Расчет и оценка макроэкономических показателей

Тогда изменение частной  выручки за счет каждого из 3-х  факторов по   j-му виду товара определяется соответственно по формулам (53) –(55).

                                            = ;                                         (53)

                                             = ;                                      (54)

                                             = .                                   (55)

Изменение выручки за счет первого фактора (изменения общего количества проданных фруктов) равно:

=(0,9923-1)*23540 = -181 (тыс. руб.);

 = (0,9923-1)*22540 = -173 (тыс. руб.);

 = (0,9923-1)*12960 = -100 (тыс. руб.).

Контроль правильности расчетов:

= , то есть -181+(-173)+(-100) = -454 (тыс. руб.).

Изменение выручки за счет второго фактора (структурных сдвигов в количестве проданных фруктов) равно:

=0,9923*(0,864-1)*23540 = -3176 (тыс. руб.);

=0,9923*(1,131-1)*22540 = 2930 (тыс. руб.);

=0,9923*(0,952-1)*12960 = -617 (тыс. руб.).

Контроль правильности расчетов:

= , то есть -3176 + 2930+(–617) = –863 (тыс. руб.).

И, наконец, изменение выручки за счет 3-го фактора (изменения отпускной цены) равно: =0,9923*0,864*(1,028-1)*23540 =  565 (тыс. руб.);

           =0,9923*1,131*(0,957-1)*22540 = -1088 (тыс. руб.);

=0,9923*0,952*(1,111-1)*12960 =  1359 (тыс. руб.).

Контроль правильности расчетов:

= , то есть 565+(-1088)+1359= 836 (тыс. руб.)

Результаты факторного анализа частной выручки также  заносятся в таблицу 6, в которой все числа оказались взаимно согласованными.

Задание 6

На основе исходных данных контрольных заданий по теме 2 определить наличие и характер корреляционной связи между признаками x и y 6-ю методами.

Признак
x	Рост/вес
y	Кол-во друзей

 

Решение: Для выявления наличия и характера корреляционной связи между двумя признаками в статистике используется ряд методов.

1. Графический метод, когда корреляционную зависимость для наглядности можно изобразить графически. Для этого, имея n взаимосвязанных пар значений x и y и пользуясь прямоугольной системой координат, каждую такую пару изображают в виде точки на плоскости с координатами x и y. Соединяя последовательно нанесенные точки, получают ломаную линию, именуемую эмпирической линией регрессии. В нашей задаче эта линия похожа на беспорядочную линию, что позволяет выдвинуть гипотезу об отсутствии зависимости между величиной соотношения рост/вес и количеством друзей.

2. Рассмотрение параллельных данных. Единицы наблюдения располагают по возрастанию значений факторного признака х и затем сравнивают с ним (визуально) поведение результативного признака у. В нашей задаче увеличению значений x не соответствует увеличение либо уменьшение значения y, поэтому, можно говорить об отсутствии связи между х и у. Теперь необходимо измерить эмпирическую регрессию, для чего рассчитаем несколько коэффициентов.

3. Коэффициент корреляции знаков (Фехнера) – показатель тесноты связи, основанный на сравнении поведения отклонений индивидуальных значений каждого признака (x и y) от своей средней величины. При этом во внимание принимаются не величины отклонений ( ) и ( ), а их знаки («+» или «–»). Определив знаки отклонений от средней величины в каждом ряду, рассматривают все пары знаков и подсчитывают число их совпадений (С) и несовпадений (Н). Тогда коэффициент Фехнера рассчитывается как отношение разности чисел пар совпадений и несовпадений знаков к их сумме, т.е. к общему числу наблюдаемых единиц:

Таблица 7. Соотношение рост/вес и количество друзей

i	Соотношение рост/вес, xi	Количество друзей, чел. yi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	2,011 2,021 2,095 2,173 2,342 2,342 2,356 2,361 2,429 2,559 2,623 2,672 2,691 2,726 2,828 2,875 3,00 3,255 3,375 3,533	9 4 5 1 8 8 7 3 10 4 7 4 6 5 6 10 2 9 4 5	- - - - - - - - - + + + + + + + + + + +	+ - - - + + + - + - + - + - + + - + - -
Итого	52,267	117

                                    .                                          (56)

В нашей задаче: ; .

В двух последних столбцах таблицы 7 приведены знаки отклонений каждого х и у от своей средней величины. Число совпадений знаков – 9, а несовпадений – 11. Отсюда К_Ф=(9-11)/(9+11) = - 0,1. Обычно такое значение показателя тесноты связи характеризует слабую зависимость, однако, следует иметь в виду, что поскольку К_Ф зависит только от знаков и не учитывает величину самих отклонений х и у от их средних величин, то он практически характеризует не столько тесноту связи, сколько ее наличие и направление.

4. Линейный коэффициент корреляции применяется в случае линейной зависимости между двумя количественными признаками x и y. В отличие от К_Ф в линейном коэффициенте корреляции учитываются не только знаки отклонений от средних величин, но и значения самих отклонений, выраженные для сопоставимости в единицах среднего квадратического отклонения t:     и  .

Линейный коэффициент  корреляции r представляет собой среднюю величину из произведений нормированных отклонений для x и у:

, (57)  или  .   (58)

Линейный коэффициент  корреляции может принимать значения от –1 до +1.

В нашей задаче для  расчета r построим вспомогательную таблицу 8.

В нашей задаче: = =0,425; = =2,535. Тогда по формуле (57) r = -5,602/20 =  -0,28. Аналогичный результат получаем по формуле (58): r = -0,262/(0,425*2,535) = -0,28.

То есть, коэффициент  показывает, что значение близко к  отсутствию связи между показателями х и у.

Проверка коэффициента корреляции на значимость. Как любой выборочный показатель, он содержит случайную ошибку и не всегда однозначно отражает действительно реальную связь между изучаемыми показателями. Для того чтобы оценить значимость самого r и, соответственно, реальность измеряемой связи между х и у, необходимо рассчитать среднюю квадратическую ошибку коэффициента корреляции σ_r. Оценка значимости r основана на сопоставлении значения r с его средней квадратической ошибкой:  .

Таблица 8. Вспомогательные расчеты линейного коэффициента корреляции

i	xi	yi			tx	ty	tx ty
1	2,011	9	0,362	9,923	-1,416	1,243	-1,76	-0,095	0,905
2	2,021	4	0,35	3,423	-1,393	-0,73	1,017	0,055	0,404
3	2,095	5	0,268	0,723	-1,219	-0,335	0,409	0,022	0,524
4	2,173	1	0,194	23,523	-1,035	-1,913	1,98	0,107	0,109
5	2,342	8	0,073	4,623	-0,638	0,848	-0,541	-0,029	0,937
6	2,342	8	0,073	4,623	-0,638	0,848	-0,541	-0,029	0,937
7	2,356	7	0,066	1,323	-0,605	16,154	-9,773	-0,295	0,825
8	2,361	3	0,064	8,123	-0,593	-1,124	0,667	0,036	0,354
9	2,429	10	0,034	17,223	-0,433	1,637	-0,709	-0,038	1,215
10	2,559	4	0,003	3,423	-0,127	-0,73	0,093	0,005	0,512
11	2,623	7	0,0001	1,323	0,024	16,154	0,388	0,036	0,918
12	2,672	4	0,004	3,423	0,139	-0,73	-0,101	-0,006	0,534
13	2,691	6	0,006	0,023	0,184	0,059	0,011	0,001	0,807
14	2,726	5	0,013	0,723	0,266	-0,335	-0,089	-0,005	0,682
15	2,828	6	0,046	0,023	0,506	0,059	0,029	0,001	0,848
16	2,875	10	0,069	17,223	0,616	1,637	1,008	0,055	1,438
17	3,000	2	0,149	14,823	0,911	-1,519	1,384	-0,074	0,3
18	3,255	9	0,412	9,923	1,511	1,243	1,878	0,101	1,465
19	3,375	4	0,581	3,423	1,793	-0,73	-1,309	-0,071	0,675
20	3,533	5	0,8464	0,723	2,165	-0,335	-0,725	-0,039	0,883
Итого	52,267	117	3,614	128,56	-	-	-5,602	-0,262	15,272

Если число наблюдений небольшое (n<30), то σ_r рассчитывается по формуле (59):  ,    (59)

а значимость r проверяется на основе t-критерия Стьюдента, для чего определяется расчетное значение критерия по формуле (60) и сопоставляется c t_ТАБЛ.   .    (60)

В нашей задаче: = 0,96/4,243 = 0,226; = =0,28/0,226 = 1,239. При вероятности 95% t_табл=2,101, а при вероятности 99% t_табл=2,878, значит, t_РАСЧ<t_ТАБЛ, что дает возможность считать что связь между х и у отсутствует, и значение r, отличное от нуля получено случайно.

5. Подбор уравнения регрессии представляет собой математическое описание изменения взаимно коррелируемых величин по эмпирическим (фактическим) данным.

Существует несколько  методов нахождения параметров уравнения  регрессии. Наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК). Его суть заключается в следующем требовании: искомые теоретические значения результативного признака должны быть такими, при которых бы обеспечивалась минимальная сумма квадратов их отклонений от эмпирических значений, т.е.

.

Поставив данное условие, легко определить, при каких значениях , и т.д. для каждой аналитической кривой эта сумма квадратов отклонений будет минимальной.

                                                        (61)

Исходные данные и  все расчеты необходимых сумм представим в таблице 9.

; ;  ;

 

;  ; 

;                                           =5,85–2,613*0,134 = 5,5.

Отсюда искомая линия  регрессии: =5,5+0,134x. Для иллюстрации построим график эмпирической (маркеры-кружочки) и теоретической (маркеры-квадратики) линий регрессии.

             Таблица 9. Вспомогательные расчеты для решения задачи

i	x	y	x*x	y*x	y'
1	2,011	9	4,044	18,099	5,795	9,9225	0,0065
2	2,021	4	4,084	8,084	5,771	3,4225	0,0062
3	2,095	5	4,389	10,475	5,781	0,7225	0,0047
4	2,173	1	4,722	2,173	5,791	23,5225	0,0034
5	2,342	8	5,485	18,784	5,814	4,6225	0,0012
6	2,342	8	5,485	18,784	5,814	4,6225	0,0012
7	2,356	7	5,551	16,492	5,816	1,3225	0,0011
8	2,361	3	5,574	7,083	5,816	8,1225	0,0011
9	2,429	10	5900	24,29	5,825	17,2225	0,0006
10	2,559	4	6,548	10,236	5,843	3,4225	0,0001
11	2,623	7	6,88	18,361	5,851	1,3225	0
12	2,672	4	7,14	10,688	5,858	3,4225	0,0006
13	2,691	6	7,242	16,146	5,861	0,0225	0,0001
14	2,726	5	7,431	13,63	5,865	0,7225	0,0002
15	2,828	6	7,998	16,968	5,878	0,0225	0,0007
16	2,875	10	8,266	28,75	5,885	17,2225	0,0012
17	3,000	2	9	6	5,902	14,82258	0,0027
18	3,255	9	10,595	29,295	5,936	9,9223	0,0073
19	3,375	4	11,391	13,5	5,952	3,4225	0,0104
20	3,533	5	12,482	17,665	5,973	0,7225	0,0151
Итого	52,267	117	140,207	289,358	117	128,55	0,0644

 

Рис.6. График эмпирической и теоретической линий регрессии

6. Теоретическое корреляционное отношение представляет собой универсальный показатель тесноты связи. Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается на основе правила сложения дисперсий как корень квадратный из отношения межгрупповой дисперсии к общей дисперсии, т.е.   . (62)

Теоретическое корреляционное отношение определяется на основе выравненных значений результативного признака , рассчитанных по уравнению регрессии. Если обозначить дисперсию эмпирического ряда игреков через , а теоретического ряда – , то каждая из них выразится формулами:    (63);   (64)

Сравнивая вторую дисперсию  с первой, получим теоретический коэффициент детерминации:  , (65)

который показывает, какую долю в общей дисперсии результативного признака занимает дисперсия, выражающая влияние вариации фактора x на вариацию y. Извлекая корень квадратный из коэффициента детерминации, получаем теоретическое корреляционное отношение:

.  (66)

Теоретический коэффициент детерминации равен: ²_теор = 0,0644 /128,55 = 0,0005, то есть дисперсия, выражающая влияние вариации фактора x на вариацию y, составляет 0,05%.

Теоретическое корреляционное отношение равно: _теор= = 0,0224, то есть значение 0,0224<0,3, значит можно говорить о малой зависимости между х и у.

Задание 7

Определить среднюю  продолжительность предстоящей  жизни по следующим данным о числе  умирающих из 100 000 человек при переходе от возраста x к x+1 лет:

Возраст X, лет
0-10	2300
10-20	735
20-30	1420
30-40	1837
40-50	4017
50-60	8992
60-70	16650
70-80	25755
80-90	38294

 

Решение: Для определения средней продолжительности предстоящей жизни необходимо рассчитать следующие показатели для каждого возраста х:

1) l_x – число доживающих до возраста х, которое показывает, сколько из 100 000 лиц условного поколения доживают до каждого следующего года: