Пропедевтика изучения рациональных чисел в курсе математики начальной школы

Далее в учебнике 3 класса (часть 2) встречаются задания  этого же вида, в которых нужно  найти доли (части) различных величин.

Например:

1. Квадратный лист бумаги со стороной 2 дм разрезали на пять равных частей прямоугольной формы. Найди площадь одной части.

Решение:

Задачу решают практическим способом, поскольку способы  вычисления площади по формуле дети узнают в 4 классе.

2. В начальных классах школы учится 210 человек. Одну третью часть всех учеников составляют третьеклассники. Сколько детей учится в первых и вторых классах этой школы?

Решение:

Задачу решают, сопровождая ее наглядным изображением ситуации. Рассуждают так. Чтобы найти  одну третью часть от всего количества детей, разделим его на 3:

На всех остальных  детей приходится две части, значит

70 · 2 = 140 (чел.).

Или по другому: все остальные дети учатся в 1 и 2 классе, значит,

210 – 70 = 140 (чел).

3. За полгода в районную библиотеку поступило 200 книг для детей. Это составляет четвертую часть всех поступивших книг. Сколько всего книг поступило в библиотеку за эти полгода?

Решение:

Задачу решают, сопровождая ее наглядным изображением ситуации. Рассуждают так:

Обозначим произвольным отрезком все поступившие книги – мы не знаем сколько их:

Известна четвертая часть всех книг – разделим отрезок на 4 равные части (приблизительно) и обозначим известную часть.

Поскольку все  четыре части равны, значит, на каждую из них должно приходиться по 200 книг, значит,

200 · 4 = 800 (кн.) – поступило в библиотеку.

В 4 классе ставится задача нахождения нескольких долей  целого. Например:

1. Длина отрезка 10 см. Он разделен на 5 равных частей. Сколько сантиметров в четырех пятых долях этого отрезка? Рассмотри чертеж и решение:

1) Найдем, сколько  сантиметров в одной пятой доле отрезка:

10 см : 5 = 2 см.

2)  Найдем, сколько сантиметров в четырех  пятых долях отрезка:

2 см · 4 = 8 см.

Ответ: 8 см.

Работа над  данным понятием идет исключительно  в словесных обозначениях: детям  сообщается термин и дается его практическая иллюстрация. Символьное обозначение дроби на данном этапе не рассматривается.

Далее предлагаются различные задания (в виде задач  на нахождение нескольких долей числа) аналогичного характера.

Например:

Начерти отрезок  длиной 60 мм. Раздели его на 6 равных частей. Сколько миллиметров в пяти шестых долях этого отрезка?

В данном случае речь идет только о пяти долях из шести имеющихся, но не о дроби .

Знакомство  с символикой и операция сравнения  дробей рассматривается на последних страницах учебника математики для 4 класса (часть 2) [17;263].

Рассматривается способ записи дроби: .

Правильный  способ чтения этой записи и смысл  каждого ее элемента: число, записанное под чертой, показывает, на сколько  равных частей разделено целое число; число, записанное над чертой, показывает, сколько взято таких частей.

Слова «числитель»  и «знаменатель» детям не сообщаются.

Сравнение дробей проводится с опорой на рисунок. Следует  обращать внимание на то, что необходимо сравнивать соизмеримые части одного объекта, поскольку для ученика начальной школы дроби — это только части объекта или множества.

Например:

Отвечая на вопросы, ученики сравнивают соответствующие  части равных полосок (для наглядности  их можно закрасить разными цветами).

Рассуждения:

Сравниваю одну восьмую долю полоски и одну четвертую долю такой же полоски. Одна четвертая доля больше, чем одна восьмая доля одной и той же полоски.

Задания, требующие  нахождения дробей (долей) величин и  величин по заданным долям используются для выработки умения находить доли от числа и число по доле не только с опорой на наглядную модель, но и с использованием смысла понятия доля.

Доля – это одна из нескольких равных частей величины.

Например:

1. 6 листов составляют половину тетради. Сколько всего листов в тетради?

Задача может  быть решена с опорой на рассуждение: половин в тетради может быть только две. Если в каждой по 6 листов, то вся тетрадь содержит 6 · 2 = 12 (листов).

2. Маленькая перемена длится 5 минут, что составляет четвертую часть большой перемены. Сколько минут длится большая перемена?

Рассуждение:

Четвертых частей может быть только 4. Если в каждой из них по 5 минут, то вся перемена 5 · 4 = 20 (мин).

3. Чему равна треть суток? Половина суток? Четверть часа? Три четверти года?

Для ответов  на все вопросы используют смысл понятия доля (несколько долей) величины и знание соотношения единиц времени.

Сутки — это 24 часа.

Треть суток 24 : 3 = 8 (ч). Половина суток 24 : 2 = 12 (ч).

Час – это 60 мин. Четверть часа 60 : 4 = 15 (мин).

Год – это 12 месяцев. Четверть года 12 : 4 = 3 (мес).

Три четверти года 3 · 3 = 9 (мес).

4. Начерти отрезок, длина которого 48 мм. Чему равна длина третьей части отрезка?

Рассуждение:

Третьих частей в отрезке может быть только три.

48 мм : 3 = 16 мм – длина одной третьей части.

5. Начерти отрезок, пятая часть которого равна 17 мм.

Рассуждение:

Пятых частей в отрезке может быть только 5. Если каждая из них равна 17 мм, то весь отрезок 17 мм · 5 = 85 мм.

В данном контексте  следует рассматривать и действия с дробями, изучаемые в начальных  классах по некоторым альтернативным программам (учебник И.И. Аргинской, учебник Л.Г. Петерсон). Задания «на действия с дробями» построены на том же принципе понимания ребенком дроби как доли (или нескольких долей) предмета или множества, они не предполагают произведения действий с дробями как таковыми по принципам, определенным аксиоматикой рациональных чисел (т. е. не имеются в виду специфические преобразования знаменателей и числителей и т. п., по специальным правилам, как это делается в 5 – 6 классах средней школы).

Результаты  действий с дробями учащиеся усваивают как результаты операций над объектами, данными в предметной модели или рисунке.

Рассуждения:

Одна четвертая  доля полоски и еще одна такая  же доля полоски — вместе две  четвертых доли полоски.

Одна четвертая доля полоски и еще две таких же доли, вместе получается три четвертых доли полоски.

Следует отметить, что с точки зрения введенного определения дроби, как части  объекта, числа, множества, является некорректной работа с неправильными дробями.

Неправильная дробь – это дробь, у которой числитель больше,

чем знаменатель, например: и т.п.

В ряде альтернативных учебников (И.И. Аргинская, Л.Г. Петерсон) представлены задания, в которых учащиеся должны действовать с неправильными дробями: сравнивать их, расставлять по возрастанию или убыванию и т. п.

А.В.Белошистая считает, что для того чтобы подобные задания были корректными, следует использовать другое определение дроби (как рационального числа, заданного соответственным определением; см. выше), как это сделано в учебниках средней школы [17].

С точки зрения используемого в начальной школе  определения выражение вида - не имеет смысла, поскольку оно должно пониматься так: некий предмет (яблоко, полоску) разделили на 4 равные части, а затем взяли 7 таких частей. Речь идет об одном предмете, поэтому взять 7 частей неоткуда!

Даже если речь идет о множестве: «в классе 36 детей», то одна четвертая доля этого количества равна 9 детям, а - долей должны соответствовать количеству 64 человека  при том, что изначально их было 32!

Таким образом, при ознакомлении учащихся начальной школы с неправильными дробями следует по-другому построить методику их знакомства с понятием «Дроби» (сделать это на основе аксиоматического определения) и не использовать понятие «Доли» вообще [17].

 

2.2 Формирование понятия доли и дроби в  вариативных программах обучения математики

В соответствии с программой по математике, в начальных  классах должна быть проведена подготовка к изучению дробей в 3-4 классах. Это значит, в начальных классах надо создать конкретное представление о доле и дроби. С этой целью предусматривается в 3 классе (Программа Моро М.И.) ознакомить детей с долями, их записью, научить сравнивать дроби, решать задачи на нахождение доли числа и числа по доле; в 4 классе ознакомить с дробями, их записью, научить сравнивать дроби,  научить решать задачи на нахождение дроби числа. Все названные вопросы раскрываются на наглядной основе.

Ознакомить детей с  долями – значит сформировать у них конкретные представления о долях, т.е. научить детей образовывать доли практически.

Например, чтобы получить одну четвертую долю круга, надо круг разделить на четыре равные части  и взять одну такую часть.

Для формирования правильных представлений о долях надо использовать достаточное количество разнообразных наглядных пособий. Как показал опыт, наиболее удобными пособиями являются геометрические фигуры, вырезанные из бумаги; интерактивные тренажеры, презентации.

Л.Г.Петерсон предлагает организовать ознакомление учащихся с долями следующим образом.

У каждого из учащихся и у учителя по несколько одинаковых кругов, прямоугольников. Возьмите два одинаковых круга. Один из них разделите на две равные части (показывает, как надо перегнуть и как разрезать круг). Это целый круг, а это половина круга, иначе говоря, одна вторая доля круга. Сколько вторых долей в целом круге? (2) . Покажите их. Возьмите квадрат. Как получить одну вторую долю или половину квадрата (разделить его на две равные части и взять одну такую часть)? Выполняйте.

Учащиеся могут сделать  это разными способами, например: разрезать квадрат по диагонали  и получить два равных треугольника или же разрезать по средней линии, тогда получится два прямоугольника. Некоторые учащиеся могут предложить и другие способы деления квадрата на две равные части (рис.4)

 

 

 

Рис.4

Как получить одну вторую долю круга (разделить круг на две  равные части и взять одну такую  часть)? Как получили одну вторую долю квадрата? Как иначе называют одну вторую долю круга? Квадрата?  (половина –«-,-«-) Сколько половин круга в целом круге (2)?

Доли записывают с  помощью двух чисел. Одна вторая доля круга, квадрата обозначается так: 1/2. Число 2 показывает, что круг, квадрат или другая фигура (предмет), разделена на 2 равные части, а число 1 показывает, что взяли одну такую часть.

Учащиеся записывают на половине круга 1/2 и объясняют, что показывает в этой записи каждое число.

Так же образуются доли 1/4, 1/8, 1/3, 1/6, 1/5, 1/10 и др. При этом учащиеся должны уяснить, что для получения например, 1/5 отрезка (прямоугольника, бумажной полоски и т.п.) надо данный отрезок (прямоугольник, полоску и т.п.) разделить на 5 равных частей и взять одну такую часть, что в данном отрезке 5 пятых долей, что одна пятая доля записывается так: 1/5, что в этой записи число 5 обозначает, на сколько равных частей разделен отрезок, а число 1, - что взята одна такая часть. Для закрепления этих знаний и умений учащимся предлагают различные упражнения.

Это прежде всего упражнения в назывании и записи долей (рис.5) Назовите и запишите, какая доля квадрата (круга) отрезана (закрашена).

 

 

 

 

Рис.5

 

Можно предлагать самим детям изобразить долю отрезка  и записать эту долю.

В каждом случае надо спрашивать, сколько всего долей  в целом. Например, сколько третьих  долей отрезка во всем отрезке  и т.п.

Эффективным упражнением для формирования представлений о долях является сравнение долей одной и той же  величины, которое выполняется чисто практически, с помощью наглядных пособий.

Например, предлагается сравнить доли 1/3 и 1/2  и поставить знак “>”,  ”<”.

Учащиеся изображают доли, например, с помощью отрезков (рис.6). Сравнивают их и убеждаются, что 1/3 меньше, чем 1/2.

                                    1/3

 

                                      1/2

 

Рис.6

 

Решение задач  на нахождение доли числа и числа  по его доле также способствует формированию представлений о долях величины. В этом их основное  назначение. Поэтому, решение задач на нахождение доли числа и числа по его доле выполняется на наглядной основе.

Во 2 классе рассматривается  только простые задачи, а в третьем  классе они включаются в составные.

Образование дробей, как  и образование долей рассматривается  с использованием наглядных пособий.

Разделите круг на 4 равные части. Как назвать каждую такую часть? Запишите. Покажите три  четвертые доли. Вы получили дробь – три четвертых. Кто сможет записать эту дробь? Что показывает число 4 (на сколько равных частей разделили круг)? Что показывает число 3 (сколько таких частей взяли)? Аналогичным образом учащиеся получают и записывают другие дроби, объясняя, что показывает каждое число.

Для закрепления полученных знаний выполняются такие же упражнения как и при ознакомлении с долями: по данным иллюстрациям называют и записывают, какие дроби изображены, или же изображают дробь с помощью чертежа, рисунка. Уяснению конкретного смысла дроби помогают упражнения на сравнение дробей, а также решение задач на нахождение дроби числа.

Для сравнения  дробей Л.Г.Петерсон предлагает пользоваться иллюстрациями с равными прямоугольниками (рис.7). Учащимся предлагают начертить в тетради прямоугольник, длина которого 16 см, а ширина 1 см. Это один прямоугольник. Запишем (в первом прямоугольнике записывают число 1). Начертите под первым прямоугольником такой же второй и разделите его на 2 равные части (выполняют). Какие доли получили (вторые, половины). Сколько вторых долей в целом прямоугольнике? Подпишите. Ниже начертите такой же прямоугольник и разделите его на 4 равные части. Как называется каждая часть? Сколько четвертых долей в целом прямоугольнике? Сколько четвертых долей в половине? Что больше: одна вторая или две четвертые? Начертите четвертый такой же прямоугольник и разделите его на 8 равных частей.