Прогнозирование емкости и конъюнктуры рынка

 

Сравним параметры линейного  тренда, вычисленные графическим  методом а₀=8,1 и а₁ = -0,28 и методом МНК а₀=8,35 и а₁ = -0,31. Они достаточно близки.

2.6 Выбор нелинейного тренда

Далее необходимо выбрать нелинейную модель и рассчитать ее параметры. Параболический тренд не подходит т.к. нет резкого изменения направления тенденции. Гиперболический тренд тоже не подходит т.к. значение не приближается к определённому пределу. Итак, остается степенной или показательный тренд, степенной тренд используется тогда, когда темпы роста экономического показателя, в среднем, либо постепенно возрастают, либо постепенно убывают.

Для этого рассчитаем цепные темпы роста в таблице 7.

                                           Таблица 7

t	Y(t)	Тр,%
1	7,9	-
2	8,6	108,86
3	7,3	84,88
4	6,8	93,15
5	5,9	86,76
6	6,2	105,08
7	6,7	108,06
8	5,8	85,57
9	6,0	103,45
10	5,2	86,67
11	5,0	96,15
12	4,4	88
Итого	75,8

 

Расчет цепных темпов роста показывает, что они относительно постоянны. Это позволяет предположить, что  объем сбыта продукции может  быть описан с помощью показательного тренда.

Расчет параметров для показательного тренда .

Параметры для показательного тренда непосредственно методом  МНК найти невозможно, так как  этот тип тренда нелинейный. Чтобы  обойти этот сдерживающий момент, осуществим линеаризацию показательного тренда с  помощью натурального логарифма. В результате логарифмирования исходная трендовая модель будет выглядеть  следующим образом:

                                                     

В линеаризированной  модели показательного тренда параметрами  будут lna₀ и lna₁. Их значения можно найти методом МНК,  построив видоизмененную систему линейных уравнений :

 

 

 

В результате решения  этой системы уравнений найдем параметры  линеаризированной модели показательного тренда следующим образом:

 

              

 

 

Для расчетов составим следующую  таблицу:

 

                

Таблица 7

t	yt	t²	lnyt	t*lnyt
1	7,9	1	2,066863	2,066863
2	8,6	4	2,151762	4,303524
3	7,3	9	1,987874	5,963622
4	6,8	16	1,916923	7,667692
5	5,9	25	1,774952	8,874760
6	6,2	36	1,824549	10,947294
7	6,7	49	1,902108	13,314756
8	5,8	64	1,757858	14,062864
9	6	81	1,791759	16,125831
10	5,2	100	1,648659	16,486590
11	5	121	1,609438	17,703818
12	4,4	144	1,481605	17,779260
78	75,8	650	21,914350	135,296874

 

  После того как  найдены параметры линеаризированной  модели показательного тренда, параметры lna₀ и lna₁ необходимо пропотенцировать, т.е. найти антилогарифмы чисел  lna₀ и lna₁. Таким образом, параметры показательного тренда будут равны:

В результате расчетов параметров показательный  тренд будет иметь  следующий конкретный  вид: .

Построим график показательного тренда в соответствии с рисунком 5

                                                                                      

Рисунок 5

 

На основе визуального анализа  видно: показательный тренд не совсем точно  совпадает с реальным трендом  временного ряда.

2.7 Выбор тренда, наилучшим образом аппроксимирующего исходный временной ряд

Аппроксимация (приближение) − это замена исходных данных  наиболее близкими к ним другими данными, представленными в виде тренда.

Для выбора трендовой  модели, которая наилучшим образом  аппроксимировала бы исходные данные, используются различные критерии, например, критерий наименьшей суммы квадратов отклонений.

Поскольку сравниваются трендовые модели,  у которых  одинаковое число параметров ( , ), то критерий наименьшей суммы квадратов отклонений будет иметь следующий вид:

 

.

 

 

Для проведения промежуточных  расчетов построим таблицу:

 

 

 

Таблица 8

t	yt
1	7,9	8,04	8,1605	0,0196	0,0679
2	8,6	7,73	7,7525	0,7569	0,7183
3	7,3	7,42	7,3651	0,0144	0,0042
4	6,8	7,11	6,9966	0,0961	0,0387
5	5,9	6,8	6,6469	0,8100	0,5579
6	6,2	6,49	6,3145	0,0841	0,0131
7	6,7	6,18	5,9984	0,2704	0,4922
8	5,8	5,87	5,6986	0,0049	0,0103
9	6,0	5,56	5,4134	0,1936	0,3441
10	5,2	5,25	5,1428	0,0025	0,0033
11	5,0	4,94	4,8860	0,0036	0,0130
12	4,4	3,72	4,6420	0,4624	0,0586
-	75,80	75,11	75,073	2,7185	2,3214

 

 

  

 

 Рисунок 6

 

Сравним значения критерия наименьшей суммы квадратов отклонений для линейного, степенного и показательного трендов:

Для линейного тренда критерий равен 2,7158, для показательного 2,3214. Коэффициент для показательного тренда меньше, чем для линейного , поэтому показательный тренд лучше аппроксимирует исходные данные.

Следовательно, для прогнозирования необходимо взять показательный тренд .

2.8 Расчет величины е_t  и адекватности выбранной модели тренда на основе условий

 После того как  была выбрана трендовая модель, имеющая наилучшую степень аппроксимации к исходным данным, необходимо оценить адекватность выбранного тренда тенденции исходных данных. ( )

 

 

 

Чтобы оценить  адекватность выбранной трендовой модели теоретическому тренду временного ряда, найдем  разность е_t между исходными данными у_t и нашей трендовой моделью :

.

 

                               Таблица 9

t	Y(t)		et
1	7,9	8,1605	-0,2605
2	8,6	7,7525	0,8475
3	7,3	7,3651	-0,0651
4	6,8	6,9966	-0,1966
5	5,9	6,6469	-0,7469
6	6,2	6,3145	-0,1145
7	6,7	5,9984	0,7016
8	5,8	5,6986	0,1014
9	6,0	5,4134	0,5866
10	5,2	5,1428	0,0572
11	5,0	4,8860	0,114
12	4,4	4,6420	-0,242
-	-	-	0,7827

                                                  

Рисунок 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие 1. Колебание величины е_t должно носить случайный характер. Это условие означает, что колебание (изменение) величины е_t не содержит элементов тенденции. Проверим данное условие с помощью критерия поворотных точек.

 Величина е_t считается поворотной,  если она соответствует одному из двух условий:                  е_t-1< е_t >е_t+1  или е_t-1> е_t <е_t+1 .

Для расчетов построим таблицу: 

t	Y(t)		et	Pt	et²	ē	(et-ē)²	(et-et-1)²
1	7,9	8,1605	-0,2605	-	0,0679	0,0652	0,10608	-
2	8,6	7,7525	0,8475	1	0,7183	0,0652	0,61199	1,2277
3	7,3	7,3651	-0,0651	0	0,0042	0,0652	0,01698	0,8328
4	6,8	6,9966	-0,1966	1	0,0387	0,0652	0,06854	0,0173
5	5,9	6,6469	-0,7469	1	0,5579	0,0652	0,65951	0,3028
6	6,2	6,3145	-0,1145	0	0,0131	0,0652	0,03229	0,3999
7	6,7	5,9984	0,7016	1	0,4922	0,0652	0,40500	0,6660
8	5,8	5,6986	0,1014	1	0,0103	0,0652	0,00131	0,3602
9	6,0	5,4134	0,5866	1	0,3441	0,0652	0,27186	0,2354
10	5,2	5,1428	0,0572	1	0,0033	0,0652	0,00006	0,2803
11	5,0	4,8860	0,1140	1	0,0130	0,0652	0,00238	0,0032
12	4,4	4,6420	-0,242	-	0,0586	0,0652	0,09437	0,1267
-	-	-	0,7827	8	2,3214	-	2,2704	4,4525