Пропедевтика изучения рациональных чисел в курсе математики начальной школы

Арабы первыми  начали отделять чертой числитель от знаменателя.

Леонардо Пизанский  уже записывает дроби, помещая в  случае смешанного числа, целое число  справа, но читает так, как принято  у нас. Иордан Неморарий (XIII ст.) выполняет деление дробей с помощью деления числителя на числитель и знаменателя на знаменатель, уподобляя деление умножению. Для этого приходится члены первой дроби дополнять множителями [54].

В XV – XVI столетиях  учение о дробях приобретает уже  знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.

Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась  поговорка: «Попасть в дроби», что означало – зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики.

Со временем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее  пользоваться такими мерами, у которых  отношение двух ближайших единиц длины было бы постоянным и равнялось бы именно десяти – основанию нумерации. Этим требованиям отвечает метрическая система мер.

Однако следует  отметить, что европейцы не первые, кто пришел к необходимости использовать десятичные дроби в математике.

Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II веке до н.э. там существовала десятичная система мер длины.

Примерно в III веке н.э. десятичный счет распространился  на меры массы и объема. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей, однако метрологическую форму.

Например, в  Китае в Х веке существовали следующие  меры массы: 1 лан = 10 цянь = 102 фэнь = 103 ли = 104 хао = 105 сы = 106 хо.

Если вначале  десятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретных дробей, то есть десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер, то позже они по существу стали все более приобретать характер отвлеченных десятичных дробей. Целую часть стали отделять от дробной особым иероглифом «дянь» (точка). Однако в Китае как в древние, так и в средние века десятичные дроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с метрологией.

Более полную и систематическую трактовку  получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученого ал-Каши в XV веке. Независимо от него, в 80-тых годах XVI века десятичные дроби были «открыты» заново в Европе нидерландским математиком Стевином [54].

С начала XVII века начинается интенсивное проникновение  десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1617 году математиком Непером.

Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.

Слово «процент»  происходит от латинских слов pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целым.

Проценты были особенно распространены в Древнем  Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Ныне процент  – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые промилле (от латинского pro mille – «с тысячи»), обозначаемые ‰ по аналогии со знаком процента - %. Однако на практике в большинстве случаев «тысячные» - слишком мелкие доли, десятые же доли слишком крупные. Поэтому больше всего удобны сотые доли, иначе говоря, проценты.

В нашей стране ими пользуются при составлении  и учете выполнения производственных планов в промышленности и сельском хозяйстве, при разных денежных расчетах.

Таким образом, исторически первым расширением понятия о числе является присоединение к множеству натуральных чисел множества всех дробных чисел.

 

1.2. Понятие рационального числа и действий над рациональными числами в курсе математики

Формирование  понятия доли и дроби тесно  связано с измерением величин. Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис. 1). При измерении оказалось, что отрезок х состоит из трех отрезков, равных е, и отрезка, который короче отрезка е. В этом случае длина отрезка х не может быть выражена натуральным числом. Однако если отрезок е разбить на 4 равные части, то отрезок х окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е. И тогда, говоря о длине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз.

рис. 1.

Поэтому условились длину отрезка х записывать в виде 14/4 Е, где Е - длина единичного отрезка е, а символ 14/4 называть дробью.

В общем виде понятие дроби определяют так.

Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из т отрезков, равных п-ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде , где символ называют дробью (и читают «эм энных»).

В записи дроби  числа т и п- натуральные, т называется числителем, п - знаменателем дроби.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

На рисунке 1, было показано, что четвертая часть отрезка е уложилась в отрезке х точно 14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка е, которая укладывается в отрезке х целое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 28 таких частей и его длина будет выражаться дробью . Можно взять шестнадцатую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 56 таких частей и его длина будет выражаться дробью

Вообще длина  одного и того же отрезка х при заданном единичном отрезке е может выражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью , то она может быть выражена и любой дробью вида , где k - натуральное число.

Теорема. Для  того чтобы дроби  выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство mq = пр.

Доказательство  этой теоремы мы опускаем.

Определение. Две дроби - называются равными, если mq = np

Если дроби равны, то пишут  .

Например, , так как 17·21 = 119·3 = 357, а потому что 17·27 = 459, 19·23 = 437 и 459 ≠ 437.

Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогда  и только тогда, когда они выражают длину одного и того же отрезка.

Нам известно, что отношение равенства дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Теперь, используя определение равных дробей, это можно доказать.

Теорема. Равенство  дробей является отношением эквивалентности.

Доказательство. Действительно, равенство дробей рефлексивно

  так как равенство тп = пт справедливо для любых натуральных чисел т и п.

Равенство дробей симметрично: если , то , так как из тq = пр следует, что рп = qm (m, n, p, q Є N).

Оно транзитивно: если

В самом деле, так как  , то тq = пр, так как , то ps = qr.

Умножив обе  части равенства mq = пр на s, а равенства ps = qr на n, получим mqs = nps и nps = qrп. Откуда mqs = qrп или ms = nr. Последнее равенство означает, что Итак, равенство дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно, оно является отношением эквивалентности.

Из определения  равных дробей вытекает основное свойство дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

Сокращение  дробей - это замена данной дроби  другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Если числитель  и знаменатель дроби одновременно делятся только

на единицу, то дробь называют несократимой. Например, - несократимая дробь, так как ее числитель и знаменатель делятся одновременно только на единицу, т.е. D(5, 17)= 1.

Приведение  дробей к общему знаменателю - это  замена данных дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей   – является общее кратное чисел п и q, а наименьшим общим знаменателем - их наименьшее кратное К(п, q)[48].

 

1.3. Положительные рациональные числа

Отношение равенства  является отношением эквивалентности  на множестве дробей, поэтому оно  порождает на нем классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равные между собой дроби.

Например, множество  дробей - это один класс, множество дробей - это другой класс и т.д.

Дроби одного класса выражают длину одного и того же отрезка. Но длина отрезка должна представляться единственным числом. Поэтому считают, что равные дроби - это различные записи одного и того же положительного рационального числа.

Определение. Положительным рациональным числом называется общее свойство класса эквивалентности равных между собой дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа [???].

Например, о дроби  – мы должны говорить, что она является записью некоторого рационального числа. Однако часто для краткости говорят: - это рациональное число.

Множество всех положительных  рациональных чисел принято обозначать символом Q₊. Определим на этом множестве отношение равенства.

Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью а положительное рациональное число b -другой дробью , то а = b тогда и только тогда, когда mq = пр [48].

Из данного определения  следует, что равные рациональные числа  представляются равными дробями. Среди  всех записей любого положительного рационального числа выделяют дробь, которая является несократимой, и доказывают, что любое рациональное число представимо единственным образом несократимой дробью. Для того чтобы рациональное число   представить несократимой дробью, достаточно числитель т и знаменатель п разделить на их наибольший общий делитель.

Выясним теперь, как определяются арифметические действия с положительными рациональными числами.

Пусть при некотором  единичном отрезке е длина отрезка x выражается дробью , а длина отрезка у - дробью , и пусть отрезок z состоит из отрезков х и у. Тогда n-ая часть отрезка е укладывается в отрезке z т + р раз, т.е. длина отрезка z выражается дробью .

Поэтому полагают, что  .

Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b – дробью , то их суммой называется число а + b, которое представляется дробью [48].

Таким образом, по определению .

Можно доказать, что при замене дробей представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому сумма рациональных чисел не зависит от выбора представляющих их дробей.

В определении суммы  рациональных чисел мы использовали их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то сначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применять правило (1).

Сложение положительных  рациональных чисел коммутативно и ассоциативно.

Докажем, например, коммутативность  сложения. Представим числа а и b дробями . Тогда сумма а + b представляется дробью

 а сумма b + а- дробью Так как т, р, п – натуральные числа, то т + р = р + т и, следовательно, а + b = b + а. Таким образом, коммутативность сложения положительных рациональных чисел вытекает из коммутативности сложения натуральных чисел.

Прежде чем  сформулировать определение умножения  положительных рациональных чисел, рассмотрим следующую задачу: известно,

что длина  отрезка x выражается дробью при единице длины e, а длина единичного отрезка измерена при помощи единицы e₁, и выражается дробью . Как найти число, которым будет представлена длина отрезка x, если измерить ее при помощи единицы длины e₁?

Так как следует, что q·e = р·e₁. Умножим первое полученное равенство на q, а второе - на m. Тогда (nq)x = (mq)e и (mq)e = (тр)e₁, откуда (nq)x = (mp)e₁.

Это равенство  показывает, что длина отрезка х при единице длины e выражается дробью , а значит, , т.е. умножение дробей связано с переходом от одной единицы длины к другой при измерении длины одного и того же отрезка.

Определение. Если положительное число а представлено дробью а положительное рациональное число b - дробью ,то их произведением называется число ab, которое представляется дробью [48].

Таким образом, по определению,

Можно доказать, что при замене дробей  , представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому произведение чисел а и b не зависит от выбора представляющих их дробей.

Умножение положительных  рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания. Доказательство этих свойств основывается на определении умножения и сложения положительных рациональных чисел, а также на соответствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел.