее данного. При разборе задачи учитель обращает внимание учащихся не только на выражение «на ... больше», но и на его смысл, на то, что оно в первой задаче обозначает, что данное число на 2 больше неизвестного числа, следовательно, неизвестное число на 2 меньше данного.

На основе сравнения  учащиеся делают обобщения. Эти обобщения  касаются как свойств чисел, геометрических фигур, арифметических действий, так  и вычислительных приемов и способов решения задач.

Следующий шаг формирования логического мышления            учащихся – знакомство их с признаками необходимыми и достаточными. Научить  учащихся различать эти признаки не просто, так как объективно их отношения  весьма сложны. Нередко даже  взрослые думают, что  всякий достаточный признак является одновременно признаком необходимым. Фактически  же это  не  так. Прежде всего, необходимо научить детей  выводить следствие из факта принадлежности предмета к данному  понятию. Это  действие связано с понятием необходимых свойств предмета, поэтому его выполнение дает возможность овладеть этой категорией  свойств.

Познакомить  с действием  можно с помощью хорошо известных  учащимся предметов, например, карандаша.