Дидактическая игра как средство активизации познавательной деятельности на уроках математики в 1 классе

Сущность счета заключается  в установлении взаимно однозначного соответствия между множествами, подлежащими  счету, и некоторым отрезкам натурального ряда. Процесс счета закончится тогда  и только тогда, если считаемое множество конечно, видим, что понятие счета тесно связано с понятием отрезка натурального ряда и понятием конечного множества. Введем определение этих понятий.

Определение 1. Отрезком N натурального ряда называется множество  натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а. Например, отрезок N 7 есть множество натурального ряда чисел или можно сказать, что отрезок натурального ряда N состоит из всех таких натуральных чисел б, что б < а.

Отрезки натурального ряда обладают рядом свойств.

1. Для любого натурального  числа а верно, что 1 N а.

Действительно, что при  а=1 имеем, что 1 N1= (1). Если же а > 1, то 1 < а, и, следовательно, 1 содержится в отрезке Nа.

2. Если число б содержится  в отрезке Nа и б ? а, то  и число б ? 1 также содержится в отрезке Nа.

Заметим, что при б Nа и б ? а имеем б < а, а потому существует такое натуральное число  с, что а = б + с. Если с=1, то б + 1 = a, и, значит, оно содержится в отрезке Nа. Если же с 1, то с - 1 - натуральное число, и, следовательно, а = б - с = (б - 1) + (с - 1), но тогда б + 1 < а, т.е. б + 1 - натуральное число, принадлежащее отрезку Nа.

Определение 2. Множество  А называется конечным, если существует взаимнооднозначное отображение этого  множества на некоторый отрезок Na натурального ряда чисел.

 

Теорема 1. Одно и тс же множество А не может быть взаимно  однозначно отображено на два различных  отрезка натурального ряда чисел.

Доказательство: Если бы множество А можно было взаимно  однозначно отобразить на два различных  отрезка натурального ряда Nа и Nб (а ? в), то существовало бы и взаимно однозначное отображение Nа на Nб. Поэтому достаточно доказать, что при а ? в взаимно однозначно отображение Na на Nв невозможно. Кроме того, между любыми неравными натуральными числами имеет место одно из отношений: а < в либо а > в. Поэтому доказательство данной теоремы сводится к доказательству утверждения: если а < в, то не существует взаимно однозначного отображения Nа и Nв. Оно проводится с помощью математической индукции по а.

При а = 1 нам надо доказать, что не существует взаимно однозначного отображения множества N1 = (1) на множество Nв, где в > 1. Действительно, при в > 1 множество Nв содержит число в ? 1, и потому при любом отображении N1 в Nв хотя бы одно из чисел 1 или в не будет образом числа 1.

Предположим теперь, что для некоторого числа а невозможно взаимно однозначное отображение Nа и Nв при а < в, и докажем, что тогда при а + 1 - с невозможно взаимно однозначное отображение Nа + 1 на Nс. Если бы такое отображение существовало и образом числа а + 1 было бы число х, то, выбрасывая а + 1 из Nа + 1 и х из Nс, мы получили бы взаимно однозначное отображение Nа + 1 на Nс-(х). Но очевидно, множество Nс - (х) можно взаимно однозначно отобразить Nс-1. Поэтому существовало бы взаимно однозначное отображение Nа на Nс-1, что невозможно, так как из а+1 <с следует а < в = С-1, а мы предположили, что при а < в нет взаимного однозначного отображения Nа на Nв. Итак, теорема верна при а = 1 и из нее справедливости при а следует, что она выполняется и при а + 1. Значит, теорема доказана для любых а и в. Из теоремы 1 следует, что конечное множество А равномощно только одному отрезку натурального ряда Nа, и потому ему может быть поставлено в соответствие единственное число а. Это число а называют числом элементов в множестве А и пишут: п (А) = а. Число а есть количественное натуральное число.

Взаимно однозначное  отображение множества А на отрезок Nа можно понимать как нумерацию  элементов множества А. Этот процесс  нумерации называют счетом. Существует много нумерации одного и того же множества. Так, элементы множества А = р, к, с можно занумеровать следующим образом: р = 1, к = 2, с = 3, а можно иначе. А=! р,к,с! можно занумеровать следующим образом: р= 1, к - 2, с = Ь, а можно иначе. Имеются и другие возможности нумерации элементов данного множества А.

При пересчете элементы конечного множества не только расставляются  в определенном порядке, но и устанавливается  также, сколько элементов содержит множество. В первом случае натуральное  число представляет собой порядковый номер некоторого элемента и называется в силу этого числом порядковым. Во втором случае мы имеем дело с числом количественным. Эти две роли натуральных чисел нашли отображение на русском языке: порядковые натуральные числа выражаются числительными: первый, второй, третий и т.д., количественные - числительными - один, два, три и т.л Учащиеся начальных классов ознакомлены с требованиями к счету: Счет может быть прямым и обратным, при счете нельзя нарушать порядок следования чисел друг за другом.

Итак, с теоретико-множественных позиции натуральное число рассматривается как число элементов конечного множества.

3. Натуральное число  как результат измерения величин

Натуральное число (числа) используют для пересчета элементов  конечных множеств, но и для измерения  величин: длин отрезков, площадей фигур, масс тел, стоимости товара и др., т.е. для сравнения их с некоторой единицей (метром, килограммом, и др.) и выражения результат сравнения числом.

 

Если измеряемую величину можно разделить на несколько  частей, «равных» единицы величины, то результат измерения выражается натуральным числом. Чаще, однако, единица величины не укладывается целой число раз в измеряемой величине. Поэтому для выражения результата измерения приходится расширять запас чисел, вводя числа, отличаемые от натуральных. Следовательно, измерение величин служит основой для расширения понятия числа.

Уточним представления  о натуральном числе как результате измерения величин или, как говорят, мере величины. Рассмотрим на примере  величины -длины отрезка.

Определение: Считают, что отрезок а разбит на отрезки (состоит из отрезков): а1, а1,… ап, если он не является их объединением и никакие два из отрезков не имеют общей внутренней точки (не налегают друг на друга), хотя и могут иметь общие концы. В этом случае отрезок а называют суммой отрезков а1, а2… ап и пишут: а = а1 + а2 +…+ап.

Так как можно утверждать, что отрезок а, изображенный на рисунке 1, разбит на отрезки: а1, а2, а3, а4 и а = а1 + а2 + а3 + а4.

Выберем из множества  отрезков некоторый отрезок е  и назовем его единичным отрезком или единицей длины.

Определение: Если отрезок  а можно разбить на п отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число п назовем  мерой или значением длины  отрезка а при единице длины  е и будем писать: п = Ме (а) или  а = пе. Говорят также, что в этом случае отрезок а кратен отрезку е.

Например, мерой отрезка  а, изображенного на рисунке 2, при  единице длины е является число 6: Ме (а) = 6. В этом случае можно сказать, что число 6 является значением длины  отрезка а при единице е и записать: а = 6е.

Необходимо иметь в  виду, что при переходе к другой единице длины отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным. Так, если в качестве единицы длины  выбрать отрезок е1 (рисунок 1), то мера отрезка а можно выразить числом 6: Ме = 6. Или а = 6е.

Нетрудно убедиться  в справедливости и такого утверждения: если отрезок а и в кратны отрезку  е, то меры отрезков а и в при  единице длины е равны тогда  и только тогда, когда равны сами отрезки а и в.

Итак, натуральное число  как мера отрезка а показывает, из скольких выбранных единичных отрезков е состоит отрезок а. При выбранной единице длины е для отрезков а - это число и в связи с измерением других величин.

Натуральное число, получаемое при изменении, мо»но рассматривать  и как порядковое, и как количественное. Однако по своей сути оно выступает в новом качестве.

Глава 3. Опытно-экспериментальное исследование

1. Задачи и описание  опытно-экспериментальной работы

Цель проведенной нами исследовательской работы состояла в том, чтобы выяснить и проверить, как влияет на процесс обучения правильное использование на уроках математики дидактической игры.

Свои исследования мы осуществили в два этапа.

1. Выявить, какие навыки устного  и письменного счета имеют  учащиеся по теме «Нумерация  чисел от 1 до 10».

2. Проверить эффективность предлагаемого  вопроса.

1. Описание работы.

Эксперимент 1.

Цель: Для проверки сформированности навыков устного и письменного  счета, нумерации в пределах 10, знания о натуральной последовательности чисел, знание таблицы сложения и вычитания в пределах 10, умение сравнивать числа. Были предложены следующие задания:

1. Расставь числа в нужном  порядке: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.

2. 2 + 10?...=9 7 ? … = 8

3. Найдите сумму чисел 3 и 5, 2 и 6, 5 и 1.

Найдите разность чисел 7 и 2, 10 и 5, 9 и 4.

4. Книга раскрыта на 8-й странице. Какая страница следующая? Какая  предыдущая?

5. Сравни: 4 и 5 5 и 7 - 1

3 и 9 6 и 8 - 2

6. 7 = …. + …., 5 = …. + …., 8 = …. + …., 10 = …. + ….

Для более слабых учеников были предложены индивидуальные карточки (приложение).

Итоги проверочной работы мы поместили  в таблице 2.