Сопротивление материалов

Л и т е р а т у р а : [1, гл. 3, § 3.3; гл. 13, § 13.1, 13.2, 13.4]; [2, гл. 2, § 2.2; гл. 3, § 3.1, 3.2], [3, гл. 3, п. 3.1, 3.2].

 

 

Тема 6. СДВИГ

 

Эта тема является логическим продолжением частного случая двухосного растяжения-сжатия (чистый сдвиг). Таким образом, деформации растяжения-сжатия и сдвига не следует рассматривать изолированно друг от друга. Вместе с тем необходимо иметь в виду, что сдвиг редко проявляется самостоятельно, т.к. наряду с поперечной силой Q в сечениях бруса часто возникает изгибающий момент, которым пренебрегают ввиду малости. Подтверждением служит работа соединений элементов строительных конструкций. Учитывая современный уровень изготовления и монтажа строительных конструкций, достаточно ограничиться рассмотрением болтовых и сварных соединений. Расчет этих соединений на прочность необходимо производить только по предельному состоянию, внимательно изучив вопрос о выборе расчетного сопротивления на сдвиг (срез) R_s и смятие R_p.

Л и т е р а т у р а : [1, гл. 5, § 5.1, 5.8; гл. 13, § 13.11]; [2, гл. 4], [3, гл. 3, п. 3.2; гл. 4].

 

 

Тема 7. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

 

Здесь в первую очередь должно интересовать определение наибольших нормальных и касательных напряжений в данной точке тела. Для этого надо знать напряжения, возникающие на всем бесчисленном множестве площадок, проходящих через точку. Среди этих площадок всегда есть две взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения. Такие площадки называются главными. Так же называются возникающие на них нормальные напряжения, одно из которых максимально σ_max, другое минимально σ_min.

Экстремальные касательные напряжения  τ_max/min возникают на площадках, которые делят пополам угол между главными площадками. Они равны полуразности главных напряжений.

Л и т е р а т у р а : [1, гл. 13, § 13.2 – 13.4]; [2, гл. 3, § 3.2 – 3.5], [3, гл. 3, п. 3.2].

 

 

Тема 8. ПОНЯТИЕ ОБ ОБЪЕМНОМ НАПРЯЖЕННОМ  СОСТОЯНИИ

 

Чтобы охарактеризовать напряженное  состояние в точке произвольно  нагруженного тела, в ее окрестностях выделяют элементарный объем в виде бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда. На каждой паре параллельных граней имеется по три компонента напряженного состояния, а всего девять – три нормальных и шесть касательных составляющих. В силу закона парности касательных напряжений, который справедлив и при объемном напряженном состоянии, общее количество компонентов уменьшается до шести.

При изменении ориентации граней параллелепипеда напряжения также меняются и в некотором положении значения касательных напряжений обращаются в ноль. В этом случае параллелепипед называют главным кубом, поскольку его грани представляют собой главные площадки и по ним действуют нормальные напряжения, имеющие стационарные значения σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ (максимум, минимакс, минимум) для рассматриваемой точки. Экстремальные касательные напряжения возникают в диагональных плоскостях главного куба и по-прежнему равны полуразности главных напряжений.

Компоненты деформированного состояния  в точке изотропного тела линейно  связаны с компонентами напряженного состояния, что находит выражение в обобщенном законе Гука. Вывод формул не представляет затруднений и дается в большинстве учебников примерно одинаково.

Л и т е р а т у р а : [1, гл. 13, § 13.8, 13.9, 13.12, 13.13]; [2, гл. 3, § 3.6 – 3.9], [3, гл. 3, п. 3.3 – 3.5].

 

 

Тема 9. КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ

 

Основная трудность темы – осознать необходимость ее изучения. При линейном напряженном состоянии вопрос о прочности материала решается довольно просто: надо определить опасное напряжение σ_о из опыта на осевое растяжение (сжатие), назначить коэффициент надежности по материалу γ_m и сравнить главное напряжение с расчетным сопротивлением: σ ≤ R = σ_о ∕ γ_m.

В случае плоского или объемного  напряженного состояния задача существенно  усложняется, т.к. неизвестно, при какой комбинации числовых значений главных напряжений наступает опасное состояние материала. Необходимо, следовательно, найти эквивалентное напряжение σ_red, зависящее от главных напряжений, при котором возникает опасность разрушения или развитие чрезмерных пластических деформаций, и затем его значение сравнить с расчетным сопротивлением, установленным из опыта на осевое растяжение (сжатие): σ_red ≤ R. В зависимости от того, какой фактор используемая гипотеза принимает в качестве решающего и создающего опасное состояние материала, получаются различные расчетные формулы. При этом следует строго разграничивать два вопроса: возникновение пластических деформаций и начало разрушения.

Подробному рассмотрению подлежат гипотезы наибольших касательных напряжений, энергетическая и Мора. При этом необходимо иметь в виду, что первые две имеют критериальный характер, а третья представляет собой результат обобщения и систематизации  экспериментальных данных, т. е. не имеет физического критерия эквивалентности и даже не конкретизирует характер опасного напряженного состояния (наступление текучести или появление признаков хрупкого разрушения). С этой точки зрения заслуживает внимания подход Давиденкова-Фридмана, который базируется на предположении о наличии  у любого материала двух предельных прочностных характеристик – сопротивления отрыву и сопротивления сдвигу.

При ознакомлении с механизмом практического деформирования следует отметить роль дефектов кристаллической решетки, называемых дислокациями.

Рассматривая в общих чертах механизм хрупкого разрушения, необходимо затронуть исследования А. Гриффитса, которые показали, почему фактическая прочность материала в десятки раз меньше теоретической.

Л и т е р а т у р а: [1, гл. 14];[2, гл. 8]; [3, гл. 3, п. 3.6]; [5, гл. ІІІ, § 17, 18].

 

 

Тема 10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

 

По существу в этой теме рассматриваются  чисто математические вопросы. Перед ее изучением полезно вспомнить полученные из теоретической механики сведения о статическом моменте площади плоской фигуры и определение положения ее центра тяжести.

При вычислении моментов инерции необходимо иметь в виду, что осевые J_x, J_y и полярный J_р моменты инерции могут принимать только положительные значения, а центробежный J_xy – любые алгебраические значения. Следует запомнить, что зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей справедливы только в том случае, когда одна из осей является центральной.

Определение положения главных осей можно существенно упростить, если провести аналогию с задачей по отысканию главных площадок при плоском напряженном состоянии (тема 7). Здесь следует обратить внимание на то, что через любую точку, лежащую в плоскости фигуры, можно провести две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Однако принципиальное значение имеют главные оси, проходящие через центр тяжести сечения.

После изучения темы следует приступить к решению задачи №  4.

Л и т е р а т у р а : [1, гл. 4];[2, гл. 5]; [3, гл. 5].

 

 

Тема 11. КРУЧЕНИЕ

 

Опираясь на понятие о внутренних силовых факторах, кручение следует  рассматривать как деформацию бруса, при которой в его поперечных сечениях возникает единственное усилие – крутящий момент М_z.

Необходимо обратить внимание на то, что при кручении круглого бруса  касательные напряжения в поперечном сечении распределяются неравномерно, изменяясь от нуля в центре круга до максимального значения в точках внешнего контура. В связи с этим возникает идея о замене сплошного бруса полым (трубчатым), у которого материал сконцентрирован в наиболее напряженной зоне и используется рациональнее.

Изучение темы должно завершаться  решением задачи №  5.

Литература: [1, гл. 2, § 2.3; гл. 5, § 5.2, 5.3];[2, гл. 6]; [3, гл. 6].

 

 

Тема 12. ПРЯМОЙ ИЗГИБ ПРЯМОГО БРУСА

 

С этой темы начинается большой раздел под общим названием «Изгиб», который традиционно считается  в сопротивлении материалов наиболее важным. Его следует изучать постепенно, обращая особое внимание на решение задач.

В случае прямого поперечного изгиба в сечении балки (бруса) действуют  два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Необходимо рассмотреть принцип определения усилий методом сечений, не прибегая к составлению уравнений равновесия. Для этого надо ввести рациональные правила алгебраических знаков. Наиболее удобны единые правила, не зависящие от расположения внешних сил по отношению к рассматриваемому сечению.

Согласно этим правилам, внешняя  сила, стремящаяся повернуть отсеченную часть балки по ходу часовой стрелки относительно центра тяжести сечения, вызывает положительную поперечную силу. При определении знака изгибающего момента следует руководствоваться ориентацией выпуклости балки, т.е. характером деформирования (плюс – если выпуклость обращена вниз).

Полученные сведения позволяют  перейти к построению эпюр Q и М. Сначала полезно рассмотреть простейшие случаи нагружения двухопорной балки и консоли (действие сосредоточенной силы F, сплошной равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q, сосредоточенного момента m). Эти 6-7 примеров дадут общие представления о характере эпюр от наиболее часто встречающихся нагрузок и о их построении по уравнениям (аналитическим выражениям) поперечной силы и изгибающего момента.

Далее необходимо обратиться к дифференциальным зависимостям между М, Q и q. Эти зависимости существенно облегчают построение эпюр, и не следует их рассматривать только как средство контроля. Таким образом, в качестве основного метода целесообразно использовать способ построения эпюр Q и М по характерным точкам (сечениям)

В целях подготовки к расчету  ломаных брусьев и рам в  курсе строительной механики эпюру М следует строить со стороны растянутых волокон балки, т.е. положительные ординаты откладывать вниз от базисной линии, а отрицательные – вверх. Положительные ординаты эпюры Q, наоборот, откладываются вверх, отрицательные – вниз.

После изучения темы можно приступать к построению эпюр Q и М в задаче № 6.

Л и т е р а т у р а : [1, гл. 2, § 2.4, 2.5]; [2, гл. 7, § 7.1 – 7.5], [3, гл. 7, п. 7.1 – 7.4].

 

 

Тема 13. РАСЧЕТ БАЛОК НА ПРОЧНОСТЬ

ПО НОРМАЛЬНЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ

 

Вывод формулы  нормальных напряжений при чистом изгибе дается во всех учебниках. В процессе его изучении необходимо обращать внимание на промежуточные формулы и зависимости. При анализе формулы

нецелесообразно пользоваться каким-либо формальным правилом знаков. В нее  следует подставлять абсолютные значения М_х и у, а знак напряжения устанавливать по характеру деформирования (плюс – при растяжении, минус – при сжатии).

Определяя наибольшие нормальные напряжения и анализируя условие прочности  балок симметричного сечения, необходимо усвоить понятие осевого момента сопротивления W_x. Следует обратить внимание на порядок вычисления этой геометрической характеристики в случае составного сечения (сварной двутавр, труба и т.п.). Необходимо четко представлять, почему моменты сопротивления нельзя складывать или вычитать.

Расчет балок на прочность необходимо производить по предельному состоянию:

.

По этой формуле проверяют прочность балок симметричного сечения. Для подбора сечения ее преобразуют к виду

.

Поскольку в ряде случаев строительные нормы допускают развитие в стальных балках пластических деформаций, желательно в общих чертах ознакомиться с упругопластическим изгибом.

После изучения темы можно приступать к расчету  на прочность балок в задаче № 6.

Л и т е р а т у р а : [1, гл. 6, § 6.1 – 6.4, 6.7]; [2, гл. 7, § 7.6, 7.10; гл. 17, § 17.4], [3, гл. 7, п. 7.5, 7.6, 7.8].

 

 

Тема 14. ПОЛНЫЙ РАСЧЕТ БАЛОК НА ПРОЧНОСТЬ

 

В большинстве  случаев балку достаточно рассчитать на прочность по нормальным напряжениям  в крайних волокнах. Однако в тех случаях, когда расчетный изгибающий момент относительно невелик, а поперечная сила значительна, приходится проверять касательные напряжения τ. Они максимальны на уровне нейтральной линии. Используя для расчета на прочность формулу Журавского

,

 необходимо помнить, что момент  инерции J_х берется для площади всего сечения, а статический момент S_х - только отсеченной части.

Кроме раздельной проверки нормальных и касательных напряжений, иногда требуется расчет на их совместное действие. Примером могут служить места примыкания стенки к поясам двутавровой балки. Сочетание напряжений σ и τ свидетельствует о том, что материал находится в условиях плоского напряженного состояния и необходима проверка эквивалентных напряжений (тема 9).

За полным расчетом на прочность при изгибе (по нормальным, касательным и эквивалентным напряжениям) полезно проследить на примере сварной стальной балки двутаврового сечения.

В процессе изучения темы следует завершить решение  задачи № 6 в части проверки касательных напряжений в одной из балок.

Л и т е р а т у р а : [1, гл. 7, § 7.1 – 7.4]; [2, гл. 7, § 7.7, 7.8, 7.10, 7.12]; [3, гл. 7, п. 7.1, 7.9].

 

 

Тема 15. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

 

Анализируя дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

,

следует обратить внимание на его  приближенный характер. Тем не менее, оно дает достаточно приемлемые результаты при расчете элементов строительных конструкций, поскольку их перемещения малы по сравнению с основными размерами.

Интегрирование дифференциального уравнения следует рассмотреть на двух-трех простейших примерах, отметив те сложности, которые возникают, если балка имеет несколько участков нагружения. Тем самым создаются предпосылки для перехода к рассмотрению метода начальных параметров. Он довольно часто применяется в расчетной практике благодаря относительной простоте и универсальности. Однако наиболее универсальным является энергетический метод, основанный на интеграле Мора и правиле Верещагина.