Восстановление расфокусированного изображения

Установив метрику, можно  разработать различные метрические характеристики изображения. Среди наиболее важных – длина периметра P и площадь объекта А. Другой полезной характеристикой является коэффициент, вычисляемый по формуле

. (3.20)

Топологические характеристики формы – это свойства, инвариантные по отношению к преобразованию “резинового листа”. Такое преобразование или отображение можно представить себе как растяжение резинового листа с нарисованным объектом заданной формы, в результате которого происходит некоторое пространственное искажение фигуры. Преобразования, требующие разрывов резинового листа или соединения одной его части с другой, недопустимы. Ясно, что расстояние не является топологическим свойством, поскольку оно может изменяться при растяжении резинового листа. Такие понятия, как перпендикулярность и параллельность линий, также не являются топологическими свойствами. На рис. 3.8 (а) представлена двоичная фигура, состоящая из двух связных компонентов, а на рис. 3.8 (б) изображена та же фигура, подверженная растяжению. Понятно, что нет таких операций растяжения, которые могли бы увеличить или уменьшить связность фигуры. Связные компоненты изображения могут содержать дыры (рис. 3.8 (в)). Количество дыр, очевидно, не изменяется при топологическом отображении. Фундаментальное соотношение между количеством связных компонент С и числом дыр Н на фигуре, называемое числом Эйлера, имеет вид

. (3.21)

Число Эйлера – также топологическое свойство, поскольку С и Н – топологические свойства.

Объекты неправильной формы можно описать как совокупность их топологических составляющих. Рассмотрим трубчатый объект, сечение которого напоминает букву R, изображенную на рис. 3.9 (а), и представим, что на объект натянута резиновая лента. Область, ограниченная резиновой лентой, называется выпуклой оболочкой объекта.

Рис. 3.8. Примеры топологических свойств:

a – объекты, С=2;

б – объекты на резиновом листе, подвергнутом растяжению;

в – объект с дырами, C=2, H=3, E=-1

Рис. 3.9. Средства описания выпуклой формы:

а – фигура;

б – выпуклая оболочка, заливы и озера

Множество точек внутри выпуклой оболочки, не принадлежащих  объекту, образует дефицит выпуклости объекта. Имеются два типа дефицита выпуклости: области, полностью ограниченные объектом, которые называются озерами, и области, лежащие между периметром выпуклой оболочки и объектом, которые названы заливами. Для некоторых применений проще описать объект непосредственно с использованием понятий выпуклой оболочки и дефицита выпуклости. Для объектов, представленных на прямолинейных решетках, определение выпуклой оболочки необходимо несколько видоизменить с тем, чтобы оставался прежний смысл. Такие объекты, как окружности и треугольники, на дискретном растре следует рассматривать как выпуклые, даже если их границы имеют ступенчатый вид. Эту кажущуюся трудность можно обойти, рассматривая резиновую ленту, натянутую на дискретизированный объект. Элементы, полностью лежащие внутри объема, ограниченного резиновой лентой, и не принадлежащие объекту, образуют дефицит выпуклости.

Топологические свойства, определенные выше, пригодны для использования в качестве символов при распознавании объектов 

на изображениях. Кроме  того, топологические свойства можно  применять для эффективного вычисления геометрических величин, например, таких, как периметр и площадь, используя методы, основанные на нахождении участков изображения, совпадающих с тем или иным из заданных двоичных эталонов. Рассмотрим объект, определенный на прямоугольной решетке, элементы которого имеют значение единицы, а элементы фона – значение 0. Площадь объекта равна, очевидно, числу единиц в массиве значений элементов. Символически это обозначается так:

,   (3.22)

где n(1) – число совпадений с указанным в скобках эталоном. Если объект полностью окружен белыми элементами, то его периметр равен

  .  (3.23)

Например, для квадрата размером 2´2 элементов A=4 и Р=8. Объект, образованный из трех диагонально связанных элементов, имеет A=3 и Р=12. Рассмотрим теперь следующий набор эталонов размером 2´2 элементов, названных двоичными четверками.

, (3.24а)

, (2.24б)

, (3.24в)

, (3.24г)

,  (3.24д)

.   (3.24е)

Площадь и периметр изображения  можно связать с количеством  входящих в него двоичных четверок формулами:

, (3.25)

. (3.26)

Эти формулы могут  давать значительную ошибку, если вычисленные  по ним значения периметра и площади  использовать как оценки этих параметров для непрерывного объекта, который подвергнут дискретизации. Более точные формулы для таких оценок:

 (3.27a)

. (3.27б)

Подсчет двоичных четверок позволяет очень просто определить число Эйлера изображения. Установлено, что в соответствии с определением четырехсвязности число Эйлера можно вычислить следующим образом:

,  (3.28)

а для восьмисвязности

. (3.29)

Если на изображении  имеется много связных компонентов  и мало дыр, то число Эйлера можно  принять в качестве оценки числа компонентов. Тогда среднюю площадь и средний периметр связных компонентов можно выразить как

,  (3.30)

.  (3.31)

Для изображений, содержащих тонкие объекты, например, машинописные или рукописные буквы, приближенные значения средней длины и средней ширины объекта можно вычислить по формулам

,  (3.32)

.  (3.33)

Эти простые меры оказываются  полезными для построения грубых различительных характеристик изображения, указывающих, содержит ли изображение  много маленьких точечных объектов или же небольшое число пятен большого размера, имеются ли толстые или тонкие объекты и т.д.

1.2.7. Сегментация по яркости

Сегментация изображения  представляет собой разделение или  разбиение изображения на области по сходству свойств их точек. Наиболее часто сегментацию проводят по яркости для одноцветного изображения и цветовым координатам для цветного изображения. Применяется также сегментация, основанная на контурах, сегментация, при которой в качестве разделительного признака используется текстура и сегментация по форме.

Многие изображения можно охарактеризовать тем, что они содержат некоторый интересующий нас объект достаточно однородной яркости на фоне другой яркости. Типичными примерами могут служить машинописные и рукописные тексты, медицинские пробы под микроскопом, самолеты на взлетной полосе. Для таких изображений яркость служит отличительным признаком, который можно использовать для локализации объекта. Если интересующий нас объект имеет белый цвет и расположен на черном фоне или наоборот, то определение точек объекта представляет собой тривиальную задачу установления порога по средней яркости. На практике, однако, встречаются определенные трудности, например, когда наблюдаемое изображение подвержено воздействию шума, причем как на объекте, так и на фоне допускается некоторый разброс значений яркости. Другая часто встречающаяся трудность состоит в том, что фон может быть неоднородным.

Известно несколько  аналитических подходов к пороговому ограничению яркости. Один из методов состоит в установлении порога на таком уровне, при котором общая сумма элементов с подпороговой яркостью согласована с априорными вероятностями этих значений яркости. Например, может быть известно, что черные знаки занимают 25 % общей площади машинописной страницы. Тогда пороговый уровень для такого изображения необходимо установить таким, чтобы яркость четверти элементов была ниже порога. Другой подход к пороговому ограничению по яркости состоит в выборе порога, соответствующего минимуму биомодальной гистограммы, находящемуся между двумя ее пиками. Определение этого минимального значения часто затруднено вследствие ступенчатости гистограммы. Поэтому участок гистограммы между пиками аппроксимируется некоторой аналитической функцией и находится ее минимум путем вычисления ее производных.

Например, пусть x и y – соответственно оси абсцисс и ординат на гистограмме. Тогда кривая второго порядка

,  (3.34)

где а, b, c – константы, обеспечивает простую аппроксимацию гистограммы в районе ее “долины”. Минимум гистограммы наблюдается при x = – b/2a.

Для определения порога яркости можно использовать оператор Лапласа. Для непрерывного изображения F(x, y) оператор Лапласа

  (3.35)

дает значения вторых частных производных этой функции  по направлениям координатных осей. Рассмотрим область изображения в районе объекта, где яркость увеличивается с уровня низкого “плато” до уровня более высокого “плато”, соединенных наклонной поверхностью. На плоских участках лапласиан равен нулю, а вдоль наклонной поверхности – почти нулю. В области перехода от низкого “плато” лапласиан будет иметь большое положительное значение, а при переходе к высокому “плато” – большое отрицательное значение. Гистограмма, построенная с использованием лишь точек исходного изображения, которые соответствуют очень высоким или очень низким значениям лапласиана, оказывается бимодальной с отчетливой “долиной” между пиками. Определению порога яркости могут помочь и другие процедуры выделения перепадов.

Если фон на изображении  неоднороден, то необходимо сделать  так, чтобы порог по яркости адаптировался к ее среднему уровню. Это можно выполнить, разбивая изображения на маленькие фрагменты и устанавливая свои пороги для каждого фрагмента. Пороги для каждого элемента изображения можно затем определить путем интерполяции между центрами фрагментов.

Области изображения  иногда можно выделить путем усреднения поперечных сечений профиля яркости изображения. Горизонтальные и вертикальные поперечные сечения определяются следующим образом:

,  (3.36)

.  (3.37)

Эффективную сегментацию  можно выполнить для некоторых  классов изображений с помощью  рекуррентного метода порогового ограничения по яркости. На первом этапе выполняется пороговое ограничение изображения путем нахождения минимального значения между модами гистограммы яркости для того, чтобы отделить более яркие области от более темных. Затем формируются гистограммы для каждой сегментированной части. Если эти гистограммы неунимодальные, то полученные сегменты можно снова подвергнуть пороговому ограничению. Процесс продолжается до тех пор, пока гистограммы для всех сегментов не станут унимодальными или же не будет достигнут некоторый желаемый уровень сегментации.

1.1.7. Контурная сегментация

Обычно анализ изображений  включает такие операции, как получение внешнего контура изображенных объектов и запись координат точек этого контура. Часто требуется получить внешний контур в виде замкнутой кривой или совокупности отрезков дуг. Имеется три общих подхода к представлению границ объекта: аппроксимация кривых, прослеживание контуров и связывание точек перепадов.

Аппроксимация кривых

Метод аппроксимации  кривых можно использовать для контурной  сегментации путем подбора аналитически заданной кривой к совокупности точек контурного препарата, полученного с помощью детектора перепадов. Если имеется априорная информация относительно ожидаемой формы объекта, например, известно, что это прямоугольник или окружность, то в качестве аппроксимирующей кривой нужно взять прямоугольник или окружность. Или же можно попытаться применить аппроксимацию полиномами, используя итеративные методы подбора прямых линий. Метод подбора кривых достаточно хорошо подходит для объектов с простой структурой. Трудности возникают, когда изображение содержит множество перекрывающихся объектов, и точки перепадов образуют ветвистые структуры.

Прослеживание контуров

Прослеживание контуров напоминает поведение жука, обходящего препятствия. В случае двоичного  изображения, например, показанного  на рис. 3.10 (а), воображаемый жук начинает свой путь на белом поле и движется по направлению к области черных элементов изображения. После того, как жук пересечет черный элемент, он поворачивается налево и переходит к следующему элементу. Если этот элемент черный, жук снова поворачивается налево, если же элемент оказывается белым, то жук поворачивается направо. Эта процедура продолжается до тех пор, пока жук не вернется в исходную точку. Декартовы координаты точек перехода с черного на белое или с белого на черное дают местоположение границы. На рис. 3.10 (а) выступающий элемент в нижнем правом углу объекта, обладающий восьмисвязностью со своим ближайшим соседом, не включен в границу. Заметим, однако, что этот выступающий элемент на рис. 3.10 (б) включен в границу объекта, но здесь начальная точка передвинута. Таким образом, определение границы зависит от начала движения.

Рис. 3.10. Примеры прослеживания внешних контуров:

а – начальная точка расположена вверху слева;

б – начальная точка расположена внизу справа

Другая трудность связана с наличием “дыр” внутри объекта, которые жук может пропустить. Проблемы такого характера можно преодолеть, снабдив жука некоторой памятью и интеллектом, что позволит ему запоминать свои прошлые шаги и возобновлять прослеживание, если данный путь оказывается ошибочным. Описанный алгоритм чаще всего применяется к яркостным изображениям, подвергнутым пороговому ограничению, но данную идею легко можно распространить и на многоградационные изображения. Один из подходов состоит в том, что граничная точка отмечается, если разница яркостей соседних элементов изображения достаточно велика. В результате жук формирует контуры по ходу своего движения.

Соединение точек перепадов

Объект или область  изображения, которую желательно выделить, обычно отделяется от соседних частей изображения перепадом яркости. Поэтому соединение точек перепадов можно использовать для сегментации.

Метод соединения точек  перепадов, разработанный Робертсом, основан на тех же принципах, что  и большинство других методов  такого связывания.

 

Рис. 3.11. Примеры соединения точек перепадов по правилу Робертса

В методе Робертса аналоговые значения градиентов (разности яркостей соседних элементов) анализируются  блоками размером 4´4 элемента. Элемент с наибольшим в блоке значением модуля градиента считается пробной контурной точкой, если это значение больше порога. Затем к значениям градиента около этой пробной точки подбираются линии длиной в пять элементов с ориентацией “север”, ”восток”, ”юг”, “запад”. Если отношение наилучшей аппроксимации к наихудшей больше второго порога, то пробная контурная точка объявляется действительной и ей приписывается ориентация, соответствующая наилучшей аппроксимации. Далее к парам контурных точек подбираются прямые линии, если эти точки расположены в смежных блоках размером 4´4 элемента и если направление каждой линии находится в диапазоне ±23^° относительно ориентации контура в каждой контурной точке. Точки, не удовлетворяющие критериям соединения, отбрасываются. Типичная граница, полученная на этом этапе, будет содержать, как видно из рис. 3.11 (а), разрывы и множественные соединения точек. Маленькие треугольники исключаются вычерчиванием наибольшей стороны, а маленькие четырехугольники заменяются их наибольшей диагональю (рис. 3.11 (б)). Короткие выступающие линии также уничтожаются. На этом этапе короткие разрывы заменяются мостиками из прямых линий. Этот вид соединения точек перепада можно использовать для широкого класса детекторов перепада.