Дидактическая игра как средство активизации познавательной деятельности на уроках математики в 1 классе

Европейцы познакомились  с достижениями индоарабской математики в 11 веке. Расширение торговли повлекло за собой значительное усложнение счета, появилась потребность в совершенствовании методов счета. Поэтому европейские математики обратились к трудам греческих и арабских ученых, перевели их на латинский язык. С десятичной системой исчисления европейцы познакомились через перевод книги Аль-Хорезми. Название перевода звучало: «Об индийском числе, сочиненные АЛГОРИЗМИ». В 202 году выходит «Книга абака» Л. Фибоначчи, где также вводятся индийские цифры и нуль. С 13 века начинается внедрение десятичной системы, и к 16 веку она стала повсеместно использоваться в странах Западней Европы.

В России до 17 века в основном употреблялась славянская нумерация, более стройная и удобная, чем  римская, но не позитивная. В ней  числа изображались буквами славянского алфавита, над которыми для отличия ставили особый знак - титло. В древней Руси буква «а» обозначала единицу, «в»- два, «г» - три.. Также буква «а» с особым значком слева обозначала тысячу, а обведенная кружком - десять тысяч, или «тьму», как тогда называлось таксе число.

Важным знаком в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда числа, т.е. потенциальной возможности  его безграничного продолжения. Отчетливое представление о бесконечности  натурального ряда отлажено в памятниках античной математики (3 век до н.э.), в трудах Евклида и Архимеда, В «Началах» Евклида устанавливается даже безграничная продолжаемость ряда простых чисел, в книге Архимеда ''Псаммит" принципы для построения названий и обозначений для сколь угодно чисел, в частности больших, чем «число песчинок в мире», и развитием понятия натурального числа как результата счета предметов в обиход включается действия над числами. Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности.

Натуральные числа, кроме  основных функций - характеристики количества предметов, несут еще одну функцию - характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающие в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй, третий и т.д.) тесно переплетаются с понятием количественного числа (один, два и т.д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчет с применением порядковых чисел является наиболее употребляемым, с незапамятных времен способом счета предметов (так, если последним из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов).

Вопрос об обосновании  понятия натурального числа долгое время в науке не ставился, понятие натурального числа столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах. Лишь в середине 19 века под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа - с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Отчетливое определение понятия натурального числа на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19 века в работах Г.Кантора. Сначала он определяет понятие равномерности совокупностей. Именно две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих одну совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и любая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального числа, как результата счета предметов, составляющих «эталонную» совокупность (на ранних ступенях - пальцы рук и ног, зарубки на палочке и т.д., на современном этапе - слов аи знаки, обозначающие числа).Определение, данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количественного числа в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.

Другое обоснование  понятия натурального числа базируется на анализе отношения порядка  следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе системе аксиом была сформулирована Дж.Пеано. Итак, понятие числа является одним из основных в математике. Число служит оружием, при помощи которого математика и другое науки изучают объективные закономерности реального мира.

Современное состояние понятия «число» сложилось в результате сложного и длительного исторического пути развития, в процессе решения постоянно усложняющихся практических и теоретических задач.

2. Три подхода к  определению целого неотрицательного  числа

1. Аксиоматический подход к натуральному числу

В теории построенной  Дж. Пеано, б качестве основного понятия  взято отношение «непосредственно следовать за». Известными также  считаются понятия множеств, элемента множеств и другие теоретико-множественные  понятия, а также правила логики. Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а1. Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в четырех аксиомах.

Аксиома 1. В множестве  А существует элемент, непосредственно  не следующий ни за каким элементом этого множества. Называют его единицей.

Аксиома 2. Для каждого  элемента а из множества В существует единственный элемент a1, непосредственно  следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого  элемента а из множества В существует не более одного элемента, за которым, непосредственно следует а.

Аксиома 4. Пусть множество  и есть подмножество множества В  и известно, что:

а) единица содержится в М;

б) из того, что а содержится в М, следует, что и al содержится в  М;

тогда множество М  совпадает с множеством А?

Опираясь на введенное отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы 1-4, можно дать следующее определение натурального числа.

Определение 1. Множество  А, для элементов которого установлено  отношение «непосредственно следовать  за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы натуральными числами.

Приведенное определение  называют аксиоматическим. В таких  определениях все понятия выступают  как первичные, а связи между  ними описываются системой аксиом. Поэтому систему аксиом можно рассматривать как неявные, косвенные определения исходных понятий.

В данном определении  натурального числа ничего не говорится  о природе элементов множества  А. Следовательно, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества А .некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, получают различные интерпретации (модели) данной системы аксиом. Одной из них является ряд чисел 1,2,3,…, возникающий в процессе исторического развития общества. Элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества, здесь обозначается символом 1. Возможны и другие модели данной системы аксиом. Рассмотрим, например, последовательность множеств, в которой множество (00) есть начальный элемент, а каждое последующее множество получается и с предыдущего, приписыванием еще одного кружка.

а) (00), (000), (0000)…

Тогда A есть множество, состоящее  из множеств описанного вида. Нетрудно убедиться в том, что оно является моделью системы аксиом 1-4. Действительно, в множестве А существует элемент (00), непосредственно не следующий ни за каким элементом данной совокупности множеств; если считать обведенные кружки за один элемент, то для каждого множества В рассматриваемой совокупности существует единственное множество, которое получается из В добавление одного кружка; для каждого множества В существует не более одного множества, из которого образуется множество В добавлением не более одного множества, из которого образуется множестве В добавлением одного кружка; если М А известно, что множество В содержится в М, и из того, что В содержится в М, что и. множество, в котором на один кружок больше, чем в множестве В, также содержится в М, то М = А.

б) (00), (00 0), (00 00)…

То обстоятельство, что в аксиоматических теориях не говорят об «истиной» природе изучаемых объектов и понятий, а формулируют лишь «их свойства, выраженные в аксиомах, делает на первый взгляд эти теории слишком абстрактными и формальными, оказывает что одним и тем же аксиомам удовлетворяют различные множества объектов и разные отношения между ними, однако в этой системе, т.е. кажущейся абстрактности и состоит сила аксиоматического метода: каждое утверждение, выведенное логическим путем из данных аксиом, применимо к любым множествам объектов, лишь бы в них были определены отношения, удовлетворяющие этим аксиомам.

Рассмотрим натуральный  ряд чисел в качестве одной  из моделей системы аксиом 1-4, следует  отметить, что они описывают процесс  образования этого ряда, причем происходит это при раскрытии в аксиомах свойств отношения «непосредственно следовать за». Так, натуральный ряд чисел начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); отправляясь от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4). Заметим, что аксиома 4 в формализованном виде описывает бесконечность натурального ряда и на ней основано доказательство утверждений о натуральных числах.

Итак, аксиоматическое  построение системы натуральных  чисел начинается с выбора основного  отношения «непосредственно следовать за» и аксиом, представляющих определения этого отношения. Дальнейшее построение теории сводится к рассмотрению свойств натуральных чисел и операции над. ними. Они раскрываются в определениях и теоремах и должны быть получены чисто логическим (дедуктивным) путем из отношения «непосредственно следовать за» и аксиом 1-4.

Покажем, например, как  при таком построении теории можно  ввести отношения «непосредственно предшествует» и др., часто и  используемое при рассмотрении свойств  натурального ряда. Так как среди неопределяемых понятий теории данного отношения нет, то его надо определить.

Определение 2. Если натуральное  число б непосредственно следует  за натуральным числом а, то число  а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу б.

Отношение «предшествует» обладает рядом свойств. Они формулируются  в виде теорем и доказываются на основании аксиом 1-4.

Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа.

Теорема 2. Каждое натуральное  число а, отличное от 1, имеет предшествующее число б, такое, что б1=а.

Доказательство: Обозначим  через М множество натуральных  чисел, состоящее из числа 1 и из всех чисел, имеющих предшествующие. Если число а содержится в М, то и  число al также есть в М, поскольку  предшествующим для al является число а. Это значит, что множество М содержит 1, и из того, что число а принадлежит множеству М, следует, что число а1принадлежит М. Тогда по аксиоме 4 множество М совпадает с множеством всех натуральных чисел. Значит, все натуральные числа, кроме 1, имеют предшествующее число. Отметим, что в силу аксиомы 3 числа, отличные от 1, имеют единственное предшествующее число.

Заметим также, что б  аксиоматическом определении натурального числа ни одну из аксиом нельзя опустить - для любой из них можно построить множество, в котором выполнены остальные аксиомы (три), а данная аксиома не выполняется. Это положение наглядно подтверждается примером, приведенным на рисунках 1-4, на рисунке 1 изображено множество, в котором выполняются аксиомы <2 и 3, но не выполнена аксиома 1 (аксиома 4 не имеет здесь М смысла, т.к. в множестве нет элемента, непосредственно не следующего ни за каким другим); на рисунке 2 показано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 3 и 4, но за элементом а непосредственно следуют два элемента, а не един, как требуется в аксиоме 2: на рисунке 3 изображено множество, в котором выполнены аксиомы 1,2,4 но элемент с непосредственно следует за элементом а, так и за элементом б; на рисунке 4 показано множество, в котором выполнены аксиомы 1,2,3, но не выполняется аксиома 4: множество точек, лежащих на луче, содержит 1 и вместе с каждым числом оно содержит непосредственно следующее за ним число, не оно не совпадает со всем множеством точек, показанных на рисунке.

Аксиоматический подход к теории натуральных чисел не рассматривается ни в начальной школе, ни в средней. Однако те свойства «непосредственно следовать за», которые нашли отражение в аксиомах 1-4, являются предметом изучения в начальных классах и используются при решении задач. Уже в первом классе при рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При помощи терминов «следует» и «предшествует», используется этот прием в 1-м классе. Каждое новое число с самого начала выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. При таком подходе создаются условия для того, чтобы дети подметили некоторые общие свойства чисел натурального ряда: не только данное, рассматриваемое на этом уроке число, но и вообще любое натуральное число может сыть получено прибавлением 1 к тому числу, которое встречается пои счете перед ним, или вычитанием 1 из числа., которое идет при счете сразу после него; любое число на 1 больше, чем ему предшествующее... Таким образом, уже в начальной школе учащиеся убеждаются в том, что за. каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен.

Количественное натуральное  число может быть получено как  результат счета элементов конечного  множества, т.е. количественное число  явилось вторичным по отношению к порядковому числу. Но исторически количественное число появилось раньше, чем порядковое: на определенном этапе своего развития человек воспринимал численность множества предметов без их счета, поэтому возможен подход к количественному натуральному числу, который не связан со счетом.

Пусть множества А  и В таковы, что им соответствует  одно и то же число а. Это значит, что они взаимно однозначно отображаются на один и тот же отрезок натурального ряда, два множества, которые можно  взаимно однозначно отобразить друг на друга, равномощны. Следовательно, для конечных множеств утверждение «Множества А и В равномощны» равносильно утверждению «множества А и В содержат поровну элементов» (т.е. им соответствует одно и то же натуральное число).

Так как любому конечному множеству соответствует лишь одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств распадается на классы равномощных множеств. Например, в один из классов попадает множество сторон треугольника, множество его вершин, множество букв в слове «дом, в другой - общее свойство класса множеств, равномощных множеству вершин квадрата.

Число «нуль» также имеет  теоретико-множественное истолкование - оно ставится в соответствие «пустому»  множеству: 0 = к (0), А = (0).

Каждый класс разбиения  некоторого множества однозначно определяется заданием любого принадлежащего ему элемента - представителя этого класса. Значит, у каждого класса равномощных множеств однозначно задается выбором какого-нибудь представителя. В качестве такого представителя выбирают соответствующий отрезок натурального ряда чисел. Например, класс конечных множеств, содержащих множество вершин квадрата, задается отрезком натурального ряда А4 = (1,2,3,4)..

В связи с тем, что  при определении числа, соответствующего множеству А, приходится прибегать к счету, а для этого нужен некоторый отрезок натурального ряда, то изучение математики в начальных классах начинается с усвоения отрезка натурального ряда. Параллельно раскрывается М смысл каждого из чисел этого отрезка, причем количественное натуральное число по существу рассматриваются как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Например, когда учащиеся изучают число «один», в учебнике приводятся изображения одноэлементных множеств: одно ведро, одна девочка, один стул и т.д.; когда изучают число «три», рассматривают множества, содержащие три элемента: три кубика, три камешка и др. Так происходит при изучении всех чисел первого десятка, но число элементов в множестве каждый раз определяется путем пересчета, т.е. количественное и порядковое числа, а также их запись выступает в тесной взаимосвязи.