Пропедевтика изучения рациональных чисел в курсе математики начальной школы

Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q+.

Определение. Пусть а и b - положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а = b + с [48].

В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b < а,    а > b.

Так определенное отношение «меньше» обладает рядом  свойств, которые мы приводим без доказательства.

1. Отношение  «меньше» на множестве Q₊ антисимметрично и тран-зитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q₊ упорядоченным множеством.

2. Если рациональные  числа а и b представлены дробями    (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда т < р.

3. Если рациональные числа а и b представлены дробями (т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда mq < пр.

4. В множестве  положительных рациональных чисел  нет наименьшего числа.

5.  Между  любыми двумя различными числами а и b из Q₊ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство называют свойством плотности множества Q₊.

6.  В множестве  положительных рациональных чисел нет наибольшего числа.

Вычитание положительных  рациональных чисел определяется как  операция, обратная сложению, т.е. это  такая операция, которая удовлетворяет  условию: а - b = с тогда и только тогда, когда а = b + с.

Разность а - b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность а - b существует, то она единственна.

Используя определение  и условие существования разности, можно получить правило вычитания  положительных рациональных чисел,

представленных  дробями .

Деление положительных  рациональных чисел определяется как  операция, обратная умножению, т.е, это такая операция, которая удовлетворяет условию: а : b = с тогда и только тогда, когда a = bс.

Из этого  определения и правила нахождения произведения положительных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями :

.

Из этого  правила следует, что частное  положительных рациональных чисел  всегда существует.

 

1.4. Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел

Покажем, что  множество рациональных чисел является расширением множества натуральных  чисел.

Чтобы множество Q₊ положительных рациональных чисел являлось расширением множества N натуральных чисел, необходимо выполнение ряда условий.

Первое условие - это  существование между N и Q₊ отношения включения. Докажем, что N с Q₊.

Пусть длина отрезка х при единичном отрезке е выражается натуральным числом т. Разобьем единичный отрезок на п равных частей. Тогда n-ая часть единичного отрезка будет укладываться в отрезке х точно т·п раз, т.е. длина отрезка х будет выражена дробью . Значит, длина отрезка х выражается и натуральным числом т, и положительным рациональным числом . Но это должно быть одно и то же число. Поэтому целесообразно считать, что дроби вида являются записями натурального числа m.

Следовательно, N с Q₊.

Так, например, натуральное  число 6 можно представить в виде

следующих дробей: и т.д.

Отношение между множествами N и Q₊ представлено на рисунке 2.

 

рис. 2.

Числа, которые дополняют множество натуральных чисел до множества положительных рациональных, называются дробными.

Второе условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел, - это согласованность операций, т.е. результаты арифметических действий, произведенных по правилам, существующим для натуральных чисел, должны совпадать с результатами действий над ними, но выполненных по правилам, сформулированным для положительных рациональных чисел. Нетрудно убедиться в том, что и это условие выполняется.

Пусть а и b - натуральные числа, а + b - их сумма, полученная по правилам сложения в N. Вычислим сумму чисел а и b по правилу сложения в Q₊. Так как

Убедиться в том, что  второе условие выполняется и  для других операций, можно аналогично.

Третье условие, которое  должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел - это  выполнимость в Q₊ операции, не всегда осуществимой в N. И это условие соблюдено: деление, которое не всегда выполняется в множестве N, в множестве Q₊ выполняется всегда.

Сделаем еще несколько  дополнений, раскрывающих взаимосвязи  между натуральными и положительными рациональными числами.

1. Черту в записи дроби   можно рассматривать как знак деления.

Действительно, возьмем два натуральных числа т и n и найдем их частное по правилу (4) деления положительных рациональных чисел:

Обратно, если дана дробь  то ее можно рассматривать как частное натуральных чисел т и n:

2. Любую неправильную дробь можно представить либо в виде натурального числа, либо в виде смешанной дроби.

Пусть   неправильная дробь. Тогда т > п. Если т кратно n, то в этом случае дробь является записью натурального числа. Если число т не кратно n, то разделим т на n с остатком: т = nq + r, где r < n.

Подставим nq + r вместо т в запись и применим правило (1) cложения положительных рациональных чисел:

Так как r < п то дробь - правильная. Следовательно, неправильная дробь оказалась представленной в виде суммы натурального числа q и правильной дроби . Это действие называется выделением целой части из неправильной дроби. Например,

Сумму натурального числа  и правильной дроби принято записывать без знака сложения: т.е. вместо пишут и называют такую запись смешанной дробью.

Справедливо также утверждение: всякую смешанную дробь можно  записать в виде неправильной дроби. Например:

В практической деятельности широко используются дроби, знаменатели которых являются степенями 10. Их называют десятичными.

Определение. Десятичной называется дробь вида , где т и п - натуральные числа [48].

Десятичные дроби принято  записывать без знаменателя. Например, дробь  записывают в виде 3,67, а дробь - в виде 0,007. Выясним, как образуется такая запись.

Пусть дана дробь , где т, п N. Представим ее числитель в следующем виде:

Тогда, по правилам действий над степенями при п < k, получим:

Сумма является записью целого неотрицательного числа (обозначим его буквой А), а сумма представляет дробную часть числа, ее принято записывать без знаменателя в виде Таким образом, дробь можно представить в следующем виде:  , т.е. при записи дроби последние п цифр десятичной записи числа т отделяют запятой. Если числитель содержит менее чем п десятичных знаков, то перед ним пишут столько нулей, чтобы получилась n + 1 цифра, после чего отделяют запятой п знаков, начиная с конца. Например,

Как известно, сравнение десятичных дробей и арифметические действия над ними легко выполнять, если дроби имеют один и тот  же знаменатель.

В основе приведения десятичных дробей к общему знаменателю  лежит следующее утверждение: если к десятичной дроби  приписать справа любое число нулей, то получится десятичная дробь, равная данной.

Это свойство позволяет приводить десятичные дроби к общему знаменателю следующим  образом: если у одной дроби после  запятой стоит n цифр, а у другой р цифр, причем n < р, то для приведения их к общему знаменателю достаточно к первой дроби приписать справа р - n нулей. Тогда у обеих дробей после запятой будет стоять поровну цифр, а это значит, что они имеют один и тот же знаменатель.

Пользуясь этим правилом, легко выполнять сравнение десятичных дробей, так как оно сводится к сравнению натуральных чисел: чтобы сравнить две десятичные дроби, надо уравнять в них число десятичных знаков после запятой, отбросить запятые и сравнить получившиеся натуральные числа.

Например, 4,62517 > 4,623, так как 4,623 = 4,62300, а 4,62517 > 4,62300, так как 462517 > 462300.

Как известно, для дробей, имеющих одинаковые знаменатели, сложение и вычитание сводится к соответствующим  операциям над их числителями. Это  позволяет свести сложение и вычитание  десятичных дробей к действиям над натуральными числами.

Например,

Умножение и деление  десятичных дробей не требует приведения их к общему знаменателю, но они также  сводятся к соответствующим действиям  над натуральными числами.

Среди десятичных дробей выделяют и часто используют дробь 0,01. Ее называют процентом и обозначают 1%. Запись р% обозначает  .

Например, 25% - это дробь , или 0,25.

Проценты были введены, когда не существовало десятичных дробей. Чтобы производить расчеты по займам, определяли прирост капитала из расчета 100 денежных единиц. Этот прирост и называли числом процентов (рго сеntum - на сто).

Простота сравнения  и выполнения действий над десятичными  дробями приводит к следующему вопросу: любую ли дробь вида    можно записать в виде конечной десятичной дроби, т.е. дроби, у которой после запятой стоит конечное число цифр? Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Для  того чтобы несократимая дробь была равна десятичной, необходимо и достаточно, чтобы в разложение ее знаменателя п на простые множители входили лишь простые числа 2 и 5.

Так, например, дробь  можно записать в виде десятичной: она несократима и 80 = 2⁴·5. Дробь – несократима, но 15 = 3·5. Поскольку в разложение знаменателя этой дроби входит множитель, отличный от 2 и 5, то дробь нельзя записать в виде десятичной.

Дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Но, деля 1 на 3, получаем, что  0,3 < < 0,4.

Далее находим, что 0,33 < < 0,34; 0,333 < < 0,334 и т.д.

Вообще для любого n имеем:

Вместо того чтобы писать бесконечное множество неравенств, говорят, что дроби  соответствует бесконечная десятичная дробь 0,33...3... . Это означает, что если отбросить в бесконечной дроби все цифры, начиная с некоторой, то будем иметь число, меньшее , а если в полученном числе увеличить последнюю цифру на 1, то будет число, большее .

Любую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной, приписав к ней справа последовательность нулей. Например, дробь 0,25 можно записать так: 0,25000...0.... Здесь для всех цифр, начиная с некоторой, получится число, не превосходящее 0,25 (например, если оставить лишь одну цифру после запятой, то получится 0,2, меньшее 0,25, а если оставить три цифры после запятой, то будет число 0,250, равное 0,25). Если же после отбрасывания увеличить последнюю цифру на 1, то имеем число, большее 0,25 (например, 0,3 или 0,251).

Бесконечные десятичные дроби, которые получаются при записи положительного рационального  числа, обладают особенностью - они  являются периодическими. Это значит, что, начиная с некоторой цифры, они образуются бесконечным повторением одной и той же группы

цифр. Например, число  – выражается бесконечной десятичной дробью 0,272727...27..., а число – бесконечной десятичной дробью 0,1454545...45.... Для краткости первую из дробей пишут в виде 0,(27), а вторую - в виде 0,1(45). В скобки заключают повторяющуюся группу цифр, которую называют периодом этой дроби. Отметим, что вместо 0,(27) можно было написать и 0,2(72), но эта запись более длинная. Приведенные рассуждения приводят к следующей теореме.

Теорема. Любое  положительное рациональное число представимо бесконечной периодической десятичной дробью.

Доказательство. Пусть рациональное число представлено несократимой дробью Чтобы преобразовать ее в десятичную, надо выполнить деление натурального числа т на натуральное число п. При этом будут остатки, меньшие n, т.е. числа вида 0, 1,2, ...n-1. Если хотя бы один из остатков окажется равным нулю, то после деления получится конечная десятичная дробь (или, что то же самое, бесконечная десятичная дробь, заканчивающаяся последовательностью нулей). Если же все остатки отличны от нуля, то деление будет представлять собой бесконечный процесс, но количество различных остатков конечно, и поэтому, начиная с некоторого шага, какой-то остаток повторится, что приведет к повторению цифр в частном.

Одним из источников появления десятичных дробей является деление натуральных чисел, другим - измерение величин. Выясним, например, как могут получиться десятичные дроби при измерении длины  отрезка.

Пусть x - отрезок, длину которого надо измерить, е - единичный отрезок.

Длину отрезка х обозначим буквой X, а длину отрезка е -буквой Е. Пусть отрезок х состоит из n отрезков, равных е, и отрезка х, который короче отрезка е (рис. 3.), т.е. пЕ< X< (п + 1)Е. Числа п и п + 1 есть приближенные

рис. 3.

значения длины отрезка x при единице длины Е с недостатком и с избытком с точностью до 1. Чтобы получить ответ с большей точностью, возьмем отрезок е₁ - десятую часть отрезка е и будем укладывать его в отрезке x. При этом возможны два случая.

1) Отрезок е₁ уложился в отрезке х₁  точно п раз. Тогда длина п отрезка х выражается конечной десятичной дробью:  .

Например,

2) Отрезок х₁ оказывается состоящим из п отрезков, равных е₁ и отрезка х₂, который короче отрезка е₁. Тогда

где - приближенные значения длины отрезка х с недостатком и с избытком с точностью до 0,1.

Ясно, что во втором случае процесс измерения  длины отрезка х можно продолжать, взяв новый единичный отрезок е₂ - сотую часть отрезка е.

На практике этот процесс измерения длины  отрезка на каком-то этапе закончится. И тогда результатом измерения длины отрезка будет либо натуральное число, либо конечная десятичная дробь. Если же представить этот процесс измерения длины отрезка в идеале (как и делают в математике), то возможны два исхода:

1)На k-том шагу процесс измерения окончится. Тогда длина отрезка x выразится конечной десятичной дробью вида

2) Описанный процесс измерения длины отрезка х продолжается бесконечно. Тогда отчет о нем можно представить символом который называют бесконечной десятичной дробью.

Например, существует отрезок длина которого выражается рациональным числом  .