Восстановление расфокусированного изображения

1.1.8. Текстурная сегментация

Уже давно стало ясно, что текстура была бы ценным признаком для сегментации изображений. Однако применению этой идеи на практике препятствовало до сих пор отсутствие надежных и эффективных способов обнаружения и измерения параметров текстуры.

Один из подходов к текстурной сегментации состоит в подсчете некоторой меры зернистости текстуры во всех точках изображения с последующим обнаружением изменений этой меры. Фактически исходное изображение подвергается предварительной обработке с тем, чтобы преобразовать его в яркостное изображение. Основная трудность, связанная с этим подходом, состоит в том, что параметры текстуры измеряются в некотором окне и, следовательно, их значения, полученные в окрестности границы между текстурными областями, являются усредненными. В результате трудно точно локализовать границу между текстурными областями.

Другой подход к текстурной сегментации заключается в обнаружении  переходной зоны между областями  с различной текстурой. Основная идея обнаружения изменения текстуры идентична идее обнаружения яркостного перепада: различие между текстурными областями усиливается во всех точках изображения, а затем контрастированный препарат подвергается пороговому ограничению для локализации текстурных перепадов. Параметры текстуры вычисляются для каждого из четырех сканируемых по изображению смежных блоков размером W´W элементов, и находится сумма модулей перекрестных разностей, а затем выполняется пороговое ограничение для локализации значительных изменений текстуры. Этот метод можно обобщить так, чтобы выполнять вычисление по смежным окнам, объединенным в группы 3´3. Тогда значения признаков текстуры, вычисленные в каждом окне, можно объединить некоторым линейным или нелинейным способом, аналогичным методам контрастирования перепадов яркости по области 3´3.

 

1.1.9. Сегментация формы

В задачах распознавания  изображений часто оказывается  полезным разбить объект сложной  формы на связный набор частей простой, легко описываемой формы. Например, букву “T” можно разбить на связные прямоугольники. Сегментацию формы можно выполнить в два этапа. Сначала объект произвольной формы аппроксимируется набором прямолинейных или криволинейных отрезков.

 

 

Рис. 3.12. Пример сегментации формы

Затем аппроксимированная форма подвергается сегментации  по точкам перегиба. Рисунок 3.12 иллюстрирует сегментацию объектов, имеющих форму многоугольников. Основные правила сегментации достаточно просты: ближайшие точки вогнутости соединяют, образуя “перешейки”, которые затем удаляются из основного тела; процесс продолжается до тех пор, пока все части не окажутся выпуклыми.

1.3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ИЗОБРАЖЕНИЙ

В задачах обработки  изображений последние нередко  интерпретируются как случайные процессы двух переменных, то есть как случайные поля. Это оправдано хотя бы потому, что при формировании изображений практически всегда имеются шумы. Следствием указанной интерпретации является то, что для обработки изображений могут (и в ряде случаев удачно применяются) статистические методы обработки информации.

Это различные методы улучшения изображений (подавление шумов, медианная фильтрация и т.д.), методы пространственной реставрации (винеровская фильтрация, реставрация методом рекурсивной фильтрации и т.д.). Статистические методы позволяют теоретически рассчитывать эффективность некоторых процедур обработки бинарных изображений.

Итак, при статистической интерпретации дискретные изображения  рассматриваются как реализации случайного поля, которому присущи те или иные вероятностные характеристики. Это, в первую очередь, совместный двумерный закон распределения вероятностей, который позволяет теоретически рассчитывать корреляционные функции изображения, необходимые для синтеза винеровских фильтров.

Для задач обработки  изображений наиболее характерен случай, когда имеется конкретная реализация дискретного изображения, а совместный двумерный закон распределения вероятностей неизвестен. В ряде задач указанный закон распределения необходимо оценить по данной реализации. Такая оценка получила название гистограммных признаков второго порядка.

Часто дискретное изображение  рассматривается как специфическое (а именно, двумерное) представление  одномерного случайного процесса, по данным которого и производят оценивание некоторых вероятностных характеристик. Это оценивание одномерного закона распределения вероятностей (получение гистограммы), иногда называемого гистограммным признаком первого порядка (в отличие от гистограммных признаков второго и более высокого порядков). Это также оценивание различных моментов, характеризующих обрабатываемое изображение, причем оценивание указанных моментов может производиться как непосредственно по имеющейся реализации изображения, так и с помощью предварительно полученной гистограммы. Также могут быть оценены значения экстремальных статистик (минимум, максимум), размах и энтропия обрабатываемого массива. Энтропия может быть использована либо как инструментарий для введения различных мер количества информации в изображениях, либо как мера “хаотично-сти” (в том числе и относительная при соответствующей нормировке) данного изображения.

При выделении объектов на изображении, например, путем сегментации, статистический анализ может быть применим к характеристикам выделенных объектов (длине, периметру, площади, ориентации, положению центра масс, распределению ближайших соседей и т.д.).

1.1. Вычисление статистических моментов

Среди множества числовых характеристик изображений, рассматриваемых как реализации случайного поля, выделим несколько наиболее употребительных. Это математическое ожидание (среднее), среднеквадратическое отклонение, коэффициенты асимметрии и эксцесса, энтропия, значения минимального и максимального элементов анализируемого поля и размах (диапазон уровней). Подчеркнем, что здесь и далее речь идет об оценках соответствующих характеристик.

Определение статистических характеристик  начнем с вычисления начальных и центральных моментов. Момент, рассматриваемый относительно начала координат, называется начальным, а относительно математического ожидания – центральным.

В теории вероятностей начальные моменты m_k k-го порядка вычисляются по общей формуле

,  (4.1)

где x_i – некоторое значение дискретной случайной величины X;

p_i = P{X = x_i} – вероятность, с которой случайная величина X принимает значение x_i.

Математическая статистика оперирует с оценками указанных  моментов. Применительно к анализу изображения размером N´N элементов соответствующая формула приобретает вид:

. (4.2)

В терминах математической статистики множество пикселей, составляющих изображение, являются выборкой. Количество использованных для анализа пикселей будем называть объемом выборки (здесь – N_i×N_j).

Начальный момент первого  порядка m₁ называется математическим ожиданием или средним; начальный момент второго порядка m₂ – средним квадрантом; моменты третьего и четвертого порядков используются для вычисления описанных ниже коэффициентов асимметрии и эксцесса.

Отметим, что статистический анализ (вычисление моментов, формирование гистограмм и т.п.) может быть выполнен не только для изображения в целом, но и для любого заданного фрагмента. Существуют и более изощренные приемы. Так, в ряде случаев используется так называемый “анализ по маске”, когда обрабатываются элементы поля, образующие заданную маской конфигурацию. Анализ по маске позволяет определять статистические свойства отдельных объектов изображения, выделенных известными методами, а также произвольно заданных областей. Его программная реализация не встречает серьезных затруднений. Учитывая сказанное, перепишем выражение (4.2), не указывая явно границы суммирования:

,  (4.3)

где sum – количество обработанных пикселей исходного изображения.

 

1.2. Вычисление статистических моментов  
и других статистических характеристик  
с использованием гистограмм

Для вычисления начальных  моментов можно использовать не только само изображение, но и его гистограмму. Рассмотрим случай, когда ширина интервалов гистограммы равна единице, и каждому уровню поля (а их, как правило, 256) соответствует свой столбец гистограммы. В этом случае используется расчетная формула, являющаяся аналогом (4.2),

,  (4.4)

где h – текущий уровень элементов поля;

h_max – максимальный уровень поля;

G_h – высота столбца гистограммы, то есть количество элементов изображения, имеющих уровень h;

sum – количество пикселей, использованных при построении гистограммы (объем выборки).

Очевидно, что

.

Гистограмма с единичным  интервалом сохраняет полную информацию о моментах распределения, поэтому оценки, полученные по формулам (4.3) и (4.4), совпадают (если, конечно, анализируется один и тот же участок).

Если ширина интервала гистограммы  больше единицы, то происходит группировка, и в один интервал “сливаются”  несколько уровней поля. По такой гистограмме можно получить только приближенную оценку моментов.

Центральные моменты u_k в теории вероятностей определяются выражением

 

.

Понятно, что для практического  применения приведенной выше формулы необходимо предварительно оценить среднее значение m₁. Иными словами, в программе потребуется дважды перебирать в цикле элементы поля – первый раз для нахождения среднего, второй раз – для вычисления центральных моментов.

Поэтому для получения центральных  моментов лучше в начале вычислить начальные моменты по одной из вышеприведенных формул, а затем использовать известные выражения для пересчета начальных моментов в центральные:

 

,

,   (4.5)

.

Центральный момент второго порядка u₂ называется дисперсией.

Величина

 

называется среднеквадратическим отклонением.

С центральным моментом третьего порядка u₃ связан коэффициент асимметрии g₁, характеризующий “скошенность” распределения вероятностей

.  (4.6)

Для симметричного (относительно математического ожидания) распределения коэффициент асимметрии равен нулю.

С центральным моментом четвертого порядка u₄ связан коэффициент эксцесса g₂, характеризующий “крутость” распределения:

.  (4.7)

Коэффициент эксцесса нормального  распределения равен нулю. Если кривая плотности вероятностей имеет более высокую и острую вершину по сравнению с нормальным распределением, то эксцесс положителен, если более низкую и пологую – отрицателен.

Удобной мерой, характеризующей  поведение случайной величины (через ее закон распределения) от строгой детерминированности до полной “хаотичности”, является энтропия. Ее применение особенно полезно в случаях асимметричных и/или многовершинных распределений, когда использование таких числовых характеристик, как среднее значение, среднеквадратическое отклонение и моменты высших порядков, теряет всякую наглядность.

Энтропия дискретной случайной величины, она же средняя собственная информация, определяется известным из теории информации выражением:

,   (4.8)

где P_i – как и раньше, вероятность, с которой случайная величина X принимает значение x_i.

Энтропия изображения зависит от количества уровней, а при одинаковом числе уровней – от закона распределения. При равномерном законе распределения (полная “хаотичность”) энтропия достигает максимума, который зависит только от количества уровней:

.  (4.9)

Так, например, энтропия изображения, имеющего уровни от 0 до 255, не может превышать 8.

Степень близости закона распределения к равномерному удобно характеризовать относительной энтропией I/I₀ или величиной

,  (4.10)

которая в теории информации называется избыточностью. Будем использовать второе понятие. При равномерном законе распределения избыточность равна нулю.

Энтропию удобнее всего  вычислять с помощью гистограммы. Подставляя в (4.8) вместо вероятности P_i ее оценку G_h/sum и проводя элементарные преобразования, получаем

.

Так как среди стандартных функций  библиотеки СИ нет двоичных логарифмов, нужно перейти к натуральным.

 

 

Оптимальные стационарные системы. Фильтр Винера

Постановка  задачи синтеза оптимальной системы управления 

 

 

            Решение  задачи оптимизации параметров  очень важно, но оно вызывает чувство неудовлетворенности, связанное с полностью заданной структурой исследуемой системы. Действительно, введем в систему какой-нибудь дополнительный элемент, например интегратор или апериодическое звено. Как при этом изменится суммарная ошибка? Если она окажется меньше, то, может быть, следует ввести еще какие-нибудь звенья? При этом, естественно, возникает вопрос о поиске  наилучшей структуры  системы управления среди всех возможных систем.

Для решения задачи  синтеза оптимальной системы управления перенесем помеху на её вход и представим систему в  виде рис. 32, где W(jw) – произвольная передаточная функция замкнутой  системы управления. Ей  соответствует  импульсная  переходная характеристика h(t).

Рис. 32           

 Будем теперь описывать  возможные  входные сигналы g(t) с помощью реализаций стационарного случайного процесса с заданным математическим ожиданием, дисперсией и корреляционной функцией Rg(t).           

 В такой постановке  показателем качества может быть  средний квадрат ошибки системы  управления  .           

 При заданных характеристиках  входного сигнала Rg(t) и помех  Rn(t) будем искать систему управления, в которой достигается минимум среднего квадрата ошибки. Речь идет о том, чтобы минимизировать   не по параметрам конкретной системы, а по виду системы, заданному неизвестной передаточной функцией W(jw) или импульсной переходной характеристикой h(t). Таким образом, необходимо найти такую систему управления, для которой достигается    ,  где h(t) – все возможные импульсные переходные характеристики.