Расчет и оценка макроэкономических показателей

              Д = = 104853268263,2/380 = 275929653,324.

Затем необходимо определить предельную ошибку выборки по формуле (23):

                                          = t , (23)

где t – коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой определяется предельная ошибка выборки;

  – средняя ошибка выборки, определяемая для бесповторной выборки по формуле (24): = ,  (24)

где n – численность выборки;

 N – численность генеральной совокупности.

Применяя формулу (24), получим среднюю ошибку выборки при определении среднего вклада в генеральной совокупности:

= = 848,718 (у.е.).

Для определения средней  ошибки выборки при определении доли вкладчиков с вкладами более 15000 у.е. в генеральной совокупности необходимо определить дисперсию этой доли. Дисперсия доли альтернативного признака w определяется по формуле (25):

                                     .                                          (25)

В нашей задаче долю альтернативного  признака найдем как отношение числа таких вкладчиков к общему числу вкладчиков в выборке:

w = 215/380 = 0,566 или 56,6 %.

Теперь определим дисперсию  этой доли: =0,566*(1-0,566) = 0,246.

Теперь можно рассчитать среднюю ошибку выборки по формуле (24):

= = 0,025 или 2,5%.

В нашей задаче = 0,954, значит t = 2. Предельная ошибка выборки по формуле (23) будет равна: = 2*848,718 = 1697,436 (у.е.) при определении среднего вклада; = 2*0,025 = 0,05 или 5% при определении доли вкладчиков с размерами вклада более 15000 у.е.

После расчета предельной ошибки находят доверительный интервал обобщающей характеристики генеральной совокупности по формуле (26) – для средней величины и по формуле (27) – для доли альтернативного признака: ( - ) ( + ) (26); (w- ) p (w + )      (27)

В нашей задаче по формуле (26):

(20596,053-1697,436)

(20596,053+1697,436)   или

18898,617 у.е.

22293,489 у.е.,

то есть средний доход  всех рабочих предприятия с вероятностью 95,4% будет лежать в пределах от 18898,617 до 2229,489 у.е.

Аналогично определяем доверительный интервал для доли по формуле (27): 0,566-0,05 p 0,566+0,05 или 0,516 p 0,616,

то есть доля рабочих с доходами более 15000 у.е. на всем предприятии с вероятностью 95,4% будет лежать в пределах от 51,6% до 61,6%.

Определим численность  бесповторной выборки по формуле (28):

                                n_б/повт = .   (28)

n_б/повт =

= 4056 (чел.).

Определим долю альтернативного  признака и дисперсию  при среднем  размере вклада более 30000 у.е.:  w=(60+25)/380 = 0,224,

Д = 0,224*(1-0,224) = 0,174.

Тогда численность выборки  при определении среднего размера  вклада свыше 30000 у.е., чтобы не ошибиться более чем на 10% будет равняться:

n_б/повт=

= 70 (чел.).

Таким образом, необходимо включить в выборку не менее 4056 человек при определении среднего размера вклада банка, чтобы не ошибиться более чем на 500 у.е., и не менее 70 вкладчиков при определении доли вклада с размером более 30000 у.е., чтобы при этом не ошибиться более чем на 10%.

Задание 4

По статистическим данным по России за 2000 – 2005 гг. вычислить: абсолютные, относительные, средние изменения  и их темпы базисным и цепным способами. Проверить ряд на наличие в нем линейного тренда, на основе которого рассчитать интервальный прогноз на 2006 год с вероятностью 95%.

Год	Производство яиц, млрд.шт.
2000	34,1
2001	35,2
2002	36,3
2003	36,5
2004	35,8
2005	36,8

Решение:

 

Базисное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и первого уровней ряда, а цепное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и предыдущего уровней ряда.

По знаку абсолютного  изменения делается вывод о характере развития явления: при > 0 — рост, при < 0 — спад, при = 0 — стабильность.

Для проверки правильности расчетов применяется правило, согласно которому сумма цепных абсолютных изменений равняется последнему базисному. В нашей задаче это правило выполняется: = 2,7 и =2,7.

Базисное  относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и первого уровней ряда, а цепное относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и предыдущего уровней ряда.

Относительные изменения  уровней — это по существу индексы  динамики, критериальным значением  которых служит 1. Если они больше ее, имеет место рост явления, меньше ее — спад, а при равенстве единице наблюдается стабильность явления.

Вычитая единицу из относительных  изменений, получают темп изменения уровней, критериальным значением которого служит 0. При положительном темпе изменения имеет место рост явления, при отрицательном — спад, а при нулевом темпе изменения наблюдается стабильность явления. Для проверки правильности расчетов применяется правило, согласно которому произведение цепных относительных изменений равняется последнему базисному. В нашей задаче это правило выполняется: =1,07 и =1,07.

Таблица 2. Вспомогательные расчеты для решения задачи

Год	Y						характер		характер
2000	34,1	-	-	-	-	-	-	-	-
2001	35,2	1,1	1,1	1,03	1,03	0,03	рост	0,03	рост
2002	36,3	2,2	1,1	1,06	1,03	0,06	рост	0,03	рост
2003	36,5	2,4	0,2	1,07	1,01	0,07	рост	0,01	рост
2004	35,8	1,7	-0,7	1,05	0,98	0,05	рост	-0,02	спад
2005	36,8	2,7	1,0	1,07	1,02	0,07	рост	0,02	рост
Итого	214,7	-	2,7	-	1,07	-	-	-	-

Обобщенной характеристикой  ряда динамики является средний уровень ряда .

В нашей задаче ряд динамики интервальный, значит, применяем формулу средней арифметической простой: = 214,7 / 6 = 35,783 (млрд. шт.). То есть за период 2000-2005 в России в среднем за год было произведено 35,783 млрд. яиц.

Рассчитаем другие средние  показатели (базисным и цепным способами):

1) базисное среднее абсолютное  изменение: ^Б = = 2,7/(6-1) = 0,54.

Цепное среднее абсолютное изменение: ^Ц = = 2,7/(6-1) = 0,54.

То есть ежегодно производство яиц возрастает на 0,54 млрд. яиц.

2) базисное среднее относительное изменение: ^Б= = = 1,0136.

Цепное среднее относительное  изменение: ^Ц= = =1,0136.

То есть, ежегодно производство яиц в среднем растет в 1,0136 раза.

3) вычитанием 1 из среднего относительного изменения образуется соответствующий средний темп изменения, по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики. В нашей задаче = 1,0136 – 1 = 0,0136, то есть ежегодно в среднем производство яиц растет на 1,36%.

Проверка ряда динамики на наличие в нем тренда с помощью графической модели (рис. 3). Трендовой модель имеет вид: , (29)

где – математическая функция развития; – случайное или циклическое отклонение от функции; t – время в виде номера периода (уровня ряда).

 

Рис.3. График динамики производства яиц в РФ

Из данного графика  видно, что есть все основания  принять уравнение тренда в виде линейной функции: .

Определение параметров в этих функциях может вестись несколькими способами, но самые незначительные отклонения аналитических (теоретических) уровней ( – читается как «игрек, выравненный по t») от фактических ( ) дает метод наименьших квадратов – МНК. При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней от теоретических уровней :

.                                  (30)

В нашей задаче при  выравнивании по прямой вида параметры и отыскиваются по МНК следующим образом. В формуле (29) вместо записываем его конкретное выражение . Тогда . Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум. Найдем частные производные:

Сократив каждое уравнение  на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с y в правую сторону, а остальные – оставив в левой, получим систему нормальных уравнений:

                 (31)

где n – количество уровней ряда; t – порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y – уровни эмпирического ряда.

Эта система и, соответственно, расчет параметров и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают –1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: , , и т.д.

При таком порядке отсчета времени (от середины ряда) = 0, поэтому, система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно:

                                   .                                (32)

Как видим, при такой  нумерации периодов параметр представляет собой средний уровень ряда. Определим по формуле .                                   (32) параметры уравнения прямой, для чего исходные данные и все расчеты необходимых сумм представим в таблице 3.

Из таблицы получаем, что  = 214,7/6 = 35,783 и = 230,3/70 = 3,29. Отсюда искомое уравнение тренда =35,783+3,29*t. В 6-м столбце таблицы 3 приведены трендовые уровни, рассчитанные по этому уравнению. Для иллюстрации построим график эмпирических (маркеры-кружочки) и трендовых уровней (рис.4).

Рис.4. График эмпирических и трендовых уровней производства яиц в РФ

По полученной модели для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда ( ) и оценивается надежность (адекватность) выбранной модели тренда. Оценку надежности проводят с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение F_р с теоретическими значениями F_Т. При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле:  , (33)

где k – число параметров (членов) выбранного уравнения тренда;

Д_А – аналитическая дисперсия, определяемая по формуле (35);

Д_о – остаточная дисперсия (36), определяемая как разность фактической дисперсии Д_Ф (34) и аналитической дисперсии:

                                                

;                                               (34)

                                   ;                                                 (35)

                                   .                                  (36)

Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется обычно при уровне значимости с учетом степеней свободы и . Уровень значимости связан с вероятностью следующей формулой . При условии F_р > F_Т считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.