Сопротивление материалов

 

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

 

МОСКОВСКИЙ  ИНСТИТУТ

КОММУНАЛЬНОГО ХОЗЯЙСТВА И СТРОИТЕЛЬСТВА

 

Кафедра СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

 

 

 

 

 

 

 

Сопротивление материалов

 

 

Решение типовых задач для студентов-заочников II и III курсов специальностей:

ПГС (290300); ГСХ (290500); АД (291000); ЭУН(291500)

 

Часть 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва  2008

 

                       Одобрено 
Научно-методическим 
   советом института

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составители:

 

А.М. Михайлов, канд. техн. наук, проф., зав. кафедрой

В.Л. Куликов, канд. техн. наук, доц.

О.В. Артемьева, доц.

Л.И. Шигарина, канд. техн. наук, доц.

 

 

Рецензент:

Ю.И. Снитко, доц. (МИКХиС)

 

ОБЩИЕ  УКАЗАНИЯ

Данное пособие содержит примеры решения задач по первой части курса сопротивления материалов. Эти задачи входят в состав контрольных работ № 1 и 2, выполняемых студентами заочной формы обучения строительных специальностей (ПГС, ГСХ, АД, ЭУН) . Подробное решение примеров дает возможность для самостоятельного выполнения расчетов без помощи преподавателя.

Приступая к решению задач, необходимо изучить соответствующий  теоретический материал. Список основной и дополнительной литературы, а также  подробные указания по выбору варианта и оформлению контрольных работ приведены в методических указаниях [2]. C развернутыми рекомендациями по решению типовых задач сопротивления материалов применительно к расчету строительных конструкций можно ознакомиться в учебном пособии [1].

Расчеты в нижеприводимых задачах проводились со следующей  точностью. В промежуточных результатах  удерживалось четыре значащих цифры (значащие цифры – это все цифры в написании числа за исключением всех крайних левых и крайних правых нулей, причем положение десятичной запятой не имеет значения). В окончательных результатах по каждому пункту точность составляла три значащих цифры.

При оформлении контрольной работы не следует полностью копировать текстовую часть рассмотренных примеров, которая выполнена с ориентацией на слабо подготовленного студента. Решение нужно сопровождать только краткими пояснениями.

 

ЗАДАЧИ

Задача № 1

Для алюминиевого бруса постоянного  поперечного сечения (рис. 1.1, а):

1. Построить эпюру продольной  силы N.

2. Подобрать площадь поперечного  сечения A при расчетном сопротивлении материала R = 200 МПа.

3. В соответствии с принятой  площадью построить эпюру нормальных  напряжений s.

4. Построить эпюру перемещений d, приняв модуль упругости материала E = 70 ГПа.

Дано:  b = 1,6 м;  F₁ = 200 кН,  F₂ = 700 кН,  F₃ = 400 кН.

Решение.

1. Построение эпюры N. Брус разделен приложенными внешними силами на три участка: KD, DC и CB. Расчет целесообразно начинать со свободного конца, так как при этом отпадает необходимость в предварительном определении реакции заделки. Продольная сила N в произвольном поперечном сечении каждого участка определяется методом сечений как алгебраическая сумма внешних  сил, приложенных выше сечения:

Рис. 1.1

N_KD = -F₃ = - 400 кН;

N_DC = -F₃ − F₁ = - 400 − 200 = - 600 кН;

N_CB = -F₃ − F₁ + F₂ = - 400 − 200 + 700 = 100 кН.

Внешние силы, вызывающие растяжение, принято считать положительными (F₂), сжатие – отрицательными (F₁ и F₃). Эпюра N  построена на рис. 1.1, б. На каждом участке продольная сила имеет постоянное значение. В сечениях, где приложены внешние силы (границы участков), сила N меняется скачкообразно, причем размер скачка равен соответствующей внешней силе. Следовательно, скачок на уровне заделки характеризует значение реакции V_B = 100 кН. Положительный знак эпюры на нижнем участке свидетельствует о том, что реакция вызывает растяжение, т. е. направлена вниз от заделки.

2. Подбор сечения. Требуемая площадь поперечного сечения бруса находится из условия прочности s_max = N_max / A £ R, преобразованного к виду   A ³ N_max / R, где N_max = |N_DC| = 600 кН:

A ≥ N_max / R = 600·10³ Н / (200·10⁶ Па) = 30 ·10^-4 м² = 30 см².

3. Построение эпюры σ:

s_KD = N_KD / A = -400·10³ Н / (30·10^-4м²) = -133·10⁶ Па = -133 МПа;

s_DC = N_DC / A = -600×10³ / (30·10^-4) Па = -200·10⁶ Па = -200 МПа;

s_CB = N_CB / A = 100·10³ / (30·10^-4) Па = 33,3·10⁶ Па = 33,3 МПа.

 Эпюра s представлена на рис. 1.1, в.

4. Построение эпюры перемещений d. Расчет следует начинать с определения удлинений участков бруса по формуле Гука  Dl = Nl / (EA) = σl/A, где l – длина участка:

Dl_BC = s_CB · 0,3 b / E = 33,3·10⁶ · 0,3 · 1,6 / (70·10⁹) = 0,228·10^-3 м = 0,228 мм;  
 Dl_CD = s_DC · 0,5 b / E = -200·10⁶ · 0,5 · 1,6 / (70·10⁹) = -2,29·10^-3 м = -2,29 мм;  
 Dl_DK = s_KD · 0,2 b / E = -133·10⁶ · 0,2 · 1,6 / (70·10⁹) = -0,609·10^-3 м = -0,609 мм. 

Перемещения характерных сечений определяем относительно защемленного конца бруса, так как в жесткой заделке перемещение равно нулю:

d_B = 0; d_C = Dl_BC = 0,228 мм;

d_D = Dl_BD = Dl_BC + Dl_CD = 0, 228 - 2,29 = -2,06 мм;

d_K = Dl_BK = Dl_BC + Dl_CD + Dl_DK = -2,06 - 0,609 = -2,67 мм.

Эпюра δ построена на рис. 1.1, г. Ее очертание определяется линейной зависимостью перемещения от продольной координаты сечения z. Нетрудно видеть, что брус укорачивается на 2,67 мм, в результате чего его свободный конец перемещается вниз.

Задача № 2 

Для ступенчатого стального  бруса, защемленного обоими концами (рис. 2.1, а):

1. Определить реакции заделок  от действия нагрузки F.

2. Построить эпюру N.

3. В соответствии с заданной  площадью сечения A построить эпюру s.

4. Проверить прочность бруса при расчетном сопротивлении стали R = 240 МПа.

5. Построить  эпюры N и s в том случае, когда брус, кроме воздействия силы F, испытывает нагревание на Dt°C. Коэффициент линейного расширения стали a = 120·10^-7 1/град; модуль упругости стали E = 206 ГПа.

Дано:  b = 1,6 м; A = 26 см²;  F = 700 кН;  Dt = 50°C.

Решение.

1. Определение реакций заделок. а) Статическая сторона задачи. Реакции заделок V_B и V_C следует направить вверх, так как сила F направлена вниз. Составляем единственное уравнение равновесия:

∑Z = 0;  V_B − F + V_C = 0.                 (1)

Брус один раз статически неопределим, так как в одно уравнение  входят две неизвестные реакции V_B и V_C . Требуется одно дополнительное уравнение.

б) Геометрическая сторона задачи. Дополнительное уравнение составляем путем рассмотрения бруса в деформированном состоянии. За “лишнюю” связь принимаем заделку B. После ее мысленного удаления получается основная система − статически определимый брус (рис. 2.1, б). Основная система должна быть эквивалентна заданной по характеру деформирования. Для этого необходимо выполнение условия

d_B = 0,                                                                                                                                                           (2)

которое равносильно наличию заделки. С другой стороны, перемещение сечения B равно сумме удлинений трех участков бруса, что с учетом условия (2) дает

d_B = Dl_BK + Dl_KD + Dl_DC = 0.                (2')

в) Физическая сторона задачи связывает удлинения (укорочения) участков бруса с усилиями в них посредством формулы Гука Dl_i = N_i l_i / (EA_i).

Продольная сила  на нижнем участке в соответствии с методом  сечений составляет N_BK = -V_B, укорочение Dl_BK = -V_B · 0,3b / (EA). На среднем участке N_KD = -V_B + F, Dl_KD = (-V_B+F)0,5b / (EA). На верхнем участке N_DC = N_KD, Dl_DC =(-V_B+F)0,2b / (E ·2A).

г) Синтез. Подставляем полученные выражения N и Dl в геометрическое уравнение (2'):   
     -V_B· 0,3b / (EA) + (-V_B+F)0,5b / (EA) + (-V_B+F)0,2b / (E ·2A) = 0,                                                             (3)

Отсюда после сокращения на b и EA, находим реакцию V_B:

      -0,3V_B − 0,5V_B + 0,5F − 0,1V_B + 0,1F = 0;

      -0,9V_B + 0,6F = 0;

      V_B = 0,6F / 0,9 = 0,6 · 700 / 0,9 = 467 кН.

Далее из уравнения  статики (1) можно определить вторую реакцию:

               V_C = F − V_B = 700 − 467 = 233 кН. \

Рис. 2.1

 

2. Построение эпюры N (рис. 2.1, в).  Значения продольной силы вычисляем по записанным выше формулам:

N_BK = -V_B = - 467 кН;

N_KD = N_DC = - V_B + F = V_C =233 кН.

3. Построение эпюры s (рис. 2.1, г). Нормальные напряжения на каждом участке вычисляем по формуле s_i = N_i / A_i :

s_BK = N_BK / A = - 467·10³ Н / (26·10^-4 м²) = -180·10⁶ Па = -180 МПа;

s_KD = N_KD / A = 233·10³ / (26·10^-4) = 89,7·10⁶ Па = 89,7 МПа;

s_DC = N_DC / 2A = 233·10³ / (2 · 26·10^-4) = 44,8·10⁶ Па = 44,8 МПа.

4. Проверка прочности. Условие прочности растянутого (сжатого) бруса имеет вид  s_max £ R, или

s_max = |s_BK| = 180 МПа < R = 240 МПа.

Прочность обеспечена.

5. Учет температуры. Особенностью статически неопределимых систем является то, что при изменении температуры в них возникают так называемые “температурные” усилия и напряжения.

Температурное удлинение    
  Dl_t = abDt .                  (4)

Статическое уравнение (1) и  исходное геометрическое уравнение (2) остаются без изменений, однако,  уравнения (2') и (3) видоизменятся:  
  Dl_BK + Dl_KD + Dl_DC + Dl_t = 0        
и с учетом выражения (4)

-V_B · 0,3b /(EA) + (-V_B+F) 0,5b / (EA) + (-V_B+F) 0,2b / (E ·2A) + abDt = 0.  
После сокращения на b получаем

(-0,3V_B − 0,5V_B + 0,5F − 0,1V_B + 0,1F) + aDt EA = 0.

Отсюда реакция

V_B = (0,6 F + aDt EA) / 0,9 = (0,6·700·10³ + 120·10^-7 · 50° · 206·10⁹ · 26·10^-4) / 0,9 = 824·10³ Н = 824 кН.

Из уравнения статики (1) получаем реакцию второй опоры  
  V_C = F − V_B = 700 − 824 = -124 кН.

Знак “минус” говорит о том, что реакция V_C направлена не вверх, как предполагалось, а вниз (рис. 2.2, а).

Значения продольной силы N вычисляем по тем же формулам, что и в п. 1:

N_BK = -V_B = -824 кН;

     N_KD = N_DC = F − V_B = V_C = - 124 кН.

Нормальные напряжения:

s_BK = N_BK / A = - 824·10³ / (26·10^-4) = - 317·10⁶ Па = - 317 МПа;

s_KD = N_KD / A = - 124·10³ / (26·10^-4) = - 47,7·10⁶ Па = - 47,7 МПа;

s_DC = N_DC / (2A) = - 124·10³ / (2·26·10^-4) = - 23,8·10⁶ Па = - 23,8 МПа.

 Эпюры N и s, учитывающие влияние температуры, построены на рис. 2.2, а и б.

Рис. 2.2

Задача № 3

Абсолютно жесткий брус имеет  шарнирно-неподвижную опору B и поддерживается двумя стержнями (рис. 3.1, а), выполненными из низкоуглеродистой стали марки Ст 3.

1. Определить усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу F.

2. Установить значение нагрузки F_max, при котором напряжения в одном из стержней достигнут предела текучести s_y = 245 МПа (указать стержень, который "потечет" первым).

3. Найти значение нагрузки F_пред, при котором наступит состояние предельного равновесия рассматриваемой системы.

4. Сравнить оба значения  нагрузки.

Дано:  a = 2,6 м,  b = 1,6 м, c = 3,6 м;  A = 26 см².

Решение.

1. Определение усилий и напряжений в стержнях. а) Статическая сторона задачи. Под действием силы F абсолютно жесткий брус повернется вокруг опоры B по ходу часовой стрелки и вызовет осевое растяжение стержней 1 и 2. Таким образом, возникают три неизвестные силы, действующие на брус: реакция опоры V_B и усилия в стержнях N_1, N₂ (рис. 3, б). Для плоской системы параллельных сил статика дает два уравнения равновесия:

SY = 0;  -N₁ - N₂ + V_B – F = 0;

Sm_B = 0; -N₁ (a + с) − N₂ c + F b= 0.                 (1)

Система один раз статически неопределима, так как из двух уравнений  нельзя определить три неизвестные  силы. Необходимо составить еще одно, дополнительное уравнение.

б) Геометрическая сторона задачи. При рассмотрении системы в деформированном состоянии составляем уравнение совместности перемещений точек жесткого бруса и стержней 1 и 2. Точка C присоединения стержня 1 к брусу перемещается в положение C₁ (см. рис.3, б), а точка D присоединения стержня 2 − в положение D₁. Ввиду малости перемещений d_C и d_D можно с достаточной для инженерных целей точностью считать, что точки C и D перемещаются не по дугам окружностей, а по вертикалям.

Из подобия треугольников BCC₁ и BDD₁ получаем уравнение перемещений

d_C  / (a + c) = d_D / c,  или d_C / (2,6 + 3,6) = d_D / 3,6,

 откуда d_C = 1,722 d_D.

Вместо перемещений точек C и D подставим равные им удлинения соответствующих стержней:

Dl₁ = 1,722 Dl₂.                                                                                                                                            (2)

Рис. 3.1

              

в) Физическая сторона задачи. Удлинение каждого стержня согласно формуле Гука выражается через  соответствующее усилие:

Dl₁ = N₁ l / (EA);   

     Dl₂ = N₂ ·1,5l / (E ·2A).

 Полученные выражения подставляем в геометрическое уравнение (2):

N₁ l / (EA) = 1,722 N₂· 1,5l / (E ·2A),

откуда   
  N₁ = 1,292 N₂.                  (3)

г) Синтез. Решаем совместно уравнения (1) и (3) (методом подстановки):