Расчет и оценка макроэкономических показателей

сталь арматурная: X_1с = (110+115+108)*1000*1700=566 100 000 у.е.

• прокат листовой: X’_1пл = 255*1000*2080=530 400 000 у.е.

прокат листовой: X_1пл = (75+90+100)*1000*2080=551 200 000 у.е.

Суммируя количество выпущенной продукции каждого вида, получим общее количество выпущенной продукции:

• по плану X’₁= ∑X’_1i= 569 500 000+530 400 000=1 099 900 000 у.е.
• фактически X₁= ∑X_1i= 566 100 000+551 200 000=1 117 300 000 у.е.

Для определения процента выполнения плана необходимо рассчитать индекс выполнения плана, то есть отношение значений по факту и плану отчетного периода:  , (1)

Применяя формулу (1), имеем: = 1117300000/1099900000 = 1,0016, то есть план по общему выпуску продукции перевыполнен на 1,6%.

Определим индекс выполнения плана отдельно по каждому виду продукции:

• сталь арматурная: =566100000/569500000=0,994;
• прокат листовой: =551200000/530400000=1,039.

То есть план по выпуску  стали арматурной не выполнен на 0,6%, а план по выпуску проката листового  перевыполнен на 3,9%.

Вывод: таким образом, из-за перевыполнения плана по выпуску стали арматурной на 3,9% и не выполнения плана по выпуску проката листового на 0,6%, общий выпуск продукции перевыполнен на 1,6%.

 

Задание 2

По имеющимся в следующей  таблице данным по группе из 20 студентов  заочного отделения необходимо:

1) построить интервальный  ряд распределения признака и  его график;

2) рассчитать модальное,  медианное и среднее значение, установить его типичность с  помощью коэффициентов вариации;

3) проверить распределение  на нормальность с помощью  коэффициентов асимметрии и эксцесса.

№ п/п	Соотношение «рост/вес»
1	3,533
2	2,623
3	2,875
4	3,375
5	3,000
6	2,828
7	3,255
8	2,726
9	2,429
10	2,361
11	2,342
12	2,672
13	2,356
14	2,559
15	2,173
16	2,095
17	2,342
18	2,011
19	2,691
20	2,021

Решение:

Для построения интервального  ряда из дискретного используется формула  Стерджесса, с помощью которой  определяется оптимальное количество интервалов (n):  n = 1 +3,322 lg N, (2)

где N – число величин в дискретном ряде.

В нашей задаче n = 1 + 3,322lg20 = 1 + 3,322*1,301 = 5,32 5. Так как число интервалов не может быть дробным, то округлим его до ближайшего целого числа, т.е. до 5.

После определения оптимального количества интервалов определяем размах интервала по формуле:  h = H / n,  (3)

где H – размах вариации, определяемый по формуле (4).

H = Х_мах –Х_min, (4)

где X_мax и X_min — максимальное и минимальное значения в совокупности.

В нашей задаче h = (3,533 – 2,011)/5 = 0,304.

Интервальная группировка  данных приведена в первом столбце  таблицы 1, которая содержит также алгоритм и промежуточные расчеты.

Таблица 1. Вспомогательные расчеты для решения задачи

Xi	fi	ХИ	XИfi	ХИ-		(ХИ- )2	(ХИ- )2fi	(ХИ- )3 fi	(ХИ- )4 fi
до 2,315	4	2,163	8,652	-0,486	1,944	0,236	0,944	-0,459	0,223
2,315-2,619	7	2,467	17,269	-0,182	1,274	0,033	0,231	-0,042	0,008
2,619-2,923	5	2,771	13,855	0,122	0,61	0,015	0,075	0,009	0,001
2,923-3,227	1	3,075	3,075	0,426	0,426	0,181	0,181	0,077	0,033
более 3,227	3	3,380	10,14	0,731	2,193	0,534	1,602	1,172	0,857
Итого	20	—	52,991	—	6,447	—	3,033	0,757	1,122

На основе этой группировки  строится график распределения возраста студентов (рис.1).

Рис.1. График распределения соотношения «возраст/рост» студентов

Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется по формуле (5):  , (5)

где Х_Mo – нижнее значение модального интервала;

f_Mo – число наблюдений или объем взвешивающего признака (вес признака) в модальном интервале;

 f_Mo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному;

 f_Mo+1 – то же для интервала, следующего за модальным;

 h  – величина интервала изменения признака в группах.

В нашей задаче чаще всего повторяется (7 раз) второй интервал соотношения (2,315-2,619), значит, это и есть модальный интервал. Используя формулу (5), определяем точное значение модального возраста:

Мо = 2,315 + 0,304*(7-4)/(2*7-4-5) = 2,497.

Для интервального ряда с равными интервалами величина медианы определяется так:

,     (6)

где X_Me – нижняя граница медианного интервала; h – его величина (размах);

– сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;

f_Me – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале.

В нашей задаче второй интервал возраста (от 2,315 до 2,619) является медианным, так как на него приходится середина ряда распределения возраста. Используя формулу (6), определяем точное значение медианного возраста: Ме = 2,315 + 0,304*(0,5*20-4)/7 = 2,576.

Определим среднее значение среднего показателя по формуле средней  арифметической взвешенной: = ,   (15)

В нашей задаче, применяя формулу (15) и подставляя вместо середины интервалов возраста Х_И, определяем средний возраст студентов:

= 549,163/25 = 21,967.

Теперь осталось определить типичность или нетипичность найденной средней величины. Это осуществляется с помощью расчета показателей вариации. Чем ближе они к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности. При этом критериальным значением коэффициента вариации служит 1/3.

Среднее линейное отклонение определяется по формуле взвешенной (16):

                    (16)

Среднее квадратическое отклонение определяется как корень квадратный из дисперсии, то есть по формуле (17):   .    (17)

Дисперсия определяется по формуле (18):        (18)

 В нашей задаче, применяя формулу (16), определим ее числитель и внесем в расчетную таблицу. В итоге получим среднее линейное отклонение:

Л = 6,447/20 =0,322.

Разделив это значение на средний возраст, получим линейный коэффициент вариации:   = 20,322/2,649=0,122.

По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов  делаем вывод о типичности среднего возраста, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0,122 < 0,333).

Применяя формулу  (18), получим в итоге дисперсию: Д = 3,033/20=0,152.

Извлечем из этого числа корень и получим в результате среднее квадратическое отклонение: = = =0,39.

Разделив это значение на среднее соотношение возраста и роста, получим квадратический коэффициент вариации: = 0,39/2,649=0,147.

По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов  можно сделать вывод о типичности среднего возраста, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0,147 < 0,333).

В качестве показателей асимметрии используются: коэффициент асимметрии – нормированный момент третьего порядка (19) и коэффициент асимметрии Пирсона (20): ,  (19); .  (20)

В нашей задаче: = =0,757/20=0,038;

=0,39³=0,059;

=0,038/0,059 = 0,644 > 0,

Значит, распределение студентов с правосторонней асимметрией. Это подтверждает и значение коэффициента асимметрии Пирсона:

As = (2,649-2,497)/0,39 = 0,39.

Для характеристики крутизны распределения используется центральный момент 4-го порядка:

= .    (21)

=1,122/20 = 0,056.

Для образования безразмерной характеристики определяется нормированный момент 4-го порядка , который и характеризует крутизну (заостренность) графика распределения. При измерении асимметрии эталоном служит нормальное (симметричное) распределение, для которого =3. Поэтому для оценки крутизны данного распределения в сравнении с нормальным вычисляется эксцесс распределения (22):

                                           .     (22)

В нашей задаче числитель  центрального момента 4-го порядка рассчитан в последнем столбце расчетной таблицы. В итоге имеем:

Ex = 0,056/0,39⁴–3 = - 0,565.

Так как Ex<0, то распределение низковершинное.

Задание 3

Для изучения вкладов населения в коммерческом банке города была проведена 5%-я  случайная выборка лицевых счетов, в результате которой получено следующее распределение клиентов по размеру вкладов:

Размер вклада, у.е.	Число вкладчиков, чел.
до 5000	90
5 000 – 15 000	75
15 000 – 30 000	130
30 000 – 50 000	60
свыше 50 000	25

С вероятностью 0,954 определить:

1) средний размер вклада во  всем банке; 

2) долю вкладчиков во всем  банке с размером вклада свыше  15000 у.е.;

3) необходимую численность выборки  при определении среднего размера  вклада, чтобы не ошибиться более  чем на 500 у.е.;

4) необходимую численность выборки при определении доли вкладчиков во всем банке с размером вклада свыше 30 000 у.е., чтобы не ошибиться более чем на 10%.

Решение:

Определим средний  размер вклада по формуле средней арифметической взвешенной:  = 7826500/380 = 20596,053 тыс. руб.

Таблица 2. Вспомогательные расчеты для решения задачи

Xi	fi	ХИ	XИfi	(ХИ - )2	(ХИ - )2fi
до 5000	90	2500	225000	327467134,2	29472042078
5000 – 15000	75	10000	750000	112276339,2	8720725440
15000 - 30000	130	22500	2925000	3625014,179	471251843,2
3000 - 50000	60	40000	2400000	376513159,2	22590729552
более 50000	25	625000	1562500	1755940774	43898519350
Итого	380	-	7826500	-	104853268263,2

Рассчитаем дисперсию  среднего вклада: